一种正五边形的尺规作图法_第1页
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文档简介

1、一种正五边形的尺规作图方法1、问题提出已知线段MN如下图所示，求做以线段MN长度为边长的正五边形。图1 线段MN2、问题分析假如已经存在一个正五边形，我们来探究它的性质。图2 正五边形示意图如上图所示的正五边形ABCDE、连接AD和BD，对于这样一个正五边形ABCDE，它有什么性质呢？众所周知凸n边形的内角和公式为180*(n-2),对于5边形来说n=5,内角和为540度。注意到上图中正五边形的每一个内角都相等我们有EAB=ABC=BCD=CDE=DEA=540/5=108，AED、BCD为等腰三角形，则EAD=EDA=CBD=CDB=36，则ABD的三个内角的大小分别为则DAB=DBA=72

2、、ADB=36。我们计算出了ABD的三个内角的大小，那么具有ABD内角大小的三角形有什么性质呢？图3 等腰三角形ABD如上图所示，做ABD的角平分线BE交AD于E，容易证明ABDEAB，且AB=BE=DE，AD=BD,ABEA=BDAB不妨设AB=BE=DE=x，AD=BD=y，则有xy-x=yx整理后得到y2-xy-x2=0解方程可得：y=152 x 根据实际情况，舍弃负根有，y=1+52x有了上述等式，只要我们知道了三角形ABD的AB边，就可以做出该三角形。那么做出了等腰三角形ABD后，我们离做出正五边形ABCDE还有多远呢？答案是只有两步，分别以AD、BD为底边，AB的长为腰的长度做等腰三角形，这两个等腰三角形的顶点就是正五边形的顶点。3、作法图4 正五边形作法示意图经过以上分析不难得出作法的步骤如下：（1） 作线段AB=MN（2） 做AB的中垂线OY交AB于O（3） 过B点做AB的垂线，且在垂线上截取线段BB1=BO（4） 连接A B1并延长至B2，使得B1 B2=BO（5） 以A为圆心，A B2的长为半径，画弧叫OY于D点（6） 分别以A、D为圆心，AB的长为半径画弧，取外侧交点E（7） 分别以B、D为圆心，AB的长为半径画弧，取外侧交

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