1[1].3.1第1课时等比数列 教案北师大版必修五

1、11.3.1第1课时等比数列 教案北师大版必修五3等比数列31 等比数列第1课时等比数列三维目标知识与技能掌握等比数列的概念和通项公式,理解等比数列的通项公式的推导过程2过程与技能通过与等差数列的通项公式的推导过程类比，探索等比数列的通项公式，体会类比思想3情感、态度与价值观通过公式的推导与简单应用,激发学生求知欲,鼓励学生大胆尝试,敢于探索、创新的学习品质重点难点重点:等比数列的概念和通项公式.难点:等比数列的判定.教学建议 问题问题设意图师生活动(1)教材p21问题(1）由拉面次数生活模型,归纳每次捏合的规律，并用数列模型加以刻画引导学生，启发学生发现规律：第1次是1根，第2次捏合成21=

2、2根,第3次捏合成2222根，记录每次捏合成的根数，从而得到数列，2，4,(）庄子中有这样的论述：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.你能用现代语言叙述这段话吗?若把“一尺之棰”看成单位“”，那么“日取其半”会得到一个怎样的数列?由“日取其半”发现等比数列引导学生发现“日取其半”所蕴涵的等比关系.发现等比关系，写出一个无穷等比数列.(3)回忆数列的等差关系和等差数列,观察前面2个数列，说说它们有什么共同特点发现数列中的等比关系，概括出等比数列的概念引导学生类比等差数列的概念，概括出等比数列的定义分组讨论它们的共同特点，然后归纳等比数列的定义、并交流.(4)总结学生的结论,给出等比数列的定义教学流

3、程(对应学生用书第16页)课标解读1.掌握等比数列的概念、判定方法和通项公式(重点）2理解等比数列通项公式的推导过程.掌握等比数列通项公式的简单应用（重点、难点）.等比数列的概念【问题导思】 对于下列数列：2,4,，；1,，,；1,3,9，7,这几个数列，从相邻项的关系上看,有什么共同特征?怎样用关系式表示上面数列中an+1与的关系？【提示】从第项起，每一项与前一项的比是同一个常数.=2;=文字语言如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比,公比常用字母表示(q）.符号语言若(n,），则数列n为等比数列.等比数列的通项公

4、式【问题导思】 上面这3个数列的通项公式分别是什么?【提示】an2;=()n-;an3n1. 首项是a1，公比是的等比数列an的通项公式为n1qn-1(a10,0).(对应学生用书第1页)等比数列的通项公式 已知an为等比数列,3，a2+a4,求an的通项公式.【思路探究】欲求an需要已知、q，如何由a3=2与a2a4=表示出1、q呢?【自主解答】 设等比数列an的公比为q,则0,a2=,a4=a3q,q=，解得或q.当q时，a1=1,此时=8()n123-n；当3时，1，此时n=n-123n-3.1.a和q是等比数列的基本元素，只要求出这两个基本元素,其余的元素便可求出.2等比数列的通项公式

5、涉及4个量a,n，n，q知任意三个就可以求出另外一个本例中若条件改为a1a31，46=,如何求an.【解】 由题意知a（1q2)10,1q3（1q2)得q,a（1）10，a1=8.a=8()-12.等比数列的判定已知数列的前n项和为n，n(an1）（nn).(1)求a1、a;(2）求证:数列an是等比数列【思路探究】 利用an=snn(2），求n，再利用定义证明.【自主解答】(1）sn（an1）(n+)，当n=1时，s1=(a1),即a1(-1)，得1,当n2时,s2=aa2(a2-1)，a2=.(2)证明 当n=1时,-;当n时,a=sn-sn=(an-1)-(-11)，即2a-a，-.an

6、是首项为，公比为-的等比数列.证明数列是等比数列常用的方法:定义法:=(常数)或=q（常数)(n2)a为等比数列等比中项法：an+1anan（an0，nn+）an为等比数列;通项法:n=aqn1(其中a1、q为非零常数，n+)an为等比数列.已知数列an满足a1，an1=2an+1.（1)证明：数列an1是等比数列；(2）求数列a的通项.【解】（)证明:由an+1=2an+1，得an+=2(an+1),=2即an1是等比数列.()由()知an1为等比数列其首项为a1+12，公比为2,a+=22n1=2n,a2n-1.等差数列与等比数列的综合问题有四个数，其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数

7、列,并且第一个数与第四个数的和是1，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.【思路探究】根据等差数列的特点如何设出这四个数?根据等比数列的特点又如何设出这四个数?【自主解答】法一 设四个数依次为d，a，a+d,由条件得解得或所以,当a=4,d=4时,所求四个数为0,4,8,16；当a=，d=时，所求四个数为，,3，1.故所求四个数为0，4,16或15，9，3，.法二设四个数依次为-a,a，(0，0)，由条件得解得或当q=2，a8时,所求四个数为，4，8，6;当q=,a3时,所求四个数为15，3，.1解答本题的关键是合理地设出所求数中的三个，再根据题意得出另一个2一般地，若三个数成等比数列,可

8、设为，aq；若四个数成等比数列可设为,，aq,aq3,这样数列呈现一种“对称性”，便于计算.已知三个数成等比数列，它们的积为7,若这三个数分别加上1，4,又成等差数列,求这三个数【解】 设这三个数分别为，a，.依题意得解得或这三个数为9,3,或，3,9(对应学生用书第18页)忽视q的符号致误 若等比数列n满足nan+116n,则公比q=_【错解】由题意知a1a216,a2a162，2=6，q=4【答案】4【错因分析】 本题忽视了的正负情况导致出现错误答案.【防范措施】由21解得q=4需进一步检验方可得出正确答案.【正解】 由题意知a1a26,a2a=62，q216.又a1a2=a12=6,0,

9、q=4【答案】41判断或证明等比数列的常用方法:(1)定义法:q（为不等于0的常数)n为等比数列()通项公式法：ana1n-1(a1,q0)an为等比数列.2在解决与等差、等比有关的此类问题,合理地设项是解决问题的关键.(1)三个数成等比,常设成,a，a或，a，;（2)四个数成等比，常设成a,aq，a2，aq或,，a，aq；(3)三个数成等差，常设成a-d，a+d；（4）四个数成等差，常设成a-3d,a-,+d，a+d.3通过类比等差数列来学习等比数列，体会类比思想（对应学生用书第19页)1已知n为等比数列,=12，a224,则a3（ )a3 b.8 .6 d72【解析】a1()212()28

10、.【答案】b2.已知数列，a(a),a(a)2,是等比数列，则实数a的取值范围是(）a.a1 b.a且aca0 d0或a1【解析】 由a,q0，得0，-a，所以a0且a1.【答案】 3各项都为正数的等比数列an中,a1=2,=a1a3,则公比q=_【解析】 62a3，a5=13q3,24，=.【答案】 2已知等比数列an中,a5=0,a15=5，求20.【解】 法一得q0=，.20a1q19=(1q4）10q=2()=.法二 由a5=a51,得1，q.因此a0=15q5=5().(对应学生用书第89页)一、选择题1已知数列a是公比为的等比数列,且1,a，2成等差数列，则公比q的值为(）a1或

11、b.1 . .2【解析】 由数列a是公比为q的等比数列，且a1，a，a2成等差数列,得1q2=a1+1q.a1,2q21=0，解得q1或-.【答案】 a.(23山师大附中高二检测）已知等比数列a的公比为正数，且a95，a1，则a1=(）a. b.c. d.2【解析】aa922=a62,=.又21a,a1.【答案】b(203临沂高二检测)若n为等比数列,且24a6-a，则公比为().0 b.或2.1或2 d或-2【解析】由2a4=a6得，2a4q-4,0，2-0,解得q=-1或2【答案】c4.在等比数列a中,a1=1，公比|q|若am=aaa3a45,则=().9 10c11 d12【解析】 m

12、=a23a4a5=（a1q)(a12)（a1q3)（a4)，aqm-=q0，且a,1=q10,m-110,m=.【答案】 c(213吉林高二检测）各项都是正数的等比数列an中,a2，a,a1成等差数列，则的值为(）a. b或. d.【解析】设a公比为q，2，3,a成等差数列，a3a1+，a2a1a1q.qq-10，解得=.数列各项都是正数,q0,q=，=.故选.【答案】 c二、填空题.设a1=，数列2an1是公比为-2的等比数列，则a_【解析】 2a1(2a1)(2)5-2,a6-【答案】7一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2kb，然后每分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的倍，那么

13、开机后_分钟，该病毒占据6 b(1b1kb）【解析】由题意可得每3分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列,设病毒占据64mb时自身复制了次,即n=6421026,解得n=5,从而复制的时间为15345【答案】 58.(20连云港高二检测）三个不相等的实数a，b，c成等差数列,且a,，b成等比数列，则abc=_.【解析】 由题意得2b=ac，c=b，由得c=2b-a,将代入得ab(舍去)或a=b，c=2b-a=2b-=2b.则b41(-)【答案】1(2)三、解答题9已知数列an是等比数列,且a+a7=9,a+8=18,an6,求项数n.【解】法一 an=2n-1n-4.由an64，-464,2n-

14、=26,n46，=1.法二a58=（4a)18，且a4a79.2,又根据9a4a7=a4(1q)4（3),a4=1.故naq-4=124=2n-由an6,故42n4,即2-4，n4=6，=10.0等比数列a中,已知1=2，a4=16.(1)求数列an的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列bn的第3项和第5项,试求数列bn的通项公式.【解】 (1）设a的公比为q，由已知得16=2q3,解得q=2,故数列a的通项公式为an=22n1n.(2)由(1)得a3=8,a532，则b3=8，5=32,设bn的公差为d，则有，解得，从而bn6+12(n-1）12n-281.在数列an中,a1=2,an

15、+1=4an-3n+1,nn+（）证明数列nn是等比数列；（2）求数列n的通项公式.【解】 （1)证明由题设an+14a1，得an-(n+1)4(an-n)，nn.又-1=，所以数列an-是首项为1，且公比为4的等比数列.(2)由（)可知ann=,于是数列an的通项公式为n=4n1.(教师用书独具)已知关于的二次方程anx2nx1=0(nn*)的两根,满足6-263,且11.(1）试用an表示a+；（2）求证：数列n-是等比数列；(3)求数列an的通项公式【思路探究】 ()用n表示an+需要什么条件?()如何证明an是等比数列？()求n需要求出什么量?【自主解答】(1）,是方程nx2-an1x0(n)的两根,，又663，6n+-3an2=，an1=an+.（）a+1ann+1-an-=为常数，an-为等比数列.(3)令bnn-,则bn是等比数列，公比为,首项b11-=,=()n-1，an()n1+数列an的通项公式为n=()1+.本