人教版小学数学6年级上册教案

1、人教版小学数学六年级上册教案1. 计算题以复习分数加减法、通分、约分开场。分数加减法的意义和运算法则。复习：整数运算(1) (2)(3)1.1. 分数乘法分数乘以整数意义：分数乘以整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。法则：分数乘以整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。例如：4个是多少？一个数乘以分数意义：一个数乘以分数的意义，就是求这个数的几分之几是多少。例如：4的是多少？图示：的2倍：的：的：法则：分数乘以分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。分数乘法中有带分数的，通常先把带分数化成假分数，然后再乘。如图可以看出，一个正数乘以真分数的得数小

2、于这个数自身，一个正数乘以假分数则大于这个数自身。运用交换率、结合率和分配率使计算简便。先约分后计算，约分的目的是简化分母。题型一：比较大小(1) 下面哪两个数的积在和之间？(2) 已知，以上四个数的大小顺序为？解：先化简等式，令以上等式为1，则，、的两的因数都是真分数，、的第一个因数是真分数，第二个因数是假分数，与不能直接比大小。现比较与，即，易知易错题：带分数和整数乘以分数易混淆(3)题型二：数字拆解与分配律的运用(4) （人教版，2009：P14）(5) （人教版，2009：P14），引申，综合：分配律与结合律(6) 题型三：连乘求积，数字拆解(7) 1.2. 分数除法分数除法计算法则：

3、颠倒相乘。题型一：数字拆解与分配律的运用(1)(2)(3)题型二：恒等变形(4) 填空，解：原式填题型三：利用繁分数形式约分(5)(6)(7)(8)(9) ，(10) ，题型四：凑分母约分(11)(12) (13) (14)综合：凑分母约分、分配律、小数命题(15) 题中的除号可看作繁分数的主分数线，主分数线上下没有公约数，所以分子分母宜分别化简计算。题型五：等比数列(16) 按规律填数：30，20，（ ）分析：1.3. 分数的四则运算题型一：化小数的灵活运用分数与小数的加减混合运算，如果分数能化成有限小数，则化成小数后计算可以简便。分数与小数的乘除混合运算，则将小数化成分数后计算可以简便。(

4、1)(2)(3)(4)(5) 综合化小数与分配律命题(6) (7)(8)(9)(10) 综合化小数、分配律和繁分数命题(11) 题型二：等量代换（换元法、仿原子团）(12) 解：令，则(13) 解：令，则(14) 解：令，则(15) 解：令，则综合仿原子团和分配律(16)题型三：裂项相消求和基本公式：，(17) (18) (19)(20) (21) (22) (23) 分析：利用公式原式=(24) (25) 分析：，原式= (26) (27) 在括号里填两个不同的自然数：，(28) 在括号里填两个不同的自然数：，(29) 在括号里填两个不同的自然数：，(30) 在括号里填两个不同的自然数：，(

5、31) 已知，是不同的自然数，求两组的值方法一：（运用两重裂项相消法举穷），其中从1列举到18为止，选择能整除的，然后分别同理拆解和，其中从1列举到为止，选择能整除的其中从1列举到为止，选择能整除的故，例如：，；又，故，；又，故，列举如下： 疑问：不知以上方法是否有重复？总共有多少组不同的解？方法二：（运用单位分数的等比级数分解公式找到一组解），依此类推方法三：（运用完全数找到一组解）完全数，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数：它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。例如:第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1236。

6、第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，124+7+1428。后面的数是496、8128。右边三项中的分子考虑用整除，则有条件，完全数6正好满足该条件，于是方法三：（运用18的约数找到多组解）右边三项中的分子考虑用18整除，则有条件为18的任意3个不同的约数。18的约数共6个：1、2、3、6、9、18，选择方式共有种，例如后记：已知通过方法一求得求对应利用Excel规划求解，可变单元格，目标单元格限制条件：，(整数)，解得，这组数不能被18和单独整除，而是被整除，这说明了方法二、三的不必要性。综合裂项相消和等差数列求和公式(32) (33) (

7、34) 解：，(35) 分析：题型四：等比数列的错位相减法求和(36) 解：设，则原式=2. 应用题2.1. 分数乘法应用题乘法在应用题中的意义：(1) 整体的几分之几；(2) 速度时间、定额工程量；(3) 单位换算；(4) 面积计算。其中(1)在本节详细分解，(2)、(3)在下一节倒数与量纲中讲解，(4)与整数乘法相同。公式：标准量（单位“1”的量）比较量的对应分率=比较量如何找标准量？甲是乙的几分之几，甲相当于乙的几分之几，甲占乙的几分之几：“的”字前面的乙是标准量。甲比乙多几分之几，甲比乙少几分之几：“比”字后面的乙是标准量。甲减少几分之几，甲完成几分之几：对于分数前面省略“的”和“比”

8、的情况，句首主语甲是标准量。分数乘法应用题基本题型：(1) 甲为，乙是甲的，求乙？甲开始为，然后增加（减少）了，求增加（减少）了多少？任务甲为，完成了，求完成了多少？答案：(2) 甲为，乙比甲多，求乙？甲开始为，然后增加了，求增加后的甲是多少？答案：(3) 甲为，乙比甲少，求乙？甲开始为，然后减少了，求减少后的甲是多少？任务甲为，完成了，求还剩多少？答案：(4) 甲为，乙是甲的，丙是乙的，求丙？答案：教材P19，9，P122，7小灵通P10，六，P11，六，七，P16，七，八英才教程P32，例2，P36，（8），4，P42，（2），（3）题干分解：第一步：甲为，乙是甲的，求乙？标准量：甲，即；

9、比较量：乙；对应分率：，所以乙等于第二步：乙是，丙是乙的，求丙？标准量：乙，即；比较量：丙；对应分率：所以丙等于(5) *甲开始为，先减少，再减少，求共减少多少？答案：小灵通P18，五，3英才教程P48，（4）标准量：甲开始的，即；比较量：甲共减少的；对应分率：，所以甲共减少(6) *甲开始为，先减少，再减少，求剩下的？答案：英才教程P48，（5）标准量：甲开始的，即；比较量：甲最后的；对应分率：，所以甲最后的等于(7) *甲开始为，先减少，再减少剩下的，求甲最后剩多少？甲为，乙比甲少，丙比乙少，求丙？答案：小灵通P18，五，4英才教程P49，2题干一分解：第一步：甲开始为，先减少，求甲剩下的

10、？标准量：甲开始的，即；比较量：甲剩下的；对应分率：，所以甲剩下的等于第二步：甲剩下，再减少剩下的，求甲最后的？标准量：甲剩下的，即；比较量：甲最后的；对应分率：所以甲最后的等于题干二分解：第一步：甲为，乙比甲少，求乙？标准量：甲，即；比较量：乙；对应分率：，所以乙等于第二步：乙是，丙比乙少，求丙？标准量：乙，即；比较量：丙；对应分率：所以丙等于(8) *甲开始为，先减少，再增加剩下的，求甲最后是多少？甲为，乙比甲少，丙比乙多，求丙？答案：英才教程P49，数学万花筒题干一分解：第一步：甲开始为，先减少，求甲剩下的？标准量：甲开始的，即；比较量：甲剩下的；对应分率：，所以甲剩下的等于第二步：甲剩

11、下，再增加剩下的，求甲最后的？标准量：甲剩下的，即；比较量：甲最后的；对应分率：所以甲最后的等于题干二分解：第一步：甲为，乙比甲少，求乙？标准量：甲，即；比较量：乙；对应分率：，所以乙等于第二步：乙是，丙比乙多，求丙？标准量：乙，即；比较量：丙；对应分率：所以丙等于(9) *乙比甲少，甲比乙多几分之几？答案：英才教程P37，6分析：如线段图甲，“乙比甲少”表示：标准量（单位“1”的量）是甲，标准量的对应分率就是1；第一个比较量是甲与乙的差，第一个比较量的对应分率是；第二个比较量是乙，第二个比较量的对应分率是。不论标准量甲等于多少，以上三个量之间的比值不变，即：甲与乙的差甲乙=要求“甲比乙多几分

12、之几”就是要求“甲与乙的差”与“乙”的比值，即，如线段图乙，即“甲比乙多”，它表示：标准量（单位“1”的量）是乙，标准量的对应分率就是1；第一个比较量是甲与乙的差，第一个比较量的对应分率是；第二个比较量是乙，第二个比较量的对应分率是。不论标准量乙等于多少，以上三个量之间的比值不变，即：甲与乙的差甲乙=可见不管以谁为标准量，各量之间的比值不变。(10) *乙比甲多，甲比乙少几分之几？答案：分析：如线段图甲，“乙比甲多”表示：标准量（单位“1”的量）是甲，标准量的对应分率就是1；第一个比较量是甲与乙的差，第一个比较量的对应分率是；第二个比较量是乙，第二个比较量的对应分率是。不论标准量甲等于多少，以

13、上三个量之间的比值不变，即：甲与乙的差甲乙=要求“甲比乙少几分之几”就是要求“甲与乙的差”与“乙”的比值，即，如线段图乙，即“甲比乙少”，它表示：标准量（单位“1”的量）是乙，标准量的对应分率就是1；第一个比较量是甲与乙的差，第一个比较量的对应分率是；第二个比较量是乙，第二个比较量的对应分率是。不论标准量乙等于多少，以上三个量之间的比值不变，即：甲与乙的差甲乙=可见不管以谁为标准量，各量之间的比值不变。标*号的教材中没有但是教辅书中常出现的题型。例题：用分数乘法求比较量(1) 为迎接“六一”儿童节，星光玩具厂四月份计划生产12000件玩具，实际上半月生产了7000件,要超额完成全月计划的15%

14、，下半月还要生产多少件玩具？（知识大集结P133，3）解：12000(1+15%)7000=6800（件）(2) 每排树可使噪音降低，城市道路行车道噪音为80分贝，某临近道路学校的要求噪音不超过60分贝，问需要设置几排树？解：一排树后面噪音为（分贝），两排树后面噪音为（分贝），三排树后面噪音为（分贝），故设置三排树。(3) 56名同学打扫卫生，其中的人打扫礼堂，剩下的同学中打扫操场，再剩下的打扫教室，其余打扫花坛，问打扫花坛多少人？分析：除了打扫礼堂外的，剩下的人占总数的几分之几？除了打扫礼堂和操场，再剩下的人占剩下的几分之几？再剩下的人占总数的几分之几？除了打扫礼堂、操场和教室，打扫花坛的人

15、占再剩下的几分之几？打扫花坛的人占总数的几分之几？解：（人）(4) 某布行有一批布，第一天卖出，第二天卖出第一天剩下的，第三天补进第二天剩下的，问第三天补进后和第一天卖出前相比，布行的布增多了还是减少了？分析：已知第一天卖出，则第一天剩下的是原总量的几分之几？已知第二天卖出第一天剩下的，则第二天剩下的是第一天剩下的几分之几？第二天剩下的是原总量的几分之几？已知第三天补进第二天剩下的，则第三天补进后的是第二天剩下的几分之几？第三天补进后的是原总量的几分之几？解：，故数量相等。(5) 小明看一本书，第一天看了24页，第二天只看了第一天的，第三天看的是第二天的。他第三天看了多少页？（英才教程P36，

16、（8）解：（页）(6) 某村共有小麦40公顷，第一天收割了全部小麦的，第二天收割的比第一天的多4公顷，两天一共收割多少公顷？（英才教程P36，4）解：（公顷）(7) 仓库里有水泥240包，第一天运出总数的，第二天运出的相当于第一天运出的。第二天运出多少包？（英才教程P42，（3）解：(8) 一批钢材有24吨，第一次用去了这批钢材的，第二次用去了这批钢材的。两次一共用去了多少吨？（英才教程P48，（4）解：（吨）(9) 某厂第一季度计划生产零件5000个，实际一月份完成了，二月份完成了，三月份还要生产多少个就能完成任务？（英才教程P48，（4）（个）(10) 六年级三个班的学生参加栽树活动。一班

17、栽树39棵，二班栽树的棵数是一班的，三班栽的比二班的2倍少5棵。三班栽树多少棵？（小灵通P10，六）解：（棵）(11) 小亮的储蓄箱中有24元，小华储蓄的钱是小亮的，小明储蓄的钱是小华的。小明储蓄了多少元？（小灵通P11，六）解：（元）(12) 球从高处自由下落，每次接触地面后弹起的高度是前次下落高度的。如果球从35米高处落下，那么第二次弹起的高度是多少米？（小灵通P11，七）解：（米）(13) 王师傅四月份共加工了500个零件，李师傅加工的零件数是王师傅的，程师傅加工的零件数是李师傅的，求程师傅四月份加工多少个零件？（小灵通P16，七）解：（个）(14) 水果店有一些苹果、梨和桔子，苹果有6

18、0千克，梨的重量是苹果的，桔子的重量是梨的，桔子有多少千克？（小灵通P16，八）解：（千克）(15) 水果店运来240筐水果，第一天卖出总数的，第二天卖出的相当于第一天的。第二天卖出多少筐水果？（小灵通P22，三）解：（筐）(16) 一堆煤120吨，第一次运走总数的，第二次运走总数的，两次共运走多少吨？（小灵通P18，五，3）解：（吨）(17) 某人从甲地到乙地，第一天行了全程的，第二天行了剩下的。甲乙两地相距100千米。问行了两天后还剩下多少千米？（小灵通P18，五，4）解：（千米）2.2. 倒数与量纲分析倒数：乘积是1的两个数互为倒数。1除以一个数（0除外）的结果就是这个数的倒数。0没有倒

19、数：1除以0是无穷大，这从反比例函数可以看出，但是无穷大不是可以度量的数，所以0没有倒数。速度的倒数是定额（单位产品或单位工作中人工、材料、机械和资金消耗量的规定额度。）题型一：工程问题，工作效率与定额互为倒数（倒数的物理意义，多量纲）(1) 抹灰工每小时可粉刷平方米，求每平方米粉刷需多少小时？6平方米粉刷需多少小时？（由人教版，2009：P10，3引申）每小时粉刷平方米平方米/时时/平方米每平方米粉刷需小时6平方米粉刷需小时数为：6平方米时/平方米=时， 或6平方米平方米/时=时(2) 青藏高原每年上升7cm，问每上升1cm需要几分之几年？上升10cm需要多少年？50年能上升多少cm？（人教

20、版，2009：P12，4）(3) 蜂鸟每分钟飞km，问飞1km需要多少分钟？飞10km需要多少分钟？分钟能飞多少km？（人教版，2009：P11，4）(4) 甲工人每小时做200个零件，乙工人每小时做同样的零件150个。他们各做同样一批零件，甲比乙提前4小时完成。他们各做零件多少个？（小学数学教师1997（4），P82）解：甲工人每小时做200个零件甲工人做一个零件需要小时乙工人每小时做150个零件乙工人做一个零件需要小时乙做一个零件比甲多用小时同样一批零件，乙比甲多花4小时，说明所做的零件数为（个）(5) 一项工程，甲队单独做15天完成，乙队单独做20完成。甲队单独做5天后，再由甲、乙两队合

21、做，几天才能完成全部工程的呢？（知识大集结P134，5）解：（天）(6) 加工一批零件，甲单独做20天完成，乙单独做每天完成这批零件的。现在两人合做完成这批零件的加工任务，甲中途休息了5天，乙也休息了若干天，这样用了19天才完成任务。求乙休息的天数。（知识大集结P135，14）代数解法：设乙休息天，算术解法：甲工作的天数为（天），甲完成的工作量的份额为，乙完成工作量的份额为，乙的工效为，乙的实际工作天数为乙的休息天数为（天）(7) 一个水池有甲、乙两个排水管和一个进水管丙。若同时开放甲、丙两管，20小时可将满池水排空；若同时开放乙、丙两管，30小时可将满池水排空；若单独开丙管，60小时可将空池

22、注满，若同时打开甲、乙、丙三个水管，要排空水池的水需几小时？（知识大集结P135，13）解：设排水速率为正速率，进水速率为负速率，于是设甲、乙、丙的工效（速率）分别为、甲、丙同时开时排水速率为，乙、丙同时开时排水速率为甲、乙、丙同时打开时排水速率为甲、乙、丙同时打开时排水时间：（小时）(8) （调和平均数的应用）小明骑自行车从甲地去乙地，每小时行12千米，到达乙地后立即按原路返回，每小时行15千米。小明骑车往返的平均速度是多少？正确的计算式是（ ）（知识大集结P133，一，3）A. B. C. 解：设单程为千米，则往返时间为小时，于是平均速度为千米/小时。选A。(9) 加工一批零件，原计划15

23、天完成，现在工作效率提高了20%。问：现在几天可以完成？正确的列式为（ ）（知识大集结P133，一，2）A. B. C. D. 答案：选B。(10) 从时针指向4，分针指向12开始，至少经过多少分钟，分针与时针重合？（小灵通P31，七（追赶问题）分针转一圈60分钟，时针转一圈12小时，即1260分钟，分针的速度可表示为圈/分钟时针的速度可表示为圈/分钟它们初始的距离差为圈，设需要分钟重合（相遇），则分针的速度时针的速度=它们初始的距离差，即，题型二：引入比例，单位换算（倒数的物理意义，单量纲，多单位）(11) 人一步是袋鼠一跳的，人走一步为米，1英尺为米，（i）袋鼠一跳是人的几分之几？（ii）

24、问袋鼠一跳为多少米？（iii）人走一步为多少英尺？（由人教版，2009：P8，1引申）解：（i）人一步是袋鼠一跳的，可记作跳/步步/跳，它代表的含义是：（ ）A. 袋鼠一跳是人的步 B. 袋鼠一跳比人多 C. 人一步比袋鼠少（ii）人走一步为米，可记作米/步，要求袋鼠一跳为多少米，即要求多少米/跳，即米/步（ ）=（ ）米/跳，看乘以哪个可是使得单位约分成等号右边的形式，左边第一个括号里填（ ）A. 跳/步，B. 步/跳（iii）1英尺为米可记作米/英尺？还是英尺/米？取导数得3（ ）（填单位）要求人走一步为多少英尺，是不是就是要求多少英尺/步？米/步（ ）=（ ）英尺/步，乘以哪个可是使得单

25、位约分成等号右边的形式？题型三：甲是乙的，则乙是甲的（倒数的倍比意义）(12) 三块布共长96米，第一块布的长度是第二块长度的，是第三块长度的，求三块布每块多长？（小学数学教师1997（4），P82）解：第一块布的长度是第二块长度的第二块布的长度是第一块长度的3倍第一块布的长度是第三块长度的第二块布的长度是第一块长度的4倍第一块布:第二块布:第三块布=1:3:4第一块布的长度：（米）第二块布的长度：（米）第三块布的长度：（米）(13) 婴儿每分钟心跳次数比青少年多。问青少年每分钟心跳比婴儿少几分之几？（由人教版，2009：P21，3引申）解法一（运用倒数概念）：以青少年每分钟心跳的次数为参照“

26、1”，婴儿每分钟心跳次数比青少年多婴儿每分钟心跳次数是青少年的取倒数后以婴儿每分钟心跳的次数为参照“1”：青少年每分钟心跳次数是婴儿的青少年每分钟心跳比婴儿少解法二（运用除法概念）：以青少年每分钟心跳的次数为参照“1”：婴儿每分钟心跳次数是青少年的，相除之后参照“1”变为分母，即婴儿每分钟心跳次数。答：青少年每分钟心跳比婴儿少(14) 小强有若干个手工艺品，恰是小明的，而小明的手工艺品又是小新的，小新的手工艺品是小强的多少倍？（英才教程P60，8）解：小强的手工艺品是小新的小新的手工艺品是小强的倍2.3. 分数除法应用题分数除法应用题知识体系分数除法应用题整数应用题，多量纲问题倒数的应用：速度

27、与定额互为倒数。总量单位数=件数总量件数=单位数联系：倒数的物理意义；解比例（正比例、反比例）课本P28-36所有应用题过一遍，P42，11小灵通P31，七（追赶问题）分数应用题，单量纲问题倒数的应用：甲是乙的，则乙是甲的型例题：课本P37-39英才教程P61-64，P65，例1练习：课本P40，1，2，3，P41，7，8，9，P42，12，13，P52，4（1），P53，4，5，P54，6英才教程P68，3，（1），（2），P87，6，（1）型或型课本P40，4，P42，14，P52，4（2）英才教程P66，例2，P68，3，（3），P69，（7），P84，3，P87，6，（2），（3）型英

28、才教程P83，例3，P83，1，2，P87，（4）多重比率型英才教程P60，8型英才教程P65，培优范例分数除法综合英才教程P82，例2分数乘法与除法综合英才教程P69，（5），P70，5，P84，3，P88（6）求比率课本P48，思考题，英才教程P77课本难题解答，P54，例1工程问题（分数除法与倒数的物理意义综合）一项工程甲需天，乙需天，则甲工效为，乙工效位，甲乙合做天分数除法与整数除法综合，混合量纲问题英才教程P88，2比和比的应用比的意义化最简整数比课本P43-48过一遍，英才教程P80（2）配分比例（按比例分配）按正比例分配课本P49-51逐一过关，P52，4，（3），P54，8，9

29、按反比例分配一项工程甲需天，乙需天，甲乙工效比化连比式，找不变的量已知甲:乙，乙:丙，求甲:乙:丙？课本P51，7，英才教程P81，8已知甲:总，乙:丙，求甲:乙:丙？英才教程P80，（6），P81，7，87，6，（3），P88，（6）连比的活用英才教程P69，（7），P84，3小灵通P27，六用方程求解，没有不变的量，连比的失效已知甲:乙=，甲增加，乙增加后，甲:乙=，甲乙原来是多少？双框线中的大样：用分数乘法求比较量：标准量对应分率=比较量用分数除法求对应量：比较量对应分率=标准量用分数除法求对应分率：比较量标准量=对应分率英才教程P61，63，67分数乘法分数除法(1)甲为，乙是甲的，求

30、乙？(2)甲开始为，然后增加了，求增加了多少？列式：(1)甲为，是乙的，求乙？(2)甲增加了，增加量为，求甲开始为多少？列式：(1)甲为，乙比甲多，求乙？(2)甲开始为，然后增加了，求增加后的甲是多少？列式：(1)甲为，比乙多，求乙？(2)甲增加后变为，求增加前的甲是多少？列式：题型一：用分数除法求对应量(1) 一盒纸用去，比剩下的多100张，这盒纸一共有多少张？（小灵通P68，五，8）解：（张）(2) 一辆汽车从甲地驶往乙地，第一天行了全程的，第二天行了全程的，这时离乙地还有140千米。甲、乙两地相距多少千米？（英才教程P88，（4）解：（千米）(3) 有甲、乙两袋大豆，甲袋装大豆20千克，

31、如果从乙袋中倒出给甲袋，两袋一样重。乙袋原来装大豆多少千克？比甲袋多多少千克？（英才教程P69，（7）解：（千克）3020=10（千克）答：乙袋原来装大豆30千克,比甲袋多10千克。(4) 一筐梨分给赵、钱、孙3人，赵分得全部梨的加5个梨，钱分得全部梨的加7个梨，孙分得其余梨的，最后剩下的梨正好等于一筐梨的。这筐梨有多少个？（英才教程P83，例3）（个）(5) 小明三天看完一本故事书，第一天看了全书的还少4页，第二天看了全书的还多14页，第三天看了90页。这本书有多少页？（英才教程P83，1）（页）(6) 王师傅运一批大米，第一天运走总数的多60袋，第二天运走总数的少60袋，还剩下220袋没有

32、运走。这批大米原有多少袋？（英才教程P83，2）（袋）(7) 丢潘图是古希腊杰出的数学家，在他的墓碑上刻着一道谜语式的短诗，内容是一道有趣的数学题：“丢潘图的一生，幼年占，青少年占，又过了才结婚，5年后生子，子先其父4年而死，寿命是他父亲的一半。”问丢潘图活了多少岁？（小灵通P29，七）解：（岁）(8) 某学校举办数学竞赛，按参加人数的颁奖，分设一、二、三等奖各若干名。竞赛结果，获一、二等奖的人数占获奖总数的，获二、三等奖的人数占获奖总数的，已知12人获二等奖。该校有多少学生参加数学竞赛？（英才教程P82，例2）解：（人）(9) 修一条路，第一天修了全长的，第二天修了余下的，这时还剩120米，

33、这条路全长多少米？（英才教程P65，例）解：（米）(10) 小明读一本故事书，第一天读了这本书的，第二天读了余下的，还剩60页没有读，这本书有多少页？（小灵通P68，五，3）解：（页）(11) 王丽读一本书，第一天读了20页，比第二天多读，第二天读的是全书的，这本书共有多少页？（英才教程P124，（4）解：（页）(12) 有三筐同样重的苹果，取出第一筐质量的，第二筐质量的，从第三筐中取出12千克，这时三筐剩下的苹果恰好等于原来两筐苹果的质量。原来两筐苹果重多少千克？（知识大集结P136，1）代数解：设每筐苹果重千克，则（千克）算术解释：三筐苹果取出若干，剩下的苹果等于原来的两筐，可理解为总共取

34、出的为一筐，于是12千克对应标准量一筐的分率为，故一筐重量为(13) 某校一年级原有两个班，现在要重新编为三个班，将原一班人数的于原二班人数的组成新一班，将原一班人数的与原二班人数的组成新二班，余下30人组成新三班。问：原一班和二班共有学生多少人？（知识大集结P135，16）代数解：设原一班人，原二班人，则,（人）算术解释：可理解为从一班二班中两次取出若干人，共留下30人。一班一共取出，二班一共取出，所取出的分率恰好相同，于是可看作从一二班总体中取出之后留下30人，故原一二班总人数：（人）(14) （分数除法的多标准量问题）小华读一本故事书，第一天读了全书的，第二天读了余下页数的还多8页,这时

35、还有52页没读。这本故事书有多少页？（知识大集结P134,9）第一天,余下页数为单位“1”全书页数为单位“1”8页 52页第二天第一天,全书页数为单位“1”8页 52页第二天解法一：解法二：(15) （分数除法的多标准量问题）一批零件，第一天加工了总数的，第二天加工的是第一天的，这时还剩22个零件未加工。这批零件一共有多少个？（知识大集结P133,2）第一天,整批零件为单位“1”22个解：第二天,综合乘法除法求对应量和标准量(16) 图书室有文艺书120本，科技书的本数是文艺书的，又是故事书的，故事书有多少本？（英才教程P66，例3）解：（本）(17) 甲堆货物的与乙堆货物的相等，已知乙堆货物

36、重280千克，求甲堆货物有多少千克？（英才教程P69，（5）解：（千克）(18) 有甲、乙两只水桶，把甲桶里的半桶水倒入乙桶，刚好装了乙桶的，再把乙桶里的水倒出全桶的后，还剩15千克水，甲桶可装水多少千克？（英才教程P70，5）解：（千克）(19) 一桶油，第一次用去，正好是4升，第二次又用去这桶油的，还剩多少升？（小灵通P26，七）解：（升）(20) 水果店运来苹果120箱，是梨的，桔子的箱数是梨的。桔子多少箱？（小灵通P46，七，5）解：（箱）(21) 新华书店运到一批图书，第一天卖出这批图书的32%，第二天卖出这批图书的45%。已知第一天卖出640本，第二天比第一天多卖出多少本？（知识大

37、集结P134，6）解：（本）综合乘除法和加减法(22) 食堂买回吨大米，第一周用去它的，第二周用去吨，还剩多少吨？（小灵通P68，五，4）解：（吨）题型二：用分数除法求对应分率(23) 学校有足球若干个，篮球比足球多，足球比篮球少几分之几？排球比足球少，足球是排球的几分之几？足球比排球多几分之几？(24) 甲、乙、丙三人赛跑，甲比乙快，丙比乙慢，则甲的速度是丙的几分之几？（英才教程P54，例1）甲比乙快，则甲是乙的几分之几？丙比乙慢，则丙是乙的几分之几？甲的速度是丙的几分之几？(25) 学校春季给学生做体检，量得明明的体重是36千克，艳艳的体重比明明的体重轻，明明的体重比艳艳的体重重几分之几？

38、（英才教程P37，6）解：体重差:明明的体重:艳艳的体重=，故明明的体重比艳艳的重(26) 甲、乙、丙三人赛跑，甲比乙快，丙比乙慢。甲的速度是丙的几分之几？（英才教程P54，例1）解：(27) 乙数是甲数的，丙数是乙数的。丙数是甲数的几分之几？（小灵通P8，五）解：，答：丙数是甲数的。(28) 一杯牛奶，喝去20%后，加满水搅匀，再喝去50%后，此时杯中的纯牛奶占杯子容积的（ ） A. 50% B. 40% C. 30% （知识大集结P133，一，5）分析：设一杯水容积为，如图第一次20%，即喝去牛奶，还剩。加水搅匀再喝50%，可以认为，分别从的水中和的牛奶中分别抽取50%，即这次喝的，也即第

39、二次喝去的牛奶为，剩下牛奶为，故选B第一次,余下牛奶为单位“1”整杯容积为单位“1”第二次第一次,整杯容积为单位“1”第二次,解法一：解法二：(29) 小明上个月支出120元，比计划节约了30元，节约了百分之几？正确的算式是（ ）（知识大集结P133，一，1）A. B. C. 选B。题型三：比和比的应用按正比例分配：(30) 70人分成三个科研组，按科研任务的大小，要使第一组和第二组人数的比是2:3，第二组和第三组人数的比是4:5，求各组人数？解：第一、二、三组人数的连比：8:12:15第一组人数：（人）第二组人数：（人）第三组人数：（人）(31) 在比例尺是1:6 000 000的中国地图上

40、，量得两地间距离为10厘米。甲、乙两列火车同时从两地相对开出，6小时后相遇。已知甲、乙两车速度比为11:9，两车相遇时，行了多少千米？（知识大集结P142，3）解：甲乙两地实际距离：，按反比例分配（涉及倒数的物理意义）：(32) 制造一个零件，甲要6分钟，乙要5分钟，丙要4.5分钟。现有1590个零件，分配给他们三人，要使他们在相同的时间内完成，问每人应分配多少个零件？解：要使他们在相同的时间里完成，先要求出他们在同一单位时间内能完成的个数。甲、乙、丙每分钟可以制造零件的个数依次是、，他们的工效比是：，即，于是甲应分配的个数：（个）乙应分配的个数：（个）丙应分配的个数：（个）(33) 加工同一

41、种零件，甲2分钟加工一个，乙3分钟加工一个，丙4分钟加工一个。现有1170个零件需加工，甲、乙、丙三人同时加工，完工时三人各加工了多少个？（知识大集结P138，例3）分析：题中已知三人各加工一个零件所需的时间，很多同学容易误解为甲做（个），乙做（个），丙做1170260390=520（个）。这样理解当然不对。三人同时加工一批零件，要同时加工完，则加工快的就会多加工，也就是说，工作同样长的时间，工作量按效率分配，而不是按时间分配。三人加工零件的时间比是2:3:4，那么他们加工零件的效率比就是，按效率比分配。解：甲、乙、丙三人工效比：，甲做：（个），乙做：（个），丙做：1170540360=270

42、（个）连比的活用：(34) 已知甲:总、乙:丙，求甲:乙:丙设甲乙丙组成全体，则(35) 校园里有桃树、杏树、苹果树共80棵。其中，苹果树占总数的，桃树与苹果树的比是5:4。杏树有多少棵？（英才教程P80，（6）解法一：（棵）解法二：，故杏树=（棵）(36) 王师傅计划3天内运完一批货，第一天运了42吨，占这批货的，第二天与第三天运的质量比是4:3，第二天运货多少吨？（英才教程P81，7）解法一：（吨），（吨）；或（吨）解法二：，故第二天=（吨）(37) 李明家养的鸡、鸭、鹅共54只，其中鸡的只数占，鸭和鹅的只数的比是3:2，养的鸭和鹅各有多少只？（英才教程P88，（6）解法一：（只），鸭：（

43、只），鹅：（只）解法二：鸭：（只），鹅：（只）(38) 水泥、石子、黄沙各60吨，将水泥、石子、黄沙按5:3:2拌制混凝土，水泥正好用完，石子、黄沙各余多少吨？（英才教程P88，1）解法一：（吨），石子：（吨），黄沙：（吨）解法二：用去石子：，余下石子：（吨）用去黄沙：，余下黄沙：（吨）(39) 阅览室有36名学生，其中女生占，后来又来了几名女生，这时女生人数占总人数的。又来了几名女生？（英才教程P84，3）解法一：（名）解法二：新来，于是新来=（人）甲乙丙丁甲、乙、丙、丁四个人加工一批零件，甲和乙共加工54个，乙、丙、丁三人共加工零件90个。已知乙加工的零件数是这批零件总数的。求这批零件一共

44、有多少个？（小灵通P27，七）(40)解：，于是（个）(41) 学校体育室排球与足球的个数比是9:10，足球与篮球个数比是5:7。已知篮球与排球共有69个，求篮球比排球少多少个？（英才教程P124，1）解：排球:足球:篮球=9:10:14，篮球排球:篮球+排球=(149):(14+9)=5:23，故（个），答：篮球比排球少15个。(42) 合唱队中男生占女生人数的，后来又增加了3名女生，此时男生人数占合唱队人数的。合唱队现有男生、女生各多少人？（英才教程P203，1）解：男:(男+女II)=5:12，男:女II=5:7，又男:女I=5:6，故男:女II:女II女I=5:7:1故男53=15（人

45、），女II=73=21（人）(43) 有甲、乙两根绳子，甲绳子比乙绳子长35米，已知甲绳的和乙绳的相等。两根绳子各长多少米？（知识大集结P135，11）解：二元一次方程模型：活用连比：，甲：（米），乙：（米）(44) 四位同学做红花，甲做的是其它三位做的总数的一半，乙做的是其它三位做的总数的，丙做的是其它三位做的总数的，丁正好做了26朵。问：四位同学共做了多少个？（知识大集结P134，10）解：甲:(乙+丙+丁)=1:2，故甲:(甲+乙+丙+丁)=1:(2+1)乙:(甲+丙+丁)=1:3，故乙:(甲+乙+丙+丁)=1:(3+1)丙:(甲+乙+丁)=1:4，故丙:(甲+乙+丙+丁)=1:(4+1

46、)故丁占总数的分率为，正好是26朵，故总数为（朵）2.4. 二元一次方程问题（鸡兔同笼问题）和二次问题（多量纲问题）问题的引入及其与前文的联系：（多标准量）（单标准量）典型的二元一次问题由两个和差关系、两个倍比关系组成。且和差均不能为零，否则会蜕化为三个倍比关系和一个和差关系，可直接用按比例分配求解。题型一：鸡兔同笼，两个和差关系均为和(45) 甲、乙、丙、丁四袋水泥，甲与乙的重量比为1:，丙与丁的重量比为1:，甲与丙的和为斤，乙与丁的和为斤。求甲、乙、丙、丁各重多少？（，）二元一次方程模型：根据和差关系列等式，根据倍比关系列等式，线段图算术解：根据，拆解将、前系数凑为相同，然后，乙:丁:实图

47、虚图乙:丁:图解二图解一丙：甲：甲：丙：(46) 甲、乙两班共84人，甲班人数的与乙班人数的共有58人，问两班各多少人？（英才教程）代数解：设甲、乙班分别有人、人，则，解得算术解：设制虚拟数量。虚拟假设的目的：把两个不确定的因素通过相加减变成一个不确定因素（消元）。如何绘制线段图：找等量关系，而不是抓单位“1”的量。已知甲班人数的与乙班人数的共有58人，注意到，即知甲班人数的+乙班人数的+乙班人数的=58人。由甲、乙班共84人，设置虚拟数量为甲班人数的和乙班人数的共有人。如图，两者相减得乙班人数的为人，故乙班人数为人甲乙58人实图虚图乙甲甲乙58人图解二乙甲图解一乙：（人）甲：8444=40（

48、人）甲：（人）乙：8440=44（人）(47) 加工一批零件，甲、乙合做24天可以完成，现由甲先做16天，然后乙再做12天，还剩下这批零件的没有完成，已知甲每天比乙多加工3个零件，求这批零件的个数？（知识大集结P132，例8）算术分析：由题意，甲、乙的工作效率和为。甲先做16天，然后乙再做12天，我们可以理解为甲、乙合做12天后，甲再单独做1612=4（天）以此达到消元的目的，这样甲4天完成的工作量为，于是，可以求出甲的工作效率为，乙的工作效率为，所以3个零件就占这批零件的，于是可以求出这批零件的个数。，（个）代数分析：设甲的工作效率为批/天，乙的工作效率为批/天，依题意，由第二式得，将第一式

49、代入得，代入第一式得故甲、乙工效分别为批/天、批/天。设这批零件共有个，则甲的工作效率为个/天（），乙的工作效率为个/天于是，（个）答：这批零件有360个。(48) 一项工程，甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。如果甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工程的，如果甲、乙合做3小时后，丙做6小时，也可以完成这项工程的。如果让甲、丙合做，需要几小时完成这项工程？（知识大集结P136，3）代数解：设甲工效为批/时，乙工效为批/时，依题意由第二式得，将第一式代入得，故由第三式得，将第一式代入得，故，故甲、乙工效分别为批/时、批/时甲丙合做时需时：（时）算术解：由题意知，甲、乙、丙三人的工效和为

50、。甲工作6时后，乙、丙合做2时，可以理解为甲、乙、丙合做2时后，甲再单独做62=4时以此达到消元的目的，这样甲4时完成的工作量为，于是可以求出甲的工作效率为。同理可得丙的工效为。甲工作效率：，丙工作效率：于是甲乙合做需时：（时）从成比例的量的交叉减比法到线性方程组的解法小学数学教师1982，4：P49(49) （预备题）现有含盐量的浓盐水和含盐量的稀盐水，需要配置成含盐量的盐水，问各取多少？（）解：设取含盐量的盐水斤与含盐量的盐水斤相混合，得到含盐量为的盐水斤，则，移项得，即1.先画出交叉的四条斜线，在上面两角上写浓稀两种溶液的浓度，中间写混合溶液的浓度（平均浓度）。2.然后依斜线相减，得到的

51、差写在该斜线延长线的下面（必须是大数减小数），即把左上角数与中间数的差写在右下角，右上角数与中间数的差写在左下角。3.从竖列看，左（右）下角相减结果为左（右）上角溶液的质量比率，然后将斜线的左、右下角的两组数列成比例，再解比例式。此法可简述为：一交叉、二相减、三解比例式。(50) （预备题：一元一次方程模型正比例问题解比例方法）某生产队要用0.15%的氨水进行油菜追肥，现有含氨量16%的氨水30斤，配制时需要加水多少斤？交叉解：第一行写现有氨水的含氨量和水的含氨量（0%）。第二行中间写混合溶液的含氨量。然后交叉相减：16%0.15%=15.85%，0.15%0%=0.15%列式：0.15%:15.85%=30:，（斤）答：需加水3170斤。代数解：设加水斤，则，移项得，解比例得(51) （二元一次方程模型逆向等量代换消常数项正比例问题按比例分配的方法）某人买每斤0.28元的梨与每斤0.42元的桔子，共买7斤，付人民币2.8元，求各买多少斤？交叉解：一般地，如果已知两数的单位量及他们的平均量，求这两个数的总量，这类题目均可用“交叉减比法”来解。7斤水果共付2.8元，那么平均数是2.87=0.4（元），如右图列式：0.02:0.12=1:60.280.420.40.020.12梨：（斤），桔：