分式知识点总结和练习题讲义

1、分式知识点总结和题型归纳（一）分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义:一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。【例1】下列代数式中：，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件分式有意义：分母不为0（） 分式无意义：分母为0（） 【例1】当有何值时，下列分式有意义（1） （2）（3）（4）（5）题型三：考查分式的值为0的条件分式值为0：分子为0且分母不为0（）【例1】当取何值时，下列分式的值为0. （1） （2） （3）【例2】当为何值时，下列分式的值为零：（1） （2）题型四：考查分式的值为正、负的条件分式值为正或大于0：分子分母同号（或）

2、 分式值为负或小于0：分子分母异号（或）（1）当为何值时，分式为正； （2）当为何值时，分式为负；（3）当为何值时，分式为非负数.题型五：考查分式的值为1，-1的条件分式值为1：分子分母值相等（A=B） 分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）【例1】若的值为1，-1，则x的取值分别为 （二）分式的基本性质及有关题型1分式的基本性质： 2分式的变号法则：题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1） （2）题型二：分数的系数变号【例1】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1） （2） （3）题型三：化简求值题【

3、例1】已知：，求的值 【例2】已知：，求的值.【例3】若，求的值. 【例4】已知：，求的值.【例5】若，求的值.1、 已知求代数式的值（三）分式的运算 分式的乘除法法则：乘法分式式子表示为： 除法分式式子表示为： 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为： 分式的加减法则： 异分母分式加减法：式子表示为：整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。题型一：通分1系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 2取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.3如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.【例1】将下

4、列各式分别通分.（1） ； （2）；（3） ； （4）题型二：约分分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。【例2】约分：（1） ； （2）； （3）.题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （7）题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：，求分子的值；（2）已知：，求的值；（3）已知：，试求的值.题型五：求待定字母的值【例5】若，试求的值.第二部分 分式方程分式方程的解的步骤：去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产

5、生增根的过程）解整式方程，得到整式方程的解。检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。产生增根的条件是：是得到的整式方程的解；代入最简公分母后值为0。（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程（1） ； （2）； （3）； （4）题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程；提示：换元法，设； 题型三：求待定字母的值【例4】若关于的分式方程有增根，求的值.【例5】若分式方程的解是正数，求的取值范围.题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于的方程 题型五：列分式

6、方程解应用题1、某服装厂准备加工400套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问：原计划每天加工服装多少套？2、某商店经销一种泰山旅游纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售量，5月份该商店对这种纪念品打6折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元。（1） 求该种纪念4月份的销售价格？（2） 若4月份销售这种纪念品获得800元，5月份销售这种纪念品获利多少元？4、“丰收1号”小麦的试验田是边长为a（m）的正方形减去一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a-1)m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg

7、 （1）哪种小麦的单位面积产量高? (2)小麦高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？（二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法 例1解方程：二、化归法 例2解方程：三、左边通分法 例3：解方程：第十四章 整式乘除与因式分解14.1 整式的乘法14.1.1 同底数幂的乘法同底数幂的乘法法则：（都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加.注意底数可以是多项式或单项式.例1在横线上填入适当的代数式：，.试题分析：根据同底数幂的乘除法法则即可得到结果.

8、，考点：本题考查的是同底数幂的乘法，同底数幂的除法点评：解答本题的关键是熟练掌握同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.例2计算：；试题分析：根据同底数幂的乘法法则即可得到结果.考点：本题考查的是同底数幂的乘法点评：解答本题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.14.1.2 幂的乘方幂的乘方法则：（都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘. 幂的乘方法则可以逆用：即 例1对于非零实数，下列式子运算正确的是（ ）A B C D试题分析：根据幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则依次分析各项即可得到结果

9、.A，B，C无法合并，故错误；D，本选项正确.考点：本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法点评：解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.例2计算：试题分析：先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可.考点：本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法点评：解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.例3计算：； 试题分析：根据幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则即可得到结果.考点：

10、本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法点评：解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.例4计算： ； 试题分析：先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可.考点：本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法点评：解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.14.1.3 积的乘方积的乘方法则： （是正整数）.积的乘方，等于各因数乘方的积.例1计算的结果是A. B. C. D. 【解析

11、】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，求解即可（a2b）3=（a2）3b3=a6b3=a6b3例2计算（2a)3的结果是【 】 A .6a3 B.6a3 C.8a3 D.8a3【解析】根据幂的乘方和积的乘方运算法则计算后作出判断：.故选D.例3计算： .试题分析：积的乘方法则：积的乘方等于它的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.考点：本题考查的是积的乘方 点评：本题是基础应用题，只需学生熟练掌握积的乘方法则，即可完成.例4计算：；试题分析：先计算，再计算幂的乘方即可.考点：本题考查的是幂的乘方 点评：解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘

12、.14.1.4 整式的乘法1、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.例1单项式4x5y与2x2（-y）3z的积是（ ）A8x10y3z B8x7（-y）4z C-8x7y4z D-8x10y3z试题分析：直接根据单项式乘以单项式的法则计算即可得到结果.由题意得，考点：本题考查的是单项式乘单项式点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘单项式法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式.例2 .试题分析：根据单项式乘单项式法则，同底数幂的乘法法则即可得到结果.

13、考点：本题考查的是单项式乘单项式，同底数幂的乘法点评：解答此题需熟知以下概念：（1）单项式与单项式相乘，把他们的系数相乘，相同字母的幂相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式；（2）同底数的幂相乘，底数不变，指数相加例3计算：x2y3xyz=_； 试题分析：根据单项式乘单项式法则直接计算即可.x2y3xyz=x2xy3yz=x3y4z. 考点：本题考查的是单项式乘单项式点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘单项式法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式.例4计算：2ab2a3=_；试题分析：根据单项式乘单项式法则直接计算即

14、可.2ab2a3=2aa3b2=a4b2.考点：本题考查的是单项式乘单项式点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘单项式法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式.例5 .试题分析：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.考点：本题考查的是单项式乘单项式点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握单项式乘单项式法则，即可完成.2、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即(都是单项式).例1计算：； 试题分析：先根据单项式乘多项式法则去括号，再合并同

15、类项即可.考点：本题考查的是单项式乘多项式，合并同类项点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式法则：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.例2计算：试题分析：根据单项式乘多项式法则化简即可.考点：本题考查的是单项式乘多项式点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式法则：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.例3计算：； 试题分析：根据单项式乘多项式法则化简即可.考点：本题考查的是单项式乘多项式点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式法则：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.例4计算：.试题分析：根据单项式乘多项式的法则即可得到结果.考点：本题考查的是单项式乘多项式

16、点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.例5计算：.试题分析：先根据单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项即可.考点：本题考查的是单项式乘多项式，合并同类项点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式法则：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.3、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加.例1计算：（a+2b）（a-b）=_；试题分析：根据多项式乘以多项式的法则：（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，计算即可（a+2b）（a-b）= a2-ab+2ab -2b2 =a2+ab-2b2考点：本题

17、考查的是多项式乘以多项式点评：解答本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项例2计算：（3x-y）（x+2y）=_试题分析：根据多项式乘以多项式的法则：（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，计算即可（3x-y）（x+2y）=3x2+6xy- xy-2y=3x2+5xy-2y考点：本题考查的是多项式乘以多项式点评：解答本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项例3计算：（x+1）（x

18、2-x+1）=_ _ _ 试题分析：根据多项式乘多项式法则化简即可.（x+1）（x2-x+1）=考点：本题考查的是多项式乘多项式点评：解答本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加4、同底数幂的除法法则：（都是正整数，且同底数幂相除，底数不变，指数相减.例1计算：= ，= .试题分析：根据同底数幂的除法法则即可得到结果.，考点：本题考查的是同底数幂的除法点评：解答本题的关键是熟练掌握同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减.例2计算： m3m2 . 【解析】根据同底数幂的除法法则进行解答即可：原式=5、零指数：，即任何不等

19、于零的数的零次方等于1.例1= A2B2C1D1【解析】零指数幂.根据任何非0数的0次幂等于1解答即可：.故选D.例2计算：|2|+（3）0=【解析】此题考查绝对值的运算、幂的运算性质和二次根式的化简，即；解：原式；例3计算：（-0.5）0（-）-3试题分析：根据零指数幂的运算法则，负整数指数幂的运算法则，即可得到结果.原式考点：本题考查了零指数幂，负整数指数幂解答本题的关键是熟练掌握任意非0数的0次幂均为0，负整数指数幂的运算法则：（a0，p是正整数）6、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.注意：首

20、先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 7、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加.即：14.2 乘法公式14.2.1 平方差公式平方差公式：注意平方差公式展开只有两项公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.右边是相同项的平方减去相反项的平方. 例1下列能用平方差公式计算的是（ ） A、 B、 C、 D、【解析】A、应为（-x+y）（x-y）=-（x-y）（x-y）=-（x-y）2，故本选项错误；B、（x-1）（-1-x）

21、=-（x-1）（x+1）=-（x2-1），正确；C、应为（2x+y）（2y-x）=-（2x+y）（x-2y），故本选项错误；D、应为（x-2）（x+1）=x2-x-2，故本选项错误例2计算的结果是（ ）A、 B、 C、 D、【解析】平方差公式的应用，原式=，故选C例3若ab=2011，ab=1，则a2b2=_.考点：平方差公式分析：先根据平方差公式分解因式，再整体代入即可解：a+b=2011，a-b=1，a2-b2=（a+b）（a-b）=20111=2011例4(a3)(3a)_ 【解析】根据平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2填空解：（a+3）（3-a）=（3+a）（3-a）=32-a

22、2=9-a214.2.2 完全平方公式完全平方公式：完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个样.公式的变形使用：（1）；（2）三项式的完全平方公式： 例1若，则的值是（ ）A. 25 B. 19 C. 31 D. 37【解析】解：，故选D.例2计算： .试题分析：化，再根据完全平方公式计算即可.考点：题考查的是完全平方公式点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：例3计算：（1）199.92=_；（2）512=_；（3）1-251+512=_【答案】（1）39960.01；（2）2601；（3）2500试题分析：根据完全平方公式依次分析各小题即可.（1）199.92=

23、（200-0.1）2=2002-22000.1+0.12=40000-40+0.01=39960.01；（2）512=（50+1）2=502+2501+12=2500+100+1=2601；（3）1-251+512=（1-51）2=（-50）2=2500考点：本题考查的是完全平方公式 点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：（ab）2=a22ab+b214.3 因式分解14.3.1 提公因式法1、会找多项式中的公因式；公因式的构成一般情况下有三部分：系数一各项系数的最大公约数；字母各项含有的相同字母；指数相同字母的最低次数；2、提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定

24、另一因式需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项3、注意点：提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“”号，使括号内的第一项的系数是正的14.3.2 公式法运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：1、平方差公式： a2b2（ab）（ab）2、完全平方公式：a22abb2（ab）2 a22abb2（ab）2例1已知，则【解析】由题意得（a-b）2=6， 则例2因式分解： 试题分析：根据完全平方公式即可得到结果.考点：本题考查的是完全平方公式点评：解答本题的关键是熟练

25、掌握完全平方公式：第十三章轴对称一、知识点归纳（一）轴对称和轴对称图形1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点两个图形关于直线对称也叫做轴对称2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线）3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂

26、直平分线。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。5画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。（二）、轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称联系：1：都是折叠重合2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。（三）线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的

27、中垂线）（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上（证明是必须有两个点）因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合（四）用坐标表示轴对称1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（-x，y）；2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）；(五）关于坐标轴夹角平分线对称点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线yx对称的点的坐标是（y，x） 点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线yx对称的点的坐标是（y，x）（六）关于平行于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线xm对称的点的坐标

28、是（2mx，y）；点P（x，y）关于直线yn对称的点的坐标是（x，2ny）；(七）等腰三角形1、等腰三角形性质：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.（八）等边三角形1、定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。2、性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60。（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。（3）有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。（4）在

29、直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （九）其他结论 （1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）常用辅助线：三线合一；过中点做平行线考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识1 对称图形：如果_个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够_，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫做_。2 对称：对于_ 个图形，如果沿着一条直线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形成_，这条直线就是对称轴。两个图形中的对应点叫做_典例1下列几何图形中，线段角直角三角形半圆，其中一定是

30、轴对称图形的有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个2图9-19中，轴对称图形的个数是（ ） A4个 B3个 C2个 D1个3正n边形有_条对称轴，圆有_条对称轴考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的_、_完全一样（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于_的对称点（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴_关于坐标轴对称点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）关于原点对称点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y）关于坐标轴夹角平分线对称点P（x，y）关于第一、三象限坐标

31、轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y= -x对称的点的坐标是（-y，-x）关于平行于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线x=m对称的点的坐标是（2m-x，y）；点P（x，y）关于直线y=n对称的点的坐标是（x，2n-y）；考点三、作一个图形关于某条直线的轴对称图形第1题图（1）作出一些关键点或特殊点的对称点（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形典例：1、如图，RtABC，C=90,B=30,BC=8，D为AB中点，P为BC上一动点，连接AP、DP,则AP+DP的最小值是 2、已知等边ABC，E在BC的延长线

32、上，CF平分DCE，P为射线BC上一点，Q为CF上一点，连接AP、PQ.若AP=PQ，求证APQ是多少度考点四、线段垂直平分线的性质线段是轴对称图形，它的对称轴是_线段的垂直平分线上的点到_相等归类回忆角平分线的性质角是轴对称图形，其对称轴是_角平分线上的点到_相等典例1、如图，ABC中，A=90，BD为ABC平分线，DEBC，E是BC的中点，求C的度数。2、 如图，ABC中，AB=AC，PB=PC，连AP并延长交BC于D，求证：AD垂直平分BC3、如图,DE是ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则EBC 的周长为（ ）A.16厘米 B.18厘米 C.26厘米 D.28

33、厘米4、 如图，BAC=30，P是BAC平分线上一点，PM AC，PDAC，PD=28 , 则AM= FEDCBAG5、如图，在RtABC中，ACB = 90，BAC的平分线交 BC于D. 过C点作CGAB于G，交AD于E. 过D点作DFAB于F.下列结论：CED=CDE；ADF=2ECD； ；CE=DF. 其中正确结论的序号是( ) A B C D考点五、等腰三角形的特征和识别等腰三角形的两个_相等（简写成“_”）等腰三角形的_、_、_互相重合（简称为“_”）特别的：（1）等腰三角形是_图形. （2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应_.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的

34、_也相等（简称为“_”）特别的：（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形典例1、如图，ABC中，AB=AC=8，D在BC上，过D作DE AB交AC于E，DFAC交AB于F，则四边形AFDE的周长为_ 。2、 如图，ABC中，BD、CD分别平分ABC与ACB，EF过D且EFBC，若AB = 7，BC = 8，AC = 6，则AEF周长为( )A. 15 B . 14 C. 13 D. 18 3、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰

35、的夹角为40，则它的一个底角的度数是_4、已知，在ABC中，ACB=90，点D、E在直线AB上，且AD=AC，BE=BC，则DCE = 度.5、如图：在ABC中，AB=AC，ADBC， DEAB于点E, DFAC于点F。试说明DE=DF。FEDCBA6、如图,E在ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE.求证：ABC是等腰三角形.考点六、等边三角形的特征和识别等边三角形的各_相等，各_相等并且每一个角都等于_三个角相等的三角形是_三角形有一个角是60的_三角形是等边三角形特别的：等边三角形的中线、高线、角平分线_典例1、下列推理中，错误的是 ()AAB

36、C，ABC是等边三角形BABAC，且BC，ABC是等边三角形CA60，B60，ABC是等边三角形DABAC，B60，ABC是等边三角形2、如图，等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CECD，DMBC，垂足为M。ABCDEM求证：M是BE的中点。考点七、30所对的直角边是斜边的一半1、如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=8m，A=30，则DE等于（ ）A1m B2m C3m D4m2、如图：ADC中，A = 15，D=90，B在AC的垂直平分线上，AB =34，则CD = ( )A. 15 B . 17 C. 16 D.

37、以上全不对 3、一张折叠型方桌如图甲，其主视图如图乙，已知AO=BO=40cm，C0=D0=30 cm，现将桌子放平，两条桌腿叉开的角度AOB刚好为120，求桌面到地面的距离是多少？ 甲第4题图4、如图，AB=AC，DEAB于E，DFAC于F，BAC=120o，BC=6，则DE+DF= 5、在中，的垂直平分线交于点，交于点如果，求的长第十二章全等三角形（一）知识储备1、全等三角形的概念： （1）能够重合的两个图形叫做全等形。（2）两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形。两个全等三角形，经过运动后一定重合，相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角叫做对应角。（3）全等三

38、角形的表示： 如图，ABC和DEF是全等三角形，记作ABCDEF，符号“”表示全等，读作“全等于”。 注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。2、全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等，对应角相等。【例1】 如图，ABCDEF，则有：AB=DE，AC=DF，BC=EF；A=D，B=E，C=F。 3、全等三角形的判定定理： S.A.S “边角边”公理： 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。【例2】A.S.A “角边角”公理： 两角和它们的所夹边对应相等的两个三角形全等。【例3】A.A.S “角角边”公理： 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。【例

39、4】S.S.S “边边边”公理： 三边对应相等的两个三角形全等。【例5】H.L “斜边直角边“公理 斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等。【例6】（二）双基回眸1、下列说法中，正确的个数是 （ ） 全等三角形的周长相等 全等三角形的对应角相等 全等三角形的面积相等 面积相等的两个三角形全等 A4 B3 C2 D12、如果ABCDEF，则AB的对应边是_，AC的对应边是_，C的对应角是_， DEF的对应角是_3、 如图，ABCBAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB5，BD6，AD4， 那么BC等于 （ ） A6 B5 C4 D无法确定 4、 如图，ABCADE，若B80，C30，DAC

40、35，则EAC的度数 为 （ ） A40B35C30D255、能确定ABCDEF的条件是 （ ） AABDE，BCEF，AE BABDE，BCEF，CE CAE，ABEF，BD DAD，ABDE，BE6、如图，已知ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和ABC全等的图形是 （ ） A甲和乙 B乙和丙 C只有乙 D只有丙（三）例题经典例1：如图，ABCDCB（1）若D74DBC38，则A_，ABC_；（2）对应边AC ，AB= ；（3）如果AOBDOC，则AO= _，BO= _，A=_ ，ABC= 例2：如图，AB、CD相交于O点，AOCO，ODOB求证：DB例3：如图，PMPN，MN

41、求证：AMBN例4：如图，ACBD求证：OAOB，OCOD例5：如图，RPQ中，RPRQ，M为PQ的中点求证：RM平分PRQ例6：如图，ABBD，CDBD，ADBC求证：（1）ABDC：（2）ADBC例7：阅读下题及一位同学的解答过程，回答问题： 如图，AB和CD相交于点O，且OAOB，AC。那么AOD与COB全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由。答：AODCOB证明：在AOD和COB中， AODCOB （ASA）问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？例8：如图，在MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQNQ求证：HNPM.例9：如图，AD=AE，1=2，点D、E在BC上

42、，BD=CE。求证：ABDACE例10：如图，已知ADCB，AD=CB，AE=BF，求证：（1）AFDBEC （2）DFCE.拓展变式例1： 如图, AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合，过角尺顶点C的射线OC便是AOB的平分线，为什么?例2：要测量河两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，这时测得的DE的长就是AB的长。写出已知和求证，并且进行证明。实战演练一、填空题1、如图，ABE和ADC是ABC分别沿着AB，AC翻折180形成的若12328

43、53，则的度数为_第1题 第3题第2题2、已知：如图，ABAC，BDAC于D，CEAB于E.欲证明BDCE，需证明_，理由为_3、已知：如图，AEDF，AD，欲证ACEDBF，需要添加条件_,证明全等的理由是_；或添加条件_，证明全等的理由是_；也可以添加条件_，证明全等的理由是_4、如图，根据SAS，如果ABAC， ，即可判定ABDACE.5、如图，BD垂直平分线段AC，AEBC，垂足为E，交BD于P点，PE3cm，则P点到直线AB的距离是_. 第6题EDCBA第5题ECDPAB6、如图，在等腰RtABC中，C90，ACBC，AD平分BAC交BC于D，DEAB于D，若AB10，则BDE的周长

44、等于. 第4题EDCBA7、如图，ABCDEB，ABDE，EABC，则C的对应角为 ，BD的对应边为 .8、如图，ADAE，12，BDCE，则有ABD ，理由是 . 9、如图，ADBC，DEAB，DFAC，D、E、F是垂足，BDCD，那么图中的全等三角形有_对.第9题BAEDC第7题图EDABC12第8题二、选择题1、AD是ABC的角平分线，作DEAB于E，DFAC于F，下列结论错误的是（ ）DEDFBAEAFCBDCDDADEADF2、下列语句中，正确的有（ ）（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等（3）有两边和第三边上的

45、高对应相等的两个三角形全等 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3、下列说法中，正确的是（ ）A.相等的角是直角 B.不相交的两条线段平行C.两直线平行，同位角互补 D.经过两点有且只有一条直线4、如图，若ABEACF，且AB5，AE2，则EC的长为（ ）A.2 B.3 C.5 D.2.5第5题第4题FECBA5、如图，12，BCEF，欲证ABCDEF，则还须补充的一个条件是（ ）A.ABDE B.ACEDFB C.BFEC D.ABCDEF6、如图，ABC是不等边三角形，DEBC，以D、E为两个顶点画位置不同的三角形，使所画的三角形与ABC全等，这样的三角形最多可画出（ ）第6题A.2个

46、B.4个 C.6个 D.8个第7题7、如图，ABC中，ADBC，D为BC中点，则以下结论不正确的是（ ）A.ABDACD B.BC C.AD是BAC的平分线 D.ABC是等边三角形8、如图，12，CD，AC、BD交于E点，下列结论中正确的有（ ）DAECBE CEDE DEACBE EAB是等腰三角形A.1个 B.2个 C.3个 D.4个B第8题A9、如图，在ABC中，ABAC，AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，AB10，BCD的周长为18，则BC的长为（ ）A.8 B.6 C.4 D.2三、解答题1、如图，已知线段a、b，求作：RtABC，使ACB90，BCa，ACb（不写作法，保留作图痕迹）.baAPBC2、如图，BP、CP是ABC的外角平分线，则点P必在BAC的平分线上，你能说出其中的道理吗？3、如图，已知12，34，ECAD，求证：ABBE.4、如图，工人师傅制作了一个正方形窗