广东省培正中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)试题

1、广州市培正中学 2014-2015 学年第二学期期末考试高二数学试题(满分： 150分；考试时间：120分钟 )一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，满分 50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 U1,2,3,4,5,6， M1,3,5 ， N1,2,3，则 eU MN( )A 4,6B 1,2,3,5C 2,4,6D 2,4,5,62若复数 z 满足 iz34i ，则复数 z 的共轭复数 z 对应的点位于 ()A 第一象限B第二象限C 第三象限D 第四象限3函数f xsin x1的定义域是 ()ln xA 0,B e,C 0,11,D 1,ee,4在 AB

2、C 中，A90 ， ABk,1， AC2,3 ，则 k 的值是 ()A 2B233C 3D 3225某几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积等于( )A 576B 288C 192D 1446如图 2是某算法的程序框图，则输出的S()A 6B 27C 124D 6047已知异面直线 a 、 b 分别在平面、内，且c ，则直线 c 与 a 、 b 的位置关系是 ()A c 与 a 、 b 都相交B c 至多与 a 、 b 中的一条相交C c 与 a 、 b 都不相交D c 至少与 a 、 b 中的一条相交8过点C1,1和D 1,3，圆心在x 轴上的圆的方程是 ( )A x2y 210Bx2y

3、 210C x 2y2 10D x 2y21022229小明同学每天下午 4:00 到 5:00 之 放学到家学 ，小 同学每天下午4:30 到 5:30 之 到达小明家 他 功 ， 小 到小明家 就能 到小明的概率是()A 1B 0.875C 0.65D 0.510在直角坐 系平面中，已知点P11,2，2,22，3,23，Pnn,2n，其中nP2P3是正整数， 于平面上任意一点A0， A1为 A0关于点 P1的 称点，A2为 A1关于点 P2的 称点，为关于点Pn的 称点， 任意偶数n ，用n 表示向量A0 An的AnAn 1坐 ()A4 2n1B2n2n,3n,3C n2 2n1D n 2

4、n 1,3232二、填空 ：本大 共5小 ，考生作答4小 ，每小 5分， 分 20分( 一) 必做 (11 13题 )11已知等差数列an， 足 a5 a76 ， 此数列的前11 的和 S1112函数 f xx3ax23x 9 ，已知 x3是函数 fx的一个极 点， 数 a13已知平面直角坐 系xOy 上的区域 D由不等式 xy0 定若 P x, y为 Dxy3 0x3上 点，点 A 的坐 1,3 ， zOP OA 的最大 是( 二) 做 (14 15 ，考生只能从中 做一 )14 ( 坐 系与参数方程 做 ) 在极坐 系,(0 ，) 中，曲 023sin与cos的交点的直角坐 系坐 15 (

5、 几何 明 做 ) 如 3 ，两 相交于A 、 B 两点， P 两 公共弦AB 上任一点，从 P 引两 的切 PC 、 PD ，若 PC2 2cm ， PDcm 三、解答题：本大题共6小题，满分 80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16 ( 本小题满分12分 )已知函数x2 cos x， xR f12(1) 求7的值；f12(2) 若cos3 ，,0，求5f22317 ( 本小题满分 12分 )在某中学举行的环保知识竞赛中，随机抽取x 名参赛同学的成绩 ( 得分的整数 ) 进行整理后分成五组，绘制出如图 4 所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别为

6、0.30 ， 0.15 ，0.10 ， 0.05 ，第二小组的频数为 40 (1) 求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图，画出频率分布折线图；(2)若采用分层抽样的方法，从样本中随机取20 人，则第三组和第四组各抽取多少人？(3)在 (2) 的条件下，从第三组和第四组抽取的人中任选取2 人，则她们不在同一组别的概率是多少？18 ( 本小题满分 14分 )如图 5 ， ABCD A1 B1C1 D1是长方体，已知AA1 AC 2 ， AB2 ， O 、 O1分别是上下底面 ABCD 和 A1 B1C1D1的对角线的交点，E 是 BC 的中点(1) 求证： C1E 平面 ABO1；(2) 求

7、证： BD 平面 ACO1 ；(3) 求点 A 到平面 BCO1 的距离19 ( 本小题满分 14分 )设各项均为正数的数列an的前 n 项和为 Sn ，且 Sn 满足222， n N * 2Sn3n n 4 Sn 2 3n n 0(1) 求 a1 的值；(2) 求数列 an 的通项公式；(3) 令，证明：对一切正整数n ，有b1 b2b2 b3 b3 b4bnbn 1 13bn2an20 ( 本小题满分 14分 )在平面直角坐标xOy 中，动点 P x, y到定直线 l ： x2 的距离比到定点F 1,0 的距离大 1， D a,0是 x 轴上一动点(1)求动点 P 的轨迹方程 G ；(2)

8、当 a1 时，过 D 作直线，交动点P 的轨迹于 Mx1, y1、 N x2 , y2两点，证明： y1 y2为定值；(3)设 A 4, y1是轨迹方程 G 在 x 轴上方的点，过 A 作 AB垂直于 y 轴，垂足为 B ，C 为 OB 的中点，以 C 为圆心， CO 为半径作圆 C1，讨论直线 AD 与圆 C1的位置关系21 ( 本小题满分 14分 )已知函数fx x22a ln x ( aR 且 a 0 ) (1) 当 a1时，求函数y f x的极值；(2) 求函数 f x 在区间 1,2 上的最小值。广州市培正中学 2014-2015 学年第二学期期末考试高二数学参考答案一、选择题1A

9、【解析】 MN1,2,3,5， eUMN4,6 2A 【解析】由 iz34i 得3 4i4，所以 z43i 对应的点位于第一象限zi3i3C 【解析】由 x0 可得 x0 且 x1，于是 x0,11,x14D 【解析】由 AB 与 AC 垂直，可得 ABAC2k30，所以3 k25B【解析】由三视图可知，该几何体为一个三棱柱，体积为相对应的长方体的体积一半，所以体积为1 8V61228826C 【解析】第一次执行循环，S1 ， n2 ；第二次执行循环，S 6 ， n 3 ；第三次执行循环， S27 ， n4 ；第四次执行循环，S 124 ， n5 此时退出循环，输出 S 124 7D 【解析】

10、不能选C，否则 c 与 a 、 b 分别平行，进而a b ，与 a 、 b 为异面直线相矛盾；若 c 与 a 、 b 中一条平行，而与另一条相交，由直观性易知，这是可能的；同样，c 与 a 、 b 都相交也是可能的8C【解析】 线段 CD 的垂直平分线方程为y 2x ，即为 yx 2 令 y 0 ，得 x2 ，即圆心为2,0由两点间的距离公式，得r1 3210 所以适合题意的圆的方程为 x2y210 29B【解析】设小明x 时刻到家，则 4 x5 ，小刚 y 时刻到小明家， 4.5y5.5 ，两人若要相会，需 yx ，即小 在小明到家之后到达如 所示，由几何概型求得P0.875 10 A【解析

11、】 n 任意偶数， A0 AnA0 A2A2 A4An 2 An，由条件可知 A2 k 2 A2 k2P2 k 1 P2 k，所以2 PPP3 P4P PA0 An1 2n 1 nn 2 2n4 2n3n 12112 1,21,21,2,3n,32二、填空 11填 33 【解析】S11a1a1111a5a711 6113322212填 5 【解析】 fx3x22ax3 ， x3 方程 3x22ax3 0 的根，所以 a 5 13填 12 【解析】 zOP OA x3 y ，画出不等式 所表示的平面区域，平移代表直 x3y0 ，可得直 点B 3,3 目 函数取得最大 12 14填【解析】两式相除

12、得3，所以，3 ,3tan6443cos3 于是33 ，3sin3 ，所以xcoscos6ysin4622426交点的直角坐 系坐 3 ,34415填 2 2 【解析】 由切割 定理可得PC 2PA PB ， PD 2PA PB ，所以 PC 2PD 2 ，即 PCPD2 2cm 三、解答 16 ( 本小 分12分 )【解析】 (1) 因 ，所以f x2 cosx12f 72 cos7122 cos 22 cos32 4分121232(2) 因 3 ，所以94cos5,0sin1cos212255 6分所以4324，2cos297 sin 2 2sin cos 2cos21 215525252

13、5 8分所以f 22 cos 23122 cos2342 cos2cossin 2 sin27224231 12分2522225442517 ( 本小 分12分 )【解析】 (1)因 各小 的 率之和 1，第一、三、四、五 的 率分 是 0.30 ，0.15 ，0.10 ， 0.05 ，所以第二小 的 率 10.300.150.10 0.050.40 2分因 第二小 的 率 0.40 ，所以落在 59.5 69.5 的第二小 的小 方形的高频率0.4，由此可 全 率分布直方 ( 阴影部分 ) 和 率分布折 如 所组距0.0410示 4分(2)因 第二小 的 数 40 ， 率 0.40 ，所以

14、40，得 x100 ( 人 ) x0.40 6分所以第三 抽取的人数 201000.153( 人 ) ，第四 抽取的人数 10020( 人 ) 8分1000.102100(3) 用 a1、 a2、 a3表示第三 抽取的三位学生，第四 抽取的二位学生用b1、 b2表示， 所有的基本事件 ：a1 , a2、 a1 ,a3， a1 ,b1、 a1 ,b2、 a2 ,a3、 a2 ,b1、 a2 ,b2、a3 ,b1、 a3 ,b2、 b1 ,b2，共 10 种 10分其中 足条件的基本事件 ：a1 ,b1、 a1 ,b2、 a2 ,b1、 a2 ,b2、 a3 ,b1、 a3 ,b2，共 6 种 1

15、1分所以所求概率 P63 12分10518 ( 本小 分14分 )【 明】 (1)如 ， AB的中点 F ， EF 、 FO1因为 O 、 O1分 是上下底面ABCD 和 A1 B1C1 D1的 角 的交点，E是 BC 的中点，所以EF AC ，且1 1分EF =AC2而1，又因 AC A1 C1，且 AC AC11，所以C1O1 =AC1 12EF C1 O1，且 EFC1O1，所以四 形 EFO1C1是平行四 形，所以C1E FO1 3分又因 FO1平面 ABO1， C1E平面 ABO1，所以 C1 E 平面 ABO1 4分(2) 因 ABCDA1B1C1D1是 方体，且 AA1AC2 ，

16、 AB2 ，所以BCAC 2AB2422 ，所以四 形ABCD 是正方形，所以 BDAC 6分连结 OO1，因 O 、O1分 是上下底面ABCD 和 A1 B1 C1 D1的 角 的交点， 所以 OO1平面 ABCD ，从而有 BDOO1 7分因 AC 、 OO1平面 ACO1，且 ACOO1O ，所以 BD平面 ACO1 8分【解析】 (3) 因 CO1CC12O1 C125， BO15 ，所以 BCO1是等腰三角形，连结EO1，EO1BC，且222 9分EOCO 2BC523 211222所以S1BC EO1323 10分BCO1221222 点 A到平面 BCO1的距离 h ， 三棱 A

17、 BCO1的体 VA BCO11S BCO1h13h 11分33h22又三棱 O1ABC 的体 VO11S ABCOO11122 22 12分ABC3323因 VA BCO1VO1ABC ，即 h2 ，所以4 ，即点 A 到平面BCO1的距离 4 23h33 14分19 ( 本小 分14分 )【解析】 (1)令 n1 ，得 S12S120 ，即 S12S1 10 1分因 S1 0 ，所以 S11，即 a11 2分(2) 由2Sn23n2n 4 Sn 2 3n2得Sn2 2Sn3n2nn 00 4分因 an 0 ， nN*，所以 Sn0 ，从而 Sn20，所以Sn13n22n 6分当 n2 ，a

18、nSn13n2n12 8分Sn 13 n 1n 13n 222当 n1 ， a11 上式也成立，所以数列an的通 公式 an3n2 9分【 明】 (3)因 bn331 ，所以bn bn 1111an 2 3n 2 2 nn n 1 n n 1 11分所以1 11 11 1b1 b2b2 b3b3 b4bn 1bnbn bn 12233411111 14分11n1 nnnn 1120 ( 本小 分14分 )【解析】 (1)依 意得， 点 Px, y 到定直 l ： x1的距离与到定点F 1,0 的距离相等，所以 点P x, y 的 迹是以直 l ： x1 准 ，定点 F1,0 焦点的抛物 2分因

19、 p，所以 2 p4 ，所以 点 P 的 迹方程 y 24x 4分12【 明】 (2)当 a1 ， Mx1, y1、 N x2 , y2的直 方程 yk x 1 5分由 yk x 1 ，可得 ky24 y 4k 0，于是4k，即 y1 y2 定 y2y1 y2k44x 8分【解析】 (3) 由(1)和条件得 y14 ，所以 A 、 B的坐 分 A 4,4、 B 0,4 ，所以圆 C1的 心是点 C 0,2，半径 2 9分当 a4 ，直 AD 的方程 x4 ，此 直 AD 与 C1相离 10分当 a4 ，直 AD 的方程 4，即4x 4a y 4a0 ， 心 C 0,2y4 ax a到直 AD 的距离2a8令 d2 ，解得 a1；令 d2 ，解得 a 1 ；令 d 2 ，d216a4解得 a1 12分 上所述， 当 a1 ，直 AD 与 C1相离；当 a1 ，直 AD 与 C1相切；当 a1 ，直 AD 与 C1相交 14分21 ( 本小 分14分 )【解析】 (1)函数 fxx22a ln x ( aR 且 a0