学生也能够享受数学课的美 ——《利用函数性质判定方程实数解的存有》教学设计与反思

1、学生也能够享受数学课的美 利用函数性质判定方程实数解的存有教学设计与反思2012年10月我校与江苏省南京化学工业园区数学名师工作室实行同课异构学术研讨活动，作者有幸执教一节课利用函数性质判定方程解得存有（教材：北师大版，必修1第三章第一节），本节课作者以新课标理念为指导；以维果茨基“最近发展区”理论、APOS理论、课堂教学金字塔理论等为参考；以问题解决作为课堂教学的推动力；采用“启发探究讨论”的教学模式；教学中巧妙地融入人文、数学史教育，对学生实行数学文化和人文熏陶，提升课堂教学的品味，收到了很好教学效果。现将本节课的设计、感想和反思整理如下，以期和同行交流探讨。【教学目标】知识目标：理解函数

2、零点的定义以及方程的根与函数的零点之间的联系，了解“函数零点存有” 的判断方法，对新知识加以应用.水平目标：渗透由特殊到一般的理解规律，提升学生的抽像和概括水平，领会数形结合、化归等数学思想.情感、态度与价值观： 理解函数零点的价值所在，使学生理解到学习数学是有用的； 培养学生认真、耐心、严谨的数学品质；穿插数学文化和数学史，对学生实行人文教育和数学文化熏陶。让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦.【教学重点】 理解函数的零点、方程的实数根和函数图像与x轴的交点三者之间的等价关系，初步形成用函数观点处理问题的意识.【教学难点】 函数零点存有性定理的理解及初步应用【教学方法】 发现、合作、

3、讲解、演练相结合.【教学过程】（一） 情境创设在实行新课之前我们一起来温习一首古诗，宋朝大文豪苏轼在游玩庐山后写下了意境悠远、充满哲理的一首诗：题西林壁（师生一边欣赏庐山秀丽的风景照，一边一起背诵）横看成岭侧成峰，远近高低各不同；不识庐山真面目，只缘身在此山中。这首诗告诉我们：对于同一个事物，从不同的角度观察会有不同的收获，只有使用辩证、联系的观点来分析事物才能把握其本质。 设计目的：情境的创设应为课堂教学服务，同时还应具备“真、善、美”的特点，应达到“山雨欲来风满楼”的效果和艺术性。通过本首图文并茂的古诗，既让学生重温本首诗的优美的意境，体会诗人思考问题的多角度、全面联系的观点，还直接为本节

4、课的内容“函数零点问题”提供了解决思路。y(1,0)1-1x-10Xy0知识探究（一）：方程的根与函数零点 我们今天就借助苏轼的一双慧眼来分析一个数学问题.问题1：右图中我造一座“山”：点（1,0）中的横坐标“1”，我们不妨从函数图像、函数、方程三个角度来看这座“山”，它会以怎样的秀丽身姿出现呢？（师生一起分析完成下表）方程函数图像 方程的根： 实数1y(1,0)1-1x-10 方程的根： 实数-2和31245123-1-3-4xy(3,0)-20-5-6-1(-2,0)-1我们发现第一行图中的“1”既是方程 的根，还是函数为0时的自变量的值，还是函数的图像与x交点的横坐标。第二行图中的“-2

5、”和“3”既是方程 的根，还是函数为0时的自变量的值，还是函数的图像与x交点的横坐标。我们还发现从方程角度看“山”是“方程的解（或根）”，从图像角度看“山”是“交点的横坐标”，唯独从函数角度看“山”还没有命名，现在请大家帮个忙，给它也起个名字好不？ 生：“零点！”，（因为很多学生有预习的习惯，能够马上想到） 师：为什么叫“函数的零点”呢？生：因为自变量取这个值时，函数值恰好为零。师：“函数零点”这个名称非常妙，点出了事物的本质。同学们能否给出函数零点的定义？设计目的：新课的引入的问题设计要从学生的最近发展区出发，而在大班额的众多学生面前，很难寻找到恰当的、符合绝绝绝大部分学生的最近发展区，为了

6、让更多的学生能参与到课堂教学，最好将多数学生的最近发展区再降一个台阶。学生对二次函数的图像和根的掌握情况，远不如对一次函数的图像和性质的理解深刻，且一次函数的图像和性质也完全具备函数、方程和零点的特征，故作者以一次函数作为本节课的引入，然后再过度到二次函数情形，同时引导学生从函数、方程和函数三个角度观察交点的横坐标。到此，函数零点的含义已经呼之欲出了，只需学生稍加整理即可得到函数零点的定义。所以新课的引入应追求“未成曲调先有情”的艺术效果。师生一起分析、总结得到：1、 函数的零点我们把函数的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。思考1：既然能够从三个角度看待同一个问题，为什么从函数图像的

7、角度来定义函数的零点呢？师：这是我们教材对新事物下定义的统一做法，如函数的单调性、奇偶性、周期性等等问题，都是尽可能地从其图像角度加以分析，目的是更直观、形象地分析一个问题。思考2：函数的零点是一个点吗？思考3：函数的零点有哪些等价关系？函数零点问题方程实数根问题函数的图像与轴交点问题。 以上关系说明：函数、方程和函数图像三者之间相互等价，从而有些方程问题、函数问题、函数图像问题就能够实现等价转化，为我们解决这类问题打开了广阔的思路思考4：如何求函数的零点？生：零点的求法有两种：图像法：找图像与x轴交点的横坐标；代数法：求方程的实数解。设计目的：对函数零点作进一步的理解，从函数图像角度能更直观

8、地分析问题，同时理解到这是我们教材对新事物下定义的统一做法；区分两个相近的概念：点与零点；函数零点的三个主要等价关系，这是一种重要的转化数学思想方法；概念的简单应用。从以上四个角度进一步地剖析概念，目的是达到概念的精致化。概念的讲解环节应追求“一枝一叶总关情”的艺术效果。例1 求下列函数的零点 对第1和第2小题学生很快就求出其零点了，对第3小题就犯了难，老师提示：如何求零点？学生马上想到从函数图像角度分析，可作图又成了难题。老师用几何画板展示如下函数 的图像，由图像很直观的发现函数有零点。师：问题解决了吗？题目是让我们求函数的零点的，你能由图像告诉我其零点是多少？生：没办法。设计目的：以问题作

9、为课堂推动和提升学生积极性、学习热情的直接动力，其基本模式为： 研究新问题产生内在需求解决新问题。作者对本例的三个问题作了精心设计：层层推动，形式相似，系数特殊，第二个问题是特意引导学生先判定方程的实数解是否存有，再使用求根公式求出方程的实数解。由此学生自然想到第三小题是否也有求根公式，若有应该是怎样的？第三小题的设置起到了承上启下的重要作用，既调动了学生的求知欲和学习热情，还为数学史的引入作了铺垫，从而为函数零点的存有性探讨埋下了伏笔。师：这是一个大问题，以前困扰了我们数学界几百年，我们先简单的回顾一下我们的前辈们对高次方程根的探求的艰难历程。16 世纪时，意大利数学家塔塔利亚和卡当等人，发

10、现了三次方程的求根公式。这个公式公布没两年，卡当的学生费拉里就找到了四次方程的求根公式。当时数学家们非常乐观，以为马上就能够写出五次方程、六次方程，甚至更高次方程的求根公式了。不过，时光流逝了几百年，谁也找不出这样的求根公式。 这样的求根公式究竟有没有呢？直到1826年年仅19岁的挪威数学家阿贝尔作出了回答：“没有。”阿贝尔从理论上予以证明，无论怎样用加、减、乘、除以及开方运算，无论将方程的系数怎样排列，它都决不可能是一般五次和五次以上方程的求根公式。但当时没人能看懂阿贝尔的证明，无法得到当时数学界的认可，阿贝尔先生27岁时在饥寒交迫中死去了，为了纪念这位英年早逝的数学家，挪威政府于2003年

11、设立了一项数学奖阿贝尔奖。这项每年颁发一次的奖项的奖金高达80万美元，相当于诺贝尔奖的奖金，是世界上奖金最高的数学奖。并为他树立了一座雕像，脚踩两只怪兽代表其最高成就：五次方程无求根公式的证明和椭圆数。到此数学家们也就死了心，不再去探求高次方程的求根公式问题了。但是中外数学家们还从另外一个渠道在探求高次方程的数值解。 秦九韶（12081268），字道古，四川普州（今安岳）人，著名的数学家，留世巨著数学九章，创造了“大衍求一术” “正负开方术”。 秦九韶在前人工作的基础上，提出一套完整的利用随乘随加逐步求出高次方程正根的程序，亦称“正负开方术”，现称秦九韶法达到了当时世界数学的最高水平,在数书九

12、章中，秦九韶列举了20多个解方程问题，次数最高达10次在西方，直到1840年，意大利数学家P鲁菲尼(Ruffini，1765-1822)才创立了一种逐次近似法解决数字高次方程无理数根的近似值问题，而1819年英国数学家WG霍纳(Horner，17861837) 才提出与增乘开方法演算步骤相同的算法，后被称为“霍纳法”秦九韶的成就要比鲁菲尼和霍纳早五六百年。 今天我们将用两个课时来学习高次方程和任意方程的近似解的求法，本节课我们将从函数角度判定方程解的存有性问题，即函数的零点存有性问题。设计目的：高中数学课程标准强调要突出数学的人文价值。理应通过介绍数学发展的历史，了解数学在人类思想发展中的作用

13、， 包括了解数学在推动当代社会发展中的社会价值。在整个数学教学中， 都要注意体现数学的社会需要， 数学家的创新精神， 数学科学的重大作用， 数学的美学价值，逐步形成准确数学观， 并使之成为准确世界观的一部分。此时数学史的引入恰到好处，既介绍了前辈数学家们对高次方程根的探求的艰难历程，还突出了我国古代数学家的对世界数学发展的卓越贡献，同时为方程实数解的存有性探讨打开了一扇门。板书课题：1.1利用函数性质判定方程实数解的存有知识探究（二）：函数零点性的探索 x1、如图： 轴两侧有两点、，现你用一条不间断的函数曲线在上将、两点连起来，观察曲线与轴的交点情况及、两点对应的y值的乘积情况。 注意：要特意

14、引导学生思考函数图像在区间上不连续对函数零点存有性影响。2、如右图函数在哪些区间上有零点？在怎样的条件下，函数一定有零点？（1）在区间-2,1上有零点 此时， 0 （或或）3、观察下边函数的图象（1）在区间上，满足 _0（或），则函数 在区间上 _(有/无)零点；（2）在区间上，满足 _0（或），则函数 在区间上 _(有/无)零点；（3）在区间上，满足 _0（或），则函数 在区间上 _(有/无)零点；请同学们自己总结一下，函数在区间上满足什么条件，就一定有零点？设计目的：概念形成要使用合情推理，按照建构主义的原则的教学形式而要让学生积极、主动参与学习，协助学生理解原有知识和新知之间的关系，使新

15、知得到有效合理的建构，这其中关键的是学生准确的探究思维和活动方法指导。学生通过自己的努力，观察、试验、归纳、类比、猜测和反思总结才能有效地建构起新的认知结构，因而，新知的学习过程应该是学生对知识的再发现、再创造的过程。教师此时就应予以准确的引导，完善学生的探究、推理过程。“APOS”理论则强调让学生动手“实践操作”，让学生在动态中去观察、探索和发现函数端点处函数值、函数图像的连续性对函数零点存有性的影响，并不需要由老师像传统教学中那样滔滔不绝地讲解，而学生对该知识的理解与掌握反而比传统教学要深刻得多。师生共同总结得出：函数零点的存有性定理若函数在区间上的图像是连续的，且满足，则函数在区间上至少

16、有一个零点。思考5：大家是否注意到一个细节？在函数零点的存有性定理中两个区间一个是闭另一个是开，有何道理？是笔误？生：第一个闭区间是为了确保函数能取到两个端点值，第二个区间为开，是因为两数都不是零点，故区间能够缩小一点。练习1，判断正误：（1） 若f(a)f(b)0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。（2） 若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，则f(a)f(b)0。（3） 若函数y=f(x)的图像在a,b内连续不间断且f(a)f(b)0， 则函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点。注意;(1) 函数图象是连续的曲线。（2 ) 结论不可逆。（3）至少只存有一个零点。设计

17、目的：对函数零点的存有性定理作进一步的理解，函数图像连续；结论不可逆；定理中两个区间开和闭的内涵：零点个数不确定，为以后函数零点个数的探讨再次埋下伏笔。从以上四个角度进一步地剖析概念，目的是达到概念的精致化。例题评析：例2、判断函数在区间(0，1)内有没有零点. 解：， 又函数在区间(0，1)上连续 所以函数在区间(0，1)上又零点。例3、已知函数，问：方程 在区间-1，0内有没有实数解？为什么？ 解法1：方程 在区间-1，0内有没有实数解 函数在区间-1，0内有没有零点 ， 又函数在区间-1，0上连续 所以函数在区间-1，0上又零点。所以方程在区间-1，0内有实数解解法2：方程 在区间-1，

18、0内有没有实数解 函数的图像与x轴在区间-1，0内有没有交点使用几何画板作出函数的图像如下：由图可知函数的图像与x轴在区间-1，0内有一个交点，所以方程在区间-1，0内有一个实数解。思考5：函数的图像与x轴在区间-1，0内为什么有一个交点？师生共同总结：函数在区间-1，0内是单调递增的。到此我们能够进一步地刻画函数零点的存有性定理：若函数在区间上的图像是连续的，满足，且函数在区间上是单调的，则函数在区间上只有一个零点。解法3：方程 在区间-1，0内有没有实数解 方程在区间-1，0内有没有实数解函数和的图像在区间-1，0内有没有交点使用几何画板分别在同一个坐标系中作出函数和的图像，如下：由图可知

19、函数和的图像在区间-1，0内有一个交点所以方程在区间-1，0内有一个实数解小结：到此我们又增加了函数零点的一个等价条件;函数零点问题方程实数根问题函数的图像与轴交点问题两个函数图像交点问题 这是一种重要的数学转化思想，为我们解决函数零点、方程根、图像交点类问题打开了极为开阔的思路。设计目的：例2的设计呼应前文，使例1提出的问题得到顺利解决，整个课堂前后呼应，浑然一体。在应用中，学生进一步巩固对函数零点存有性定理的理解。例3的一题多解是进一步强化函数零点问题的三个等价关系，培养学生发散性思维和转化的数学思想方法。同时，一题多解的教学不应该仅仅停留在解法的多样性层面，更应该剖析每一种解法所蕴含的深

20、刻思维价值。如解法2得到了“利用函数单调性分析函数零点的具体个数”的重要途径，解法3进一步将三个等价关系发展为四个，开阔了学生的思路。巩固练习;课本练习第1、2、3题课堂小结：通过本节课的学习你学到了哪些数学知识？又学到了哪些重要的数学思想？1函数零点的定义2四个等价关系3.函数的零点存有性定理4.两种思想：函数方程思想；数形结合思想作业与课外活动自主探究 1、证明：方程有两个不相等的实数根，且一根比2小，另一根比5大。2、证明：方程 有两个不相等的实数根。变式：若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围。教后实践反思； 概念的获得，定义的形成、概念的辨析，不但要掌握应该掌握的知识、技能，更

21、应该从学生认知发展的规律出发，数学的教育功能出发，立足更为宏观的背景实行教学设计，使学生在整体认知的、联系的环境中更全面、深刻的理解核心概念，所以教学的重心不能直指所学知识技能的结果，真正让新知识从学生的已有知识经验中生长出来，在实际教学中注重创建一种适宜学生从事有效探索的环境，通过问题驱动学生的深入思考，最终使学生理解所学知识的数学本质，获得知识，效果将更好。第一，注重知识的生成过程，将已有知识作为获得新知识的有力工具。数学教学的重心不应直指所学知识技能的结果，而是让新知识从学生的已有知识经验中生长出来，在实际教学中注重创建一种适宜学生从事有效探索的环境，通过问题驱动学生的深入思考，最终使学生理解所学知识的数学本质。二次函数是学生熟悉的函数，但是就“方程的根与函数的零点”关系问题，学生更熟悉的是一次函数及一次方程之间的关系,它体现了本节所研究问题的雏形和全貌，体现了方程、不等式与函数的必然统一，展示整体看待问题，在系统中解决问题的优越性、灵活性，蕴涵了数形结合思想、化归思想等，在本节课中需要解决的问题就是将初中得到的知识进一步抽象化，并提供进一步交流的公共语言，即“函数的零点”。所以，在教学中降低教学的起点，或者说是在理解教材编写意图的基础上，对教材做出恰当处理，能够使本节的学习更容易。学生能够通过类比获得解决问题的方法，达到温故而知新的效果。第二，通过问题驱动思