高中数学 第二章 基本初等函数（1） 2.1.2 指数函数及其性质（1）学案（含解析）新人教A版必修1

1、21.2指数函数及其性质 第一课时指数函数及其性质指数函数的定义提出问题观察下列从数集A到数集B的对应：AR，BR，f：xy2x；AR，B(0，)，f：xyx.问题1：这两个对应能构成函数吗？提示：能问题2：这两个函数有什么特点？提示：底数是常数，指数是自变量导入新知指数函数的定义函数yax(a0且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.化解疑难指数函数的概念中规定“a0，且a1”的原因(1)若a0，则当x0时，ax0；当x0时，ax无意义(2)若a0，且a1.在规定以后，对于任何xR，ax都有意义，且ax0.指数函数的图象与性质提出问题问题1：试作出函数y2x(xR)和yx(x

2、R)的图象提示：如图所示：问题2：两函数图象有无交点？提示：有交点，其坐标为(0,1)问题3：两函数的定义域是什么？值域是什么？单调性如何？提示：定义域都是R；值域都是(0，)；函数y2x是增函数，函数yx是减函数导入新知指数函数的图象和性质a10a1图象性质定义域R值域(0，)过定点过点(0,1)，即x0时，y1单调性是R上的增函数是R上的减函数化解疑难透析指数函数的图象与性质(1)当底数a大小不确定时，必须分a1和0a1时，x的值越小，函数的图象越接近x轴；当0a0，且a1解析(1)中，3x的系数是2，故不是指数函数；中，y3x1的指数是x1，不是自变量x，故不是指数函数；中，y3x,3x

3、的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故是指数函数；中，yx3中底数为自变量，指数为常数，故不是指数函数所以只有是指数函数(2)由指数函数定义知所以解得a3.答案(1)B(2)C类题通法判断一个函数是否为指数函数的方法判断一个函数是不是指数函数，其关键是分析该函数是否具备指数函数三大特征：(1)底数a0，且a1；(2)ax的系数为1；(3)yax中a是常数，x为自变量，自变量在指数位置上活学活用下列函数中是指数函数的是_(填序号)y2()x；y2x1；yx；yxx；y3；yx.解析：中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；中y2x12x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；中

4、底数为x，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；中指数不是x，故不是指数函数；中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数答案：指数函数的图象问题例2(1)如图是指数函数yax，ybx，ycx，ydx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为()Aab1cdBba1dcC1abcdDab1d0，且a1)的图象过定点_解析(1)由图象可知的底数必大于1，的底数必小于1.过点(1,0)作直线x1，如图所示，在第一象限内直线x1与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数，则1dc，ba1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为ba1d0，且a1)的图象过定点(0,1)，所以在函数yax33中

5、，令x3，得y134，即函数的图象过定点(3,4)法二：将原函数变形，得y3ax3，然后把y3看作是(x3)的指数函数，所以当x30时，y31，即x3，y4，所以原函数的图象过定点(3,4)答案(1)B(2)(3,4)类题通法底数a对函数图象的影响(1)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a1时，指数函数的图象“上升”；当0a1，还是0ab1时，若x0，则axbx1；若xbxax0.当1ab0时，若x0，则1axbx0；若xax1.活学活用函数f(x)ax与g(x)xa的图象大致是()解析：选A当a1时，函数f(x)ax单调递增，当x0时，g(0)a1，此时两函数的图象大致为选

6、项A.与指数函数有关的定义域、值域问题例3求下列函数的定义域和值域：解(1)要使函数式有意义，则13x0，即3x130.因为函数y3x在R上是增函数，所以x0，故函数y的定义域为(，0因为x0，所以00且y1(3)要使函数式有意义，则|x|0，解得x0，所以函数y的定义域为x|x0而y01，则函数y的值域为y|y1类题通法指数型函数的定义域、值域的求法(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是yax型还是yaf(x)型，前者的定义域是R，后者的定义域与f(x)的定义域一致，而求y型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函

7、数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，)，切记准确运用指数函数的单调性活学活用求下列函数的定义域和值域：(1)y；(2)y ；(3)yax1(a0，且a1)解：(1)对于任意的xR，函数y都有意义，故函数y的定义域是R.由2xx2(x1)211，且函数yx在R上是减函数，可知函数y的值域是.(2)要使函数解析式有意义，需32x10，解得x，故函数的定义域是，函数的值域是0，)(3)函数yax(a0，且a1)的定义域是R，值域是(0，)，故函数yax1(a0，且a1)的定义域是R，值域是(1，)典例(12分)已知函数ya2x2ax1(a0，且a1)，当x0时，求函数f(x)的值域解题

8、流程 活学活用求函数yxx1的值域解：令tx，则t0，yf(t)t2t12.因为函数f(t)2在(0，)上为增函数，所以y(1，)，即函数的值域为(1，)随堂即时演练1已知1nm0，则指数函数ymx，ynx的图象为()解析：选C由于0mn1，解得a0且a1.(1)求a的值；(2)求函数yf(x)(x0)的值域解：(1)因为函数图象过点，所以a21，则a.(2)f(x)x1(x0)，由x0，得x11，于是00时，函数f(x)(a21)x的值总大于1，则实数a的取值范围是()A(，1)(1，)B(1,1)C(，1)(1，)D(，)(，)解析：选D依题意得a211，a22，|a|，所以实数a的取值范

9、围是(，)(，)4函数y(0a0时，yax(0a1)，故排除选项A，B，当x0时，yax，与yax(0a1，x1，1b1，且1b0，故其图象如图所示二、填空题6已知函数f(x)则f(2)_.解析：f(2)f(3)238.答案：87.图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数yax的图象，而a，则图象C1，C2，C3，C4对应的函数的底数依次是_，_，_，_.解析：由底数变化引起指数函数图象变化的规律，在y轴右侧，底大图高，在y轴左侧，底大图低则知C2的底数C1的底数1C4的底数C3的底数，而，故C1，C2，C3，C4对应函数的底数依次是，.答案：8若x1，x2是方程2x的两个实数解，则x1x2

10、_.解析：2x，2x21，x1，x2x10.x1x21.答案：1三、解答题9求函数yxx1在3,2上的值域解：yxx12x1，令xt，则yt2t12，对称轴为直线t.因为x3,2，所以x8，即t8.当t时，ymin；当t8时，ymax57.函数yxx1在3,2上的值域为.10已知1x2，求函数yf(x)323x19x的值域解：f(x)323x19x(3x)263x3.令3xt，则yt26t3(t3)212.1x2，t9.由于当t3，即x1时，y取得最大值12；当t9，即x2时，y取得最小值24，即f(x)的最大值为12，最小值为24.故所求函数f(x)的值域为24,1211已知函数f(x)ax在2,2上恒有f(x)2，求a的取值范围解：当a1时，函数f(x)ax在2,2上单调递增，此时f(x)f(2)a2，由题意可知a22，即a，所以1a.当0a1时，函数f(x)ax在2,2上单调递减，此时f(x)f(2)a2由题意可知a22，即a，所以a1.综上所述，所求a的取值范围是(1，)12求k为何值时，方程|3x1|k无解？有一解？有两解？解：函数y