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1、.4.7 导数在不等式证明中的应用一、利用单调性证明不等式单调性本身就是体现了不等式关系，因而利用单调性来证明不等式便是顺理成章的事.在4.4中，我们利用导数的符号就能判断函数的单调性。例1. 设，证明 分析: 证1: 设 ， 则 ，当时，故单调减小从而，当 时，单调增加，即，故不等式成立. 注：有时需要多次使用导数符号判断单调性.证2 分析: ， ，从而，即： 注：综合使用中值定理和单调性.例2 证明 .分析：证 令则 从而 在单调减少，当时， 即 . 二、 利用中值定理证明不等式1、利用Lagrange中值定理证明不等式设在上连续，在内可导，则有 于是，我们依据关于的，得到不等式. 如：（

2、1） （2）单调，（3）如果 例3 证明：当时，分析： 证 注意到，故可将不等式组变形为对函数在上利用拉格朗日中值定理，于是，存在,使由于故，即2、利用柯西中值定理证明不等式设在上连续，在内可导，且则存在，使得 如果，则可建立相应不等式. 例4 设当，证明：当， (4.7.1)分析： = 证 当时，式(4.7.1)的等号成立.当时，有由柯西中值定理知，存在，使得考虑到故单调增加，有综上可知，当时，式(4.7.1)成立.3、 利用泰勒中值定理证明不等式由泰勒公式或马克劳林公式可知，如果涉及具有二阶或更高阶导数，可考虑借助于函数的泰勒公式或马克劳林公式来证明，如果是已知最高阶导数的取值范围时，可用

3、此条件来估计有关的量，从而可以证明某些不等式.例5设函数的二阶导数且证明解 由于函数且具有一阶导数且故得，利用函数一阶马克劳林公式： 其中介于x与0之间，.所以 例6 设函数在上二阶可导，且.试证证 注意到条件中含有高阶导数，故我们对函数在点处用一阶泰勒公式：分别将代入上式,注意到,两式相减，整理得到因此， 三、 利用凹凸性证明不等式曲线的凹凸性反映的也是不等关系：或如果可以从的符号判断曲线是凹或者凸的，则对应上面的不等式就一定成立.例7 证明 当时，证 设函数，则因此当的图形是凹的.根据定义，有例8 证明当时，有证 设，有则曲线在内是凸的. 又,所以当时，点和所连的弦在曲线的下方，即，从而四、 利用最值证明不等式最值关系本身也是不等关系，因此要证明或 ,则只需证明例9 证明证 令,显然在上连续，故在上有最大值，最小值.又由于令,得驻点，另有区间端点,比较得的最大值,最小值因此，当时，例10 证明 证 令由得惟一驻点x=1.又，当时单调减少；当

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