三角形的证明

1、第一章三角形的证明.经历探索、猜想、证明的过程, 进一步体会证明的必要性,提高推理能力 .进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容,掌握基本的证明方法,结合实例体会反证法的含义.能够证明等腰三角形、等边三角形、直角三角形、线段的垂直平分线、角平分线的性质定理及判定定理 .探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.结合具体例子了解原命题及逆命题的概念 ,会识别两个互逆命题 ,并明确原命题成立其逆命题不一定成立 .已知底边及底边上的高线 , 能用尺规作出等腰三角形 ;已知一条直角边和斜边 , 能用尺规作出直角三角形;能用尺规过一点作已知直线的垂线 .经历探索、猜测、证明的过程,进一步体

2、会证明的必要性,培养学生的推理论证能力.发展勇于质疑、严谨求实的科学态度.“三角形的证明”是新旧教材转换中变化比较大的一部分内容 ,无论是标准对证明的要求上 ,还是对“证明”在数学教学中价值的重新定位 ,以及证明在整套教材中的编排顺序 ,都和我们传统几何教学中的证明大有不同 .本章是平行线的证明的继续,首先给出作为继续进行证明基础的几条公理,并与平行线的证明中给出的几条公理一起展开这一章对命题的逻辑证明.本章中所涉及的很多命题(如等腰三角形的性质、直角三角形全等的条件、勾股定理及其逆定理等)在前几册教材中学生们已经通过一些直观的方法进行了探索,所以学生们对这些结论已经有所了解.对于这些命题 ,

3、教材力争将证明的思路展现出来.教材中首先利用提问题的方式使学生们回忆这些结论,并回忆用来探索这些结论的方法和过程,因为这些方法和过程往往会对证明的思路有所启发,然后再利用公理和已有的定理去证明上述过程将抽象的证明与直观的探索联系起来,本章中还涉及一些以前没有探索过的命题,这些命题的获得,有些是直接通过证明得到的,而对于有些命题 ,教材则尽可能地创设一些问题的情境,为学生提供自主探索发现的空间,然后再进行证明,从而将证明作为探索活动的自然延续和必要发展,使学生经历“探索发现猜想证明”的过程, 体会合情推理与论证推理在获得结论中各自发挥的作用.此外 ,教材还注意渗透数学思想方法, 如由特殊结论到一

4、般结论的归纳思想、类比思想、转化思想等.一方面为学生设置了可将结论进行推广和一般化的空间,将探索发现和证明有机地结合起来.另一方面教材还注意引导学生探索证明的不同思路和方法,并进行适当的比较和讨论,开阔学生的视野,提高学生的思维能力 .【重点】.等腰三角形的性质.等腰三角形的判定.直角三角形的性质.直角三角形的判定.线段的垂直平分线的性质定理.线段的垂直平分线的性质定理的逆定理.角平分线的性质定理.角平分线的性质定理的逆定理.注意利用线段的垂直平分线的性质及判定定理解决有关的实际【难点】.等腰三角形的性质的证明.添加辅助线的方法.勾股定理的证明 .勾股定理的逆定理的证明.三线共点的证明方法.用

5、尺规作等腰三角形.应用本章的知识证明或者解决有关的问题.推理与论证的学习方法是在不同层次中展开的,在探索图形性质的活动中,学习合情推理 ;在交流的过程中 ,学习有条理思考 ; 在积累了一定的活动经验与掌握一些图形的性质的基础上 ,从几个基本事实出发 ,证明一些有关三角形、四边形的基本性质 ,从而体会证明的必要性 ,理解证明的基本过程 ,掌握演绎推理的基本格式 .这些内容有利于学生主动地进行观察、试验、猜测、验证、推理、交流与反思等数学活动.因此在前几册的学习中,学生们已经经历了探索图形性质的过程,并且发现了图形的很多性质,但没有给出严格的证明 .从平行线的证明开始,逐渐地开始证明已探索过的图形

6、的性质,同时也证明一些新的结论.在本章的教学中应重点注意在证明思路和方法上对学生的引导,帮助学生分析如何添加辅助线、如何构造辅助图形 .在这个过程中 ,原来在进行图形的折叠、拼剪等探索图形性质时所使用的方法对证明的思路也是很重要的 ,应注意引导和启发 .很多图形的性质及结论的证明方法和途径都不是唯一的,辅助线的添加方法也是多样的,因此 ,在教学时要注意引导学生探索证明的不同方法 ,提倡证明方法的多样性 ,并引导学生在与他人的交流中比较证明方法的异同 ,发散逻辑思维 .另外 ,通过一定数量的推理证明的训练 ,逐步使学生掌握证明方法和思路 .具体建议如下 :.等腰三角形 : 教材直截了当地提出等腰

7、三角形的性质,进而去探讨证明的思路, 我认为创设问题的情境不足 ,学生准备不充分 .我采用先折纸 ,再复习等腰三角形的性质,而后提出证明 ,并分析证明的思路,让学生在循序渐进的过程中学习.直角三角形 : 利用图形割补的方法可以证明勾股定理,但证明有一定的难度,因此在“读一读”中介绍了两种方法 ,可供有兴趣的学生阅读, 而不作为对所有学生的要求.勾股定理的逆定理的证明方法新颖, 对学生来说有一定难度,教学中只要学生能接受证明的方法和过程即可 ,不必做更多要求.线段的垂直平分线 :对于作图学生没有困难会感到困难 ,在教学中 , 应注意引导学生会说明理由生在作图的基础上 ,学会用尺规作已知直线的垂线

8、作等腰三角形 ,作三角形三边的垂直平分线,但要求学生会写已知、求证、及说明作图的理由 ,学生就,学生的思路可能较多 , 应鼓励学生多种思维发展 ;应让学 ( 过直线上一点或直线外一点 )、已知底边和底边上的高问题及简单的证明与计算.角平分线 :学生已经探索过角平分线上的点的性质,此处可先让学生回顾其性质和探索过程, 并尝试证明 .在前面的学习中 ,学生已经了解了如何构造一个命题的逆命题 .学习线段的垂直平分线时 , 也经历了构造其逆命题的过程 ,因此 , 学生会类比构造角平分线性质定理的逆命题 .在叙述其逆命题时 , 可不加什么条件 ,但验证其真假时 ,教师应引导学生注意角平分线是在角的内部的

9、射线,所以就要附加“在角的内部”这个条件.等腰三角形课时直角三角形课时线段的垂直平分线课时角平分线课时回顾与思考课时等腰三角形.理解并能说出全等三角形的判定方法和等腰三角形的性质.能够证明判定三角形全等的“角角边”定理和等腰三角形的性质,掌握证明的基本步骤和书写格式.能用三角形全等的判定定理和等腰三角形的性质证明或解决有关的问题.理解并能说出等腰三角形的判定定理,且能用其判定一个三角形是否为等腰三角形.能说出并能够证明等边三角形的性质和判定方法,且能够用其证明或解决有关的问题.能说出并能够证明在直角三角形中, 如果一个锐角等于 ,那么它所对的直角边等于斜边的一半,且能够应用其证明或解决有关的问

10、题.了解反证法的思想和方法.经历“角角边”定理、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定的探索证明过程 ,感受数学的严谨性 .在探索和证明中 , 提高学生的数学语言表达能力.在探索证明中 ,培养学生严谨求学的态度和尊重理论事实的正确价值观.【重点】.等腰三角形的性质定理及判定定理的证明及其应用.等边三角形的性质定理和判定定理的证明及其应用.【难点】.对本节定理的证明方法和辅助线的添加方法的探索.对反证法的认识和了解.第课时.了解作为证明基础的几条公理的内容.使学生经历“探索 发现猜想证明”的过程 ,学会用综合法证明等腰三角形的有关性质定理 .让学生学会分析几何证明题的思路,并掌握证明的基

11、本步骤和书写格式.经历作辅助线的证明过程 ,进一步发展学生的合情推理意识 ,培养主动探究的习惯 ,进一步体会数学与现实生活的紧密联系 .【重点】等腰三角形的性质及推论.【难点】命题的书写格式.【教师准备】多媒体课件 .【学生准备】复习三角形全等的判定方法.导入一 :请学生回忆并整理已经学过的条基本事实中的条:.两条直线被第三条直线所截 ,如果同位角相等 ,那么这两条直线平行 ; .两条平行直线被第三条直线所截 ,同位角相等 ;.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等();.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等();.三边对应相等的两个三角形全等() .在此基础上回忆三角形全等的另一个判别条件:两

12、角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(),并要求学生利用前面所提到的公理进行证明 .已知 :如图所示 ,在和中,有,.求证.证明 :,(已知 ),又,(三角形内角和等于 ),(),(),(等量代换 ).又(已知 ),(). 设计意图 经过一个假期 ,学生对上学期所学知识难免有所遗忘 ,因此 ,在第一课时 ,回顾有关内容 ,既是对前面学习内容的一个简单梳理 ,也为后续有关证明做足了知识准备 .导入二 :我们已经证明了有关平行线的一些结论,运用下面的公理和已经证明的定理,我们还可以证明有关三角形的一些结论 .我们已学过的部分基本事实:.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等两条平行

13、直线被第三条直线所截,同位角相等.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等();.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等();.三边对应相等的两个三角形全等() .,那么这两条直线平行 ;通过上面的这些结论,我们能否证明等腰三角形的底角相等呢 设计意图 帮助学生理解公理在证明定理过程中的作用?,同时通过设问引入本课时的学习内容.一、等腰三角形的两底角相等 过渡语 等腰三角形有哪些性质?以前是如何探索这些性质的, 你能再次通过折纸活动验证这些性质吗 ?并根据折纸过程,得到这些性质的证明吗?让学生按图示的方法先独自折纸观察,再探索并写出等腰三角形的性质.定理 :等腰三角形的两底角相等.这一定理可以简述为

14、:等边对等角 .已知 :如图所示 ,在中.求证.解析我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等.实际上 ,折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形 .这启发我们 , 可以作一条辅助线把原三角形分成两个全等的三角形,从而证明这两个底角相等.证明 :取的中点 ,连接 .(如图所示 ),().(全等三角形的对应角相等). 设计意图 通过折纸活动 ,获得有关命题的证明思路然延伸 ,熟悉证明的基本步骤和书写格式.,并通过进一步的整理,再次感受证明是探索的自二、三线合一 过渡语 在上图中 ,线段还具有怎样的性质? 为什么 ?由此你能得到什么结论?让学生回顾前面的证明过程,思考线段具有的性质,讨论图中存在哪些相

15、等的线段和相等的角腰三角形性质定理的推论,这一结论通常简述为“三线合一”.推论 :等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.证明 :过顶点作的平分线 ,交于点 ,是中的角平分线 ,发现等.在和中,( 公共边),( 已知 ),(),(全等三角形的对应边相等),(全等三角形的对应角相等).是边上的中线 ,是边上的高 ,等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合. 设计意图 教师和学生一起完成证明,可以让学生经历自主命题的证明过程.同时 ,对学生书写格式的规范起到引领作用. 知识拓展 “等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合”的定理是将“等腰三角

16、形”作为一个前提条件得到的三个真命题,在学习等腰三角形的性质定理后,可将该定理作如下的延伸 .如图所示,已知, , ,中 ,若其中任意两组成立,可推出其余两组成立.已知 :;求证 :;证明 :.例如 :已知,求证 , .根据等腰三角形的“三线合一”定理即可得证.证明 :延长至 , 使,连接 .(如图所示 )在和中, ,().,.,.定理 :等腰三角形的两底角相等.推论 :等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.一个等腰非等边三角形中, 它的角平分线、中线及高线的条数共为( 重合的算一条)()解析 :等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的平分线是一条.在中,如果 ,那么

17、在这个三角形中,重合的线段是().的平分线边上的中线边上的高线.的平分线边上的中线边上的高线.的平分线边上的中线边上的高线.的平分线边上的中线边上的高线解析 :本题主要考查等腰三角形三线合一的性质.故选 .若等腰三角形中有一个角为 ,则其余两角分别为.解析 :因为的角只能是顶角 ,所以其余两角均为 .故填.如果等腰三角形的一边长为,周长为 ,那么另外两边的长分别为解析 :边长为 的边有可能是腰也有可能是底.答案或.故选 .如图所示 ,在中是上一点 ,且 .求的度数 .解 :设, ,. .,.,.由三角形内角和定理可知,即 , 解得 .的度数为.(佛山中考 )如图所示 ,是等腰三角形 .请你用尺

18、规作图将分成两个全等三角形 ,并说明这两个三角形全等的理由 .(保留作图痕迹 ,不写作法 )解:由作图可知 ,又 ,则().第课时一、等腰三角形的两底角相等二、三线合一一、教材作业【必做题】教材第页随堂练习的题.【选做题】教材第页习题的题.二、课后作业【基础巩固】.在中,若 ,则度 .已知等腰三角形两条边的长分别是和.在中,延长到 ,使 ,则度.,则它的周长等于.如图所示 ,已知于于 ,若,则度 .等腰直角三角形中,若斜边长为 ,则直角边的长为.【能力提升】.一个等边三角形的边长为, 它的高是().至少有两边相等的三角形是().等边三角形.等腰三角形.直角三角形.锐角三角形.如图所示 ,中,直

19、线经过点 , 则()垂直平分垂直平分与的位置关系不能确定.(宜昌中考 )如图所示 ,在方格纸中 , 以为一边作 ,使之与全等 ,从四个点中找出符合条件的点,则点有()个个个个.若等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为,则这个三角形是().锐角三角形.钝角三角形.等边三角形.等腰直角三角形【拓展探究】.如图所示 ,点是内一点 ,.求证平分 .等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为和 两部分 ,求此三角形的底边长.【答案与解析】(提示 :等腰三角形的两底角相等.)(解析 :腰长是 ,底边长是 ,故周长为 .)(解析 :易求出,因为 ,所以,从而求出,再根据四边形内角和是可求出 .)(解析 :由勾

20、股定理可求.)(解析 :要使与全等,点到的距离应该等于点到的距离,故点均符合条件,共个 .故选 .)(解析 :有一个底角为的等腰三角形是等腰直角三角形.).证明 :,.,.即平分.提示 :分两种情况,底边长为或.本节通过学生对已学知识的回顾生自主探究过程,学生发挥了主体作用整册教材的角度构想本课时的教学.,经历了 “探索发现猜想证明”的活动过程 ,关注了学,取得了较好的教学效果 .注重在学期初对以往知识的整合和串联 ,从在具体活动中 ,如何在学生活动与结论总结之间建立一个恰当的衔接班级学生具体状况进行适度地调整.,各部分时间比例的分配需要根据在等腰三角形的性质定理的运用上,让学生猜想、实践、探

21、索、反思,提出自己的见解,在教学中鼓励学生积极合作,充分交流,感受学生在学习活动中获得成功的喜悦,促使学生学习方式的改变.随堂练习 (教材第页 ).提示 :().() .()证明 :,(),即是等腰三角形 .() 提示.习题 (教材第页 ).已知已知公共边全等三角形对应角相等.证明 :,在和中,.解: ,.,.解: , , , , .由图中易得, ,继而得到以上各组相等的角.已知 :如图所示 ,在等腰三角形和等腰三角形中 ,.求证.证明 :和都是等腰三角形, (或) .解, 证明如下 :如图所示 ,过点作于点 ,.在“八年级上册第七章平行线的证明”中,学生已经感受了证明的必要性,并通过平行线有

22、关命题的证明过程 ,得出了一些基本的证明方法并积累了一定的证明经验;在七年级下册的学习中,学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题,这些都为证明本节有关命题做了铺垫.本节回顾了判定三角形全等的有关定理于具备了上面所说的活动经验和认知基础,并进一步利用这些定理、公理证明等腰三角形的性质定理,本节可以让学生在回顾的基础上,自主地寻求命题的证明.由如图所示 ,已知,求的度数 .解:,.如图所示 ,在等腰三角形中.求证平分 .证明 :,.,.,平分.第课时使学生能用多种方法证明等腰三角形两底角的平分线相等.引导学生分析几何证明题的思路,并掌握证明的基本步骤和规范的书写格式.经历作辅助线

23、的证明过程 ,进一步增强学生的合情推理意识 ,培养主动探究的习惯 ,进一步体会数学与现实生活的紧密联系 .【重点】等腰三角形的性质.【难点】命题书写的格式.【教师准备】多媒体课件 .【学生准备】复习等腰三角形的性质.导入一 :在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等 ),你能发现其中一些相等的线段吗?能证明你的结论吗 ?试作图 ,写出已知、求证和证明过程.还可以有哪些证明方法 ?:通过学生的自主探究和同伴的交流后得出等腰三角形两底角的平分线相等;等腰三角形两腰上的高相等 ;等腰三角形两腰上的中线相等 .并对这些命题给出多种方法的证明 设计意图 让学生再次经历“探索发现猜想证明”的过程

24、,进一步体会证明的必要性 ,感受证明方法的多样性 .导入二 :在回忆上节课学习的等腰三角形性质的基础上,在等腰三角形中作出一些线段(利用多媒体课件演示 ),观察后解答下列问题 :() 你能从图中发现一些相等的线段吗?() 你能用一句话概括你所得到的结论吗?() 你能结合图形分别写出已知、求证和证明过程吗? 设计意图 通过知识的回顾 ,直接提出新的问题 ,过渡自然 ,引入本课研究内容 ,而新的问题是原有性质的一个自然拓广 ,有助于培养学生自主提出问题的能力.一、等腰三角形的性质 过渡语 同学们对于“等腰三角形两底角的平分线相等”我们如何来证明呢?(教材例 )证明 :等腰三角形两底角的平分线相等.

25、已知 :如图所示 ,在中和是的角平分线 .求证 .证法 :,(等边对等角 ).分别平分和, ,.在和中,().(全等三角形的对应边相等证法 :,.分别平分和,)., ,.在和中,().(全等三角形的对应边相等).在证明过程中 ,学生的思路一般还较为清楚,但严格证明表述经验尚显不足,因此 ,教师应注意对证明过程提出一定的要求,可以让学生板书其中部分证明过程或借助多媒体课件展示部分证明过程.同时注意对证明有困难的学生给予帮助和指导.如何证明等腰三角形两腰上的中线、两腰上的高线也分别相等呢?同学们可以自己来证明.(补充例题 )如图所示 ,在等腰三角形中.() 如果 , 呢?由此 ,你能得到一个什么结

26、论?() 如果,那么吗 ?如果呢?由此 ,你能得到什么结论?解 :().这和证明等腰三角形两底角的平分线相等类似 .证明如下 : ,(等边对等角 )., ,.在和中,().(全等三角形的对应边相等).由此我们可以发现:在中, , ,就一定有成立 ().() 在中,如果,那么 ;如果,那么 .由此我们得到了一个结论:在中,那么 ().证明如下 : ,.在和中,().(全等三角形的对应边相等). 设计意图 提高学生解决变式问题的能力,并培养学生学习的自主性.二、等边三角形的性质 过渡语 同学们还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗 ? 请同学们在等腰三角形性质定理的基础上, 思考等边三角形的特殊性质

27、 .定理 :等边三角形的三个内角都相等, 并且每个角都等于 .已知 :如图所示 ,在中.求证 :.证明 :,(等边对等角 ).又(已知 ),(等边对等角 ).在中,. 设计意图 让学生规范地写出对于“等边三角形三个内角都相等,并且每个角都等于”的证明过程.等腰三角形两底角的平分线相等.等边三角形的三个内角都相等, 并且每个角都等于 .等腰三角形的一个角是 ,则它顶角的度数是()或或解析 :这个角可能是顶角也可能是底角.故选 .(衡阳中考 )已知等腰三角形的两边长分别为和,则这个等腰三角形的周长为()或解析 :分两种情况 : 当三边长为时 ,周长为 ;当三边长为时 ,周长为 .故选 .如图所示

28、,在中,若,则下列结论中不正确的是().答案.如图所示 ,在中,的外角,则.解析 :,.故填.如图所示 ,在中,点分别在上 ,且 ,则四边形的周长为.答案.如图所示 ,在等腰三角形中,于点,则.解析 :根据已知求得底角 ,再根据三角形内角和定理求得,从而求得.故填.第课时一、等腰三角形的性质.二、等边三角形的性质.一、教材作业【必做题】教材第页随堂练习的题.【选做题】教材第页习题的题.二、课后作业【基础巩固】.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于().顶角.顶角的一半.顶角的倍.底角的一半.已知一等腰三角形的两边长满足方程组-,则此等腰三角形的周长为().或.在等腰三角形中 , 其周长为 ,

29、则边的取值范围是() 这与三角形内角和定理矛盾,因此“和是直角”的假设不成立.所以 ,一个三角形中不能有两个角是直角. 设计意图 让学生明确当用综合法证明命题行不通时,我们要有探究一种新方法的欲望, 结合教材中小明的想法 ,初步感受反证法,体会反证法在证明中出乎意料的作用. 知识拓展 等腰三角形的判定定理和性质定理是互逆的,解有关等腰三角形问题时,等腰三角形底边上的高线、中线、顶角平分线通常是作辅助线需要重点考虑的线段.等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.(等角对等边 ).反证法 : 先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果,从而证

30、明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.已知 :如图所示平分,若 ,则等于()答案.(西安中考 )如图所示 ,在中,是的角平分线.若在边上截取 ,连接 ,则图中等腰三角形共有()个个个个解析 :为等腰三角形 ,是的角平分线 ,为等腰三角形 ,为等腰三角形 .可得 ,为等腰三角形 .,为等腰三角形 .故选 .如图所示 ,在中,与的平分线交于点 ,过点作 交于点 ,交于点 ,那么下列结论 :和都是等腰三角形; ;的周长等于与的和 ;.其中正确的有 (). . . . 解析 :可证明,都是等腰三角形 ,得正确 .故选 .用反证法证明命题“一个三角形的三个外角中,至多有一个锐角”的第一步是.答案

31、 :假设三角形的三个外角中 , 有两个锐角.已知是的外角的平分线 ,要使 ,则的边一定满足.解析 :根据等腰三角形的性质可知故填.在中,分别是上的点 ,且 ,则.解析 :可证是等腰三角形 , .故填 .如图所示 ,已知分别在上与交于点,且,求证 .证明 :连接 ,.,.如图所示 ,在中,点是延长线上一点于交于, 求证是等腰三角形 .证明 :,.,.,.,即是等腰三角形 .第课时一、等腰三角形的判定定理二、反证法一、教材作业【必做题】教材第页随堂练习的题.【选做题】教材第页习题的题.二、课后作业【基础巩固】.如图所示 ,在中,点在上 ,且 ,则等于 ().在等腰梯形中 ,平分,则图中的等腰三角形有()个个个个.如图所示 ,在四边形中