【教学设计】《命题与证明》(数学沪科版八上)

1、命题与证明教学设计本课时编写：合肥市五十中学新校天鹅湖校区胡思文第 1 课时命题教学目标：1掌握命题的概念，并能分清命题的组成部分；2经历判断命题真假的过程，对命题的真假有一个初步的了解理解原命题与逆命题的概念；3初步培养不同几何语言相互转化的能力。教学重点：掌握命题的概念，并能分清命题的组成部分。教学难点：经历判断命题真假的过程，对命题的真假有一个初步的了解理解原命题与逆命题的概念。教学过程：一、情境导入判断下列语句哪些是判断句？(1) 合肥市是安徽省的省会 ( 是 )(2)3 7 11.( 是 )(3) 有公共顶点的角是对顶角 ( 是)(4) 北京欢迎你！ ( 不是 )(5) 画一个角，它

2、的大小是 60 度 ( 不是 )(6) 你的作业做完了吗？ ( 不是 )如何用数学语言来定义这种判断呢？二、合作探究探究点一：命题概念和结构指出下列命题的题设和结论：(1) 如果 a2 b2，那么 a b；(2) 对顶角相等；(3) 三角形内角和等于 180 .解析：第 (1) 中有“如果”“那么”，条件 明 ， (2)(3) 可先改写成“如果那么”形式，再找出 和 解： (1) 是“ a2 b2”， 是“ab”；(2) 改写：如果两个角是 角，那么 两个角相等 ：“两个角是 角”， ：“ 两个角相等”；(3) 改写：如果三个角是一个三角形的三个内角，那么 三个角的和等于180. ：“三个角是

3、一个三角形的三个内角”， ：“三个角的和等于180”方法 ： 通常情况下命 都可以写成“如果那么”形式，当条件 不是很明 的 候，把所 命 改写成“如果那么”形式可以帮助我 找出 和 ，在改写 ，要做到 句通 ，措辞准确探究点二：真命 、假命 及 反例【 型一】真命 和假命 已知三条不同的直 、c在同一平面内，下列四个命 ：如果，a，那a ba bc么 ；如果 ，那么b；如果b，那么；如果，cb cb a cacacab cb aa，那么 b c. 其中真命 的是 _( 填写所有真命 的序号) 解析：如果ab，ac，那么 b c 是真命 ，故本 正确；如果b a，c a，那么 b c 是真命

4、，故本 正确；如果 b a，c a，那么 b c 是假命 ，故本 ；如果 ba， c a，那么 bc 是真命 ，故本 正确故答案 .方法 ： 分析是否 真命 ， 需要分 分析各 是否能推出 ，从而利用排除法得出答案【 型二】 反例命 “如果a22，那么 ”是假命 ，可 出反例 _ba b解析：反例是符合命 的条件，但不 足命 的 的例子，也就是 ， 足a2 b2，但不 足 a b 的例子当 a 2，b 2 ，a2 22 4，b2 ( 2) 2 4. 然 a2 b2，但 a b.故答案 a 2， b 2( 答案不唯一 ) 方法 ：通 反例来 明一个命 是假命 是数学或日常生活中常用的思想方法，

5、反例只需要 出一个即可探究点三：逆命 写出下列命 的逆命 ，并判断逆命 的真假(1) 如果 与 是 角，那么 180；(2) 如果 ABC是直角三角形，那么 ABC的内角中一定有两个 角解析： (1) 交 原命 中“如果”和“那么”后面的部分即可得到原命 的逆命 ，然后根据 角的定 判断命 的真假；(2) 交 原命 中“如果”和“那么”后面的部分即可得到原命 的逆命 ，然后根据三角形的角的关系判断命 的真假解： (1) 逆命 ：如果 180，那么 与 是 角，此逆命 假命 ；(2) 逆命 ：如果一个三角形中有两个 角，那么 个三角形是直角三角形，此逆命 假命 方法 ： 将命 的条件与 互 ，

6、得到新命 ， 我 把 的两个命 称 互逆命 ，其中一个叫原命 ， 另一个叫做原命 的逆命 当一个命 是真命 ，它的逆命 不一定是真命 ， 所 的例子， 如果符合命 条件， 但不 足命 例子的 ， 称之 反例；要 明一个命 是假命 ，只要 出一个反例即可三、板 命 的概念： 某一事件作出正确或者不正确判定的 句（或式子）叫做命 .命 的 构：由 和 两部分 成，常写成“如果那么”的形式.命 命 的分 ：真命 和假命 （要 明一个命 是假命 ，只要 出一个反例即可） .逆命 ：原命 “如果p，那么 q”，逆命 “如果 q，那么 p”.教学反思：本 主要是命 的概念、 命 的构成、真假命 于命 的

7、构，可 学生先自行 察或相互 ， 得出 关于找出命 的 和 ， 特 是 那些 和 不明 的命 ， 是一个 点， 解决 一 点的方法是 学生适当多做些 ， 本 不能要求学生本 就必 掌握， 在今后的教学中逐步 于真命 要注意 “ 一定成立”中“一定”的含 是无一例外， 是正确的， 而假命 就不能保 是正确的； 教学 最好要 合一些具体的例子， 照起来 解 教学中 把学生放在主体位置上， 着重于学生能力的培养，体 学生的思 方式，而不是老 的思 方式了解学生的知 基 、学 水平，从学生的年 特征、 知 律出 ，做到内容表达清楚准确， 易适当第 2 课时证明教学设计教学目标：1理解和掌握定理的概念，

8、了解证明( 演绎推理 ) 的概念；2了解证明的基本步骤和书写格式，能运用已学过的几何知识证明一些简单的几何问题；3通过对问题的解决，使学生有成就感， 培养学生的探索精神，培养学习数学的兴趣教学重点：理解和掌握定理的概念，了解证明( 演绎推理 ) 的概念教学难点：了解证明的基本步骤和书写格式，能运用已学过的几何知识证明一些简单的几何问题教学过程：一、情境导入下面两个图片中，中心的两个圆形哪个大？眼见未必为实，实践出真知！二、合作探究探究点一：定理命题“对顶角相等”是()A角的定义B 假命题C基本事实D 定理解析： “对顶角相等”的正确性是需要经过推理来证实的，而后又把它选定作为判定其他命题真假的

9、依据，所以它属于定理故答案为D.方法总结： 人们在长期实践中总结出来，不需要用推理的方法加以证明，并作为判定其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做基本事实如“两点确定一条直线”，“两点之间线段最短”等都是基本事实从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫做定理探究点二：证明与推理【类型一】简单推理如图，下列推理中正确的有()因为 1 2，所以b c( 同位角相等，两直线平行) ；因为 3 4，所以a c( 内错角相等，两直线平行) ；因为 4 5180，所以bc( 同旁内角互补，两直线平行) A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个解

10、析：结合图形， 根据平行线的判定方法逐一进行判断因为 1、 2不是同位角，所以不能证明 b c，故错误；因为 3 4，所以 a c( 内错角相等，两直线平行 ) ，正确；因为 4 5 180，所以 b c( 同旁内角互补，两直线平行 ) ，正确故正确的是，共2 个故选C.方法总结： 本题主要考查了平行线的判定解答此类要判定两直线平行的题，线找同位角、内错角和同旁内角【类型二】补充证明过程完成下面的证明过程：已知：如图，D 110， EFD 70， 1 2.可围绕截求证： 3 B.证明： D 110， EFD 70 ( 已知 ) ， D EFD 180， AD _( 同旁内角互补，两直线平行)

11、又 1 2( 已知 ) ，_ BC( 内错角相等，两直线平行) ， EF _， 3 B( 两直线平行，同位角相等) 解析：求出 D EFD 180，根据平行线的判定推出AD EF，AD BC，即可推出答案 D 110， EFD 70， D EFD 180， ADEF. 又 1 2， ADBC， EF BC. 故答案为： EF， AD，BC.方法总结：本题考查了平行线的性质和判定的应用，平行线的性质有：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，反过来就是平行线的判定三、板书设计证明教学反思：命题的证明步骤与格式是本节的主要内容，是学习数学必备的能力，在今后的学习中

12、将会有大量的证明问题；另一方面它还体现了数学的逻辑性和严谨性加强推论证明的思路和方法 因为它体现了学生的抽象思维能力，由于学生对逻辑的理解不深刻，往往找不出最佳的思维切入点， 证明的盲目性很大，因此对学生证明的思路和方法的训练是教学的难点课堂教学过程中紧扣教学目标，每个环节都有明确的指向性问题面向全体学生， 引导学生自主学习、合作探究第 3 课时三角形内角和定理的证明与推论1、 2教学设计教学目标：1掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用，理解和掌握三角形内角和定理的推论 1 和推论 2；2了解辅助线的概念，理解辅助线在解题过程中的用处；3经历思考、操作、推理等学习活动，培养学生的推理能力

13、和表达能力教学重点：掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用，理解和掌握三角形内角和定理的推论1和推论 2教学难点：了解辅助线的概念，理解辅助线在解题过程中的用处教学过程：一、情境导入问题：将三角形的内角剪下，试着拼拼看三角形的内角和是否为180？从拼角的过程你能想出证明的办法吗？二、合作探究探究点一：三角形内角和定理的证明如图，在 ABC内任意取一点P，过点 P 画三条直线分别平行于ABC的三条边(1) 1、 2、3 分别和 ABC的哪一个角相等？请说明理由；(2) 利用 (1) 说明三角形三个内角的和等于180 .解析： (1) 利用平行线的性质即可证得；(2) 根据对顶角相等，以及HP

14、E 1 FPI 3 GPD 2 360和 (1) 的结论即可证得解： (1) 1 A， 2 B， 3 C.理由如下： HI AC， 1 CEP，又 DE AB， CEP A， 1 A. 同理， 2 B， 3 C；(2) 如图， HPE 1， FPI 3， GPD 2，又 HPE 1 FPI 3 GPD 2 360， 1 2 3 180， 1 A， 2 B， 3 C， A B C 180 .方法总结： 本题考查了平行线的性质，正确观察图形， 熟练掌握平行线的性质和对顶角相等探究点二：直角三角形的两锐角互余直角三角形两锐角的平分线的夹角是_解析：作出图形， 根据直角三角形两锐角互余求出ABC BA

15、C90，再根据角平分1线的定义可得OAB OBA 2( ABC BAC)，然后利用三角形的内角和等于180求出AOB，即为两角平分线的夹角如图， ABC BAC 90， AD、BE分别是 BAC和 ABC的角平分线，OAB1OBA 2( ABC BAC) 45， AOB180 ( OAB OBA) 135， AOE 45，两锐角的平分线的夹角是45或 135. 故答案为45或 135.方法总结： 本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键，作出图形更形象直观探究点三：有两个角互余的三角形是直角三角形如图所示， AB CD， BAC和 DCA的平分线相交于H

16、点，那么 AHC是直角三角形吗？为什么？解析：要判断AHC的形状，首先观察它的三个内角，其中1与2 与已知条件角平分线有关，而两条角平分线分别平分BAC和 DCA，这两个角是同旁内角，于是联想到已知条件中的AB CD.解： AHC是直角三角形理由如下：因为 AB CD，所以 BAC DCA 180 .又因为 AH， CH分别平分 BAC和 DCA，11所以 1 2 BAC， 2 2 DCA，1所以 1 2( BAC DCA)，2所以 1 2 90，所以 AHC为直角三角形方法总结： 判定一个三角形是否为直角三角形，既可以通过这个三角形有一个角是直角来判定 ( 直角三角形的定义) ，也可以通过有

17、两个角度数之和为90来判定三、板书设计三角形内角和定理的证明及推论 1、 2三角形内角和定理：三角形的内角和等于180 .证明定理的一般步骤：找出命题的题设和结论，画出图形；题设部分是已知部分，结论部分是要证明的部分；利用已知条件，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论.推论 1：直角三角形的两锐角互余.推论 2：有两个角互余的三角形是直角三角形.教学反思：教师是学生学习的组织者、引导者、合作者，而非知识的灌输者，因而对一个问题的解决不是要教师将现成的方法传授给学生，而是教给学生解决问题的策略，给学生一把在知识的海洋中行舟的桨，让学生在积极思考，大胆尝试，主动探索中，获取成功

18、并体验成功的喜悦在课堂中，放手让学生自主探索证明三角形内角和定理的方法，让学生在动手试一试、动口说一说、相互评一评的过程中掌握证明的各种方法课堂中，营造了宽松的学习氛围，让学生参与到学习过程中去，自主探索， 大胆发表自己的观点，让学生在自主探索中获得了不断地发展第 4 课时三角形的外角教学设计教学目标：1理解和掌握三角形的外角概念和三角形外角的性质；2利用实际得出三角形的外角概念和三角形的外角性质，学会运用简单的说理来计算三角形相关的角；3通过观察和动手操作，体会探索过程，学会推理的数学思想方法，培养主动探索、勇于发现，敢于实践及合作交流的习惯。教学重点：理解和掌握三角形的外角概念和三角形外角

19、的性质。教学难点：利用实际得出三角形的外角概念和三角形的外角性质，学会运用简单的说理来计算三角形相关的角。教学过程：一、情境导入在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度( 1，2，3) ，那么回到原来位置时 ( 方向与出发时相同 ) ，一共转了多少度？二、合作探究探究点一：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和如图：在 ABC中， 1 2 3.(1) 试说明：BAC DEF；(2) 若 BAC 70，DFE 50，求ABC度数解析：(1)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出3CAEDEF，再根据 13 整理即可得证；(2) 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出2BCF DFE，再根据 23 即可得ACB DFE，然后利用三角形的内角和等于180求解即可解：(1) 在 ACE中，DEF 3 CAE， 1 3， DEF 1 CAE BAC，即 BAC DEF；(2) 在 BCF中， DFE 2 BCF， 2 3， DFE 3 BCF，即 DFE ACB. BAC 70， DFE50，在 ABC 中， ABC180 BAC ACB 180 70 50 60 .方法总结：本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质，并准确识图，找出图中各角度之间的关系是解题的关键探究点二：三角形的