(留数在积分计算中的应用)

1、毕 业 论 文学生姓名吕爱涛学 号学 院数学科学学院专 业数学与应用数学题 目留数在积分计算中的应用指导教师王爱峰2015年3月摘要：本文主要研究了留数在一些积分计算中的应用，利用留数的性质以及它与积分的关系，我们可以通过将一些复杂的积分计算转化成留数计算，从而简化计算.关键词：奇点，泰勒级数，洛朗级数Abstract：This paper mainly studies the application ofcalculation of residuesin someintegral,by using the residueproperties andits relationship with

2、theintegral,we canthroughsome of the complexintegral calculationis transformed into thecalculation of residues,thus simplifying thecalculation.Keywords：The singularity,Taylor series,Laurent series目 录1 前言42 留数的定义42.1 对不含参数的矩阵进行初等变换42.2 对含参数的特征矩阵进行初等变换62.3 对含参数的特征矩阵进行对称变换83 运用矩阵的乘法和初等变换化二次型为标准型10结论13参

3、考文献14致谢词151 前言留数又称残数，复变函数论中一个重要的概念.是解析函数沿一条正向简单闭曲线的积分值.2.1 留数的定义定义3.2 设在内解析，是的孤立奇点，C为圆环域内绕的任一正向简单闭曲线，则积分： 与C无关，称此积分值为在的留数，记为，即 .若在的洛朗展开式为则有 即在点的留数等于其在内洛朗级数中的系数相反数.2.2 留数第一定理定理3.1 函数在区域D内除有限个孤立奇点外处处解析，C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则：.在的留数与有限孤立奇点的留数有以下的定理2.3 留数第二定理定理3.2 设函数在扩充复平面除有限个孤立奇点及外处处解析，则在所有奇点处的留数和为零，即.由

4、上面的定理，求函数沿闭曲线C的积分，转化为求被积函数在C内各孤立奇点的留数和.而求在孤立奇点的留数，只需在孤立奇点的去心邻域内将展开成洛朗级数即可，但这样做，总不是很好的办法，若能知道孤立奇点的类型，就可以更有效地求出留数.3 留数在实变函数积分计算中的应用及例题分析3.1 计算类型的积分 令，所以有，则可以将三角积分转化为复变函数的回路积分： 例题1：计算 解：根据公式（1），由于所以：.3.2 计算类型的积分，积分区间为 如果复变函数在实轴上没有奇点，在上半平面除了有限个奇点外是解析的，那么当z在上半平面及实轴时，一致.如果是有理分式，上述条件说明了没有实数零点，的次数至少比高两次. 这类

5、积分可以理解为下列极限: 当极限存在，则该极限便称作积分的主值，记作 那么，可以构建一个半圆形回路 根据留数定理，即为: . 令，的左边趋于，右边第一个等级 分趋于定积分，第二个定积分趋于0. 证明如下： 因为 其中是在的最大值，因为已知.故有 . 例题2:计算 解:它有单极点，其中在上半平面，可知 利用求得的结论公式，可得.3.3计算结论用正交变换的方法化二次型为标准型的问题一直是我们一直关注的问题，但是由于利用传统的施密特正交化方法求出正交变换的矩阵，过程比较繁琐，所以如何简洁，方便的求出正交变换的矩阵显得越来越重要.本文通过对这个问题的初步探索，运用矩阵的初等变换，矩阵的乘法以及相关的知

6、识对求解的合理性和具体的求解步骤进行叙述与分析，并且在理论的基础上给出了这些方法具体的运用实例，凸显了这些方法化二次型为标准型的简洁性和程序化的优点，具有重要的意义和作用.参考文献1谭坚.用正交变换化实二次型为标准型方法的探讨J.长沙大学学报，1996:1-2.2李延敏，张力.用正交变换化实二次型为标准型的同步求解问题M.大学数学，2011:1-2.3付立志，杨庆玺.对称矩阵对角化的正交变换模型M.河南科学，2008:4-6.4程李晴，朱永娥.化二次型为标准型中正交变换的一种新方法J.新乡师范高等专科学校学报，2007:1-2.5刘敬，用正交变换化二次型为标准型的初等变换方法M.辽宁工学院学报，2000:1-2.6苏燕玲，张瑞平.由施密特正交化法得到的两个结论M.陕西师范大学学报（自然科学版），1999:3-4.致谢本设计的完成是在我们的导师张海辉老师的细心指导下进行的，在每次设计遇到问题时张老师不辞辛苦的讲解才使得我的设计顺利的进行.从设计的选题到资料的搜集直至最后设计的修改的整个过程中，花费了张老师很多的宝贵时间和精力，在此向导师表示衷心地感谢！导师严谨的治学态度，开拓进取的精神和高度的责任心都将使我受益终