2016中考复习专题动态几何问题(教师版)

1、中考专题：动态几何问题知识点常用解法动点问题中的特殊图形等腰三角形与直角三角形利用等腰三角形或直角三角形的特殊性质求解动点问题相似问题利用相似三角形的对应边成比例、对应角相等求解动点问题动点问题中的计算问题动点问题的最值与定值问题理解最值或定值问题的求法动点问题的面积问题结合面积的计算方法来解决动点问题动点问题的函数图象问题一次函数或二次函数的图象结合函数的图象解决动点问题考点归纳归纳 1：动点中的特殊图形基础知识归纳：等腰三角形的两腰相等，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，平行四边形的对边平行且相等，矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直基本方法归纳：动点问题常与等腰三角形、直角三

2、角形、平行四边形、矩形、菱形等特殊图形相结合，解决此类问题要灵活运用这些图形的特殊性质注意问题归纳：注意区分等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形的性质归纳 2：动点问题中的计算问题基础知识归纳：动点问题的计算常常涉及到线段和的最小值、三角形周长的最小值、面积的最大值、线段或面积的定值等问题基本方法归纳：线段和的最小值通常利用轴对称的性质来解答，面积采用割补法或面积公式，通常与二次函数、相似等内容注意问题归纳：在计算动点问题的过程中，要注意与相似、锐角三角函数、对称、二次函数等内容的结合归纳 3：动点问题的图象基础知识归纳：动点问题经常与一次函数、反比例函数和二次函数的图象相结合基本方

3、法归纳：一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数的图象是抛物线注意问题归纳：动点函数的图象问题可以借助于相似、特殊图形的性质求出函数的图象解析式，同时也可以观察图象的变化趋势一、试题特点用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为动态几何问题，此类问题的显著特点是图形中的某个元素（如点、线段、三角形等）或整个图形按照某种规律运动，图形的各个元素在运动变化过程中互相依存、和谐统一，体现了数学中“变”与“不变”、“一般”与“特殊”的辩证思想其主要类型有：1点的运动（单点运动、多点运动）；2线段（直线）的运动；3图形的运动（三角形运动、四边形运动、圆运动等）二、解题策略和解法精讲

4、解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。3、 题型精讲（一）、点的运动【例1】 （2015盐城）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿ADEFGB的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B

5、），则ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）A B C D【答案】B【解析】试题分析：当点P在AD上时，ABP的底AB不变，高增大，所以ABP的面积S随着时间t的增大而增大；当点P在DE上时，ABP的底AB不变，高不变，所以ABP的面积S不变；当点P在EF上时，ABP的底AB不变，高减小，所以ABP的面积S随着时间t的减小；当点P在FG上时，ABP的底AB不变，高不变，所以ABP的面积S不变；当点P在GB上时，ABP的底AB不变，高减小，所以ABP的面积S随着时间t的减小；故选B考点：1动点问题的函数图象；2分段函数；3分类讨论；4压轴题【例2】已知，（如图）是射线上的动点（点与点不

6、重合），是线段的中点（1）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长；BADMECBADC备用图（3）联结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长【思路点拨】（1）取中点，联结；（2）先求出 DE; （3）分二种情况讨论。解析：（上海市）（1）取中点，联结，为的中点，又，得；（2）由已知得以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，即解得，即线段的长为；（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，又易证得由此可知，另一对对应角相等有两种情况：；当时，易得得；当时，又，即，得解得，（舍去）即线段的长为2综上所述，所求线段的

7、长为8或2二、线的运动【例3】 （2015荆州）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BCCDDA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动设P点运动时间为x（s），BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）A B C D【答案】C【解析】试题分析：由题意可得BQ=x0x1时，P点在BC边上，BP=3x，则BPQ的面积=BPBQ，解y=3xx=；故A选项错误；1x2时，P点在CD边上，则BPQ的面积=BQBC，解y=x3=；故B选项错误；2x3时，P点在AD边上，AP=93x，则B

8、PQ的面积=APBQ，解y=（93x）x=；故D选项错误故选C考点：1动点问题的函数图象；2分段函数【例4】 如图，已知直线l的解析式为yx6，它与x轴，y轴分别相交于A，B两点平行于直线l的直线n从原点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，运动过程中始终保持nl直线n与x轴，y轴分别相交于C，D两点线段CD的中点为P，以P为圆心，以CD为直径在CD上方作半圆，半圆面积为S当直线n与直线l重合时，运动结束 (1)求A，B两点的坐标 (2)求S与t的函数关系式及自变量t的取值范围 (3)直线n在运动过程中， 当t为何值时，半圆与直线l相切？是否存在这样的T值，使得半圆面

9、积SS梯形ABCD？若存在，求出t值；若不存在，说明理由。【思路】 (2)用勾股定理求出CD的长（用t表示），即可求出S与t的函数关系式；(3)半圆面积SS梯形ABCD，可表示为关于t的方程，是否存在t值，即方程是否有解 【失分点】将是否存在t值转化为方程是否有解的问题，是本题的难点和失分点 【反思】这是一道典型的“线段运动型”的动态几何问题，线段的运动往往带动的是一个图形大小的变化（如三角形、平行四边形等），问题常以求图形面积的最值，或者探究运动过程中是否存某一特殊位置的形式出现解决此类问题时，一是要选择适当的求图形面积的方法若是规则图形，可以直接选择面积公式计算；若是不规则图形，一般情况下

10、选择割补法，通过“割补”将不规则图形转化为规则图形解决，二是要根据线段的运动变化过程，探究其他图形的运动变化规律有效的方法就是画出线段变化过程中的几个不同位置的图形，确定线段运动变化的不同阶段，从而判断随之而动的其他图形的一般位置和特殊位置，三、图形运动类【例5】 （2015三明）如图，在ABC中，ACB=90，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将BCP沿CP所在的直线翻折，得到BCP，连接BA，则BA长度的最小值是_ 【答案】1考点：1翻折变换（折叠问题）；2动点型；3最值问题；4综合题【例6】 如图，在ABC中，C45，BC10，高AD8，矩形EFPQ的一边QP在BC

11、边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H （1）求证：； （2）设EFx，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大?并求其最大值；（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动(当点Q与点C重合时停止运动)，设运动时间为t秒，矩形EFFQ与ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式 【答案】解：（1） 四边形EFPQ是矩形， EFQP AEFABC 又 ADBC， AHEF （2）由（1）得 AHx EQHDADAH8x， S矩形EFPQEFEQx (8x) x28 x（x5）220 0， 当x5时，S矩形EFPQ有最大值，图1最大值为20（

12、3）如图1，由（2）得EF5，EQ4 C45， FPC是等腰直角三角形 PCFPEQ=4，QCQPPC9分三种情况讨论： 如图2当0t4时， 设EF、PF分别交AC于点M、N，则MFN是等腰直角三角形 FNMFtSS矩形EFPQSRtMFN=20t2t220；如图3，当4tOF，OEONOF，OEONOF 【反思】涉及的主要知识点有：多边形的内角和，弧长公式，勾股定理，特殊角三角函数拓展练习1（2015咸宁）如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BFAE交CD于点F，垂足为G，连结CG下列说法：AGGE；AE=BF；点G运动的路径长为；CG的最小值为其中正确的说法是 （把你认

13、为正确的说法的序号都填上）【答案】由于OC和OG的长度是一定的，因此当O、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，OC=，CG的最小值为OCOG=，故正确；综上所述，正确的结论有故答案为：考点：1四边形综合题；2综合题；3动点型；4压轴题2、（湖南郴州）如图，平行四边形ABCD中，AB5，BC10，BC边上的高AM=4，E为 BC边上的一个动点（不与B、C重合）过E作直线AB的垂线，垂足为F FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF（1） 求证：BEF CEG（2） 当点E在线段BC上运动时，BEF和CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由（3）设BEx，DEF的面积为 y，请你求出y和x

14、之间的函数关系式，并求出当x为何值时,y有最大值，最大值是多少？ 解析：（湖南郴州）（1） 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以 所以所以（2）的周长之和为定值理由一：过点C作FG的平行线交直线AB于H ，因为GFAB，所以四边形FHCG为矩形所以 FHCG，FGCH因此，的周长之和等于BCCHBH 由 BC10，AB5，AM4，可得CH8，BH6，所以BCCHBH24理由二：由AB5，AM4，可知 在RtBEF与RtGCE中，有：，所以，BEF的周长是， ECG的周长是又BECE10，因此的周长之和是24（3）设BEx，则所以配方得： 所以，当时，y有最大值最大值为3、（浙江台州）如图，在

15、矩形中，点是边上的动点（点不与点，点重合），过点作直线，交边于点，再把沿着动直线对折，点的对应点是点，设的长度为，与矩形重叠部分的面积为（1）求的度数；（2）当取何值时，点落在矩形的边上？（3）求与之间的函数关系式；当取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？DQCBPRABADC（备用图1）BADC（备用图2）解析：（浙江台州）（1）如图，四边形是矩形，又，（2）如图（1），由轴对称的性质可知，DQCBPRA（图1），由（1）知，在中，根据题意得：，解这个方程得：（3）当点在矩形的内部或边上时，当时，当在矩形的外部时（如图（2），DQCBPRA图（2）FE在中，又，在中，当时，综上所述，与之间

16、的函数解析式是：矩形面积，当时，函数随自变量的增大而增大，所以的最大值是，而矩形面积的的值，而，所以，当时，的值不可能是矩形面积的；当时，根据题意，得：，解这个方程，得，因为，所以不合题意，舍去所以 综上所述，当时，与矩形重叠部分的面积等于矩形面积的4（1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EFBD于点F，EGAC于点G，CHBD于点H，试证明CH=EF+EG;(2) 若点E在的延长线上，如图2，过点E作EFBD于点F，EGAC的延长线于点G，CHBD于点H， 则EF、EG、H三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； (3) 如图3，BD是正方形ABCD的对角线,

17、L在BD上，且BL=BC, 连结CL，点E是CL上任一点, EFBD于点F，EGBC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； (4) 观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形， 使它仍然具有EF、EG、H这样分析：（1）要证明CH=EF+EG，首先要想到能否把线段CH分成两条线段而加以证明，就自然的想到添加辅助线，若作CENH于N，可得矩形EFHN，很明显只需证明EG=CN，最后根据AAS可求证EGCCNE得出结论（2）过C点作COEF于O，可得矩形HCOF，因为HC=FO，所以只需证明EO=EG，最后根据AAS可求证COECGE得出猜想（3）连接

18、AC，过E作EG作EHAC于H，交BD于O，可得矩形FOHE，很明显只需证明EG=CH，最后根据AAS可求证CHEEGC得出猜想（4）点P是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点P到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高，很显然过C作CEPF于E，可得矩形GCEF，而且AAS可求证CEPCNP，故CG=PF-PN解答：（1）证明：过E点作ENCH于NEFBD，CHBD，四边形EFHN是矩形EF=NH，FHENDBC=NEC四边形ABCD是矩形，AC=BD，且互相平分DBC=ACBNEC=ACBEGAC，ENCH，EGC=CNE=90，又EC=CE，EGCCNEEG=CNCH=CN+N

19、H=EG+EF；（2）解：猜想CH=EF-EG；（3）解：EF+EG=BD；（4）解：点P是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点P到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高如图，有CG=PF-PN点评：此题主要考查矩形的性质和判定，解答此题的关键是作出辅助线，构造矩形和三角形全等来进行证明的线段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论.5.（2015桂林）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、

20、D停止运动（1）直接写出抛物线的解析式： ；（2）求CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，CED的面积最大？最大面积是多少？（3）当CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使PCD的面积等于CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2），当t=5时，S最大=；（3）存在，P（，）或P（8，0）或P利用三角形的面积公式即可求CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式为：，然后转化为顶点式即可求出最值为：S最大=；（3）由（2）知：当t=5时，S最大=，进而可知：当t=5时，OC=5，OD=3，进而可得CD=，从而确定C，D

21、的坐标，即可求出直线CD的解析式，然后过E点作EFCD，交抛物线与点P，然后求出直线EF的解析式，与抛物线联立方程组解得即可得到其中的一个点P的坐标，然后利用面积法求出点E到CD的距离，过点D作DNCD，垂足为N，且使DN等于点E到CD的距离，然后求出N的坐标，再过点N作NHCD，与抛物线交与点P，然后求出直线NH的解析式，与抛物线联立方程组求解即可得到其中的另两个点P的坐标（2）点A（0，8）、B（8，0），OA=8，OB=8，令y=0，得：，解得：，点E在x轴的负半轴上，点E（2，0），OE=2，根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t，OC=t，OD=8t，DE=OE+OD=10t，S=D

22、EOC=（10t）t=，即=，当t=5时，S最大=；（3）由（2）知：当t=5时，S最大=，当t=5时，OC=5，OD=3，C（0，5），D（3，0），由勾股定理得：CD=，设直线CD的解析式为：，将C（0，5），D（3，0），代入上式得：k=，b=5，直线CD的解析式为：，过E点作EFCD，交抛物线与点P，如图1，过点E作EGCD，垂足为G，当t=5时，SECD=CDEG=，EG=，过点D作DNCD，垂足为N，且使DN=，过点N作NMx轴，垂足为M，如图2，综上所述：当CED的面积最大时，在抛物线上存在点P（点E除外），使PCD的面积等于CED的最大面积，点P的坐标为：P（，）或P（8，0）

23、或P（，）考点：1二次函数综合题；2二次函数的最值；3动点型；4存在型；5最值问题；6分类讨论；7压轴题6.（2010湖南衡阳）已知：如图10，等边三角形ABC的边长为4 cm，长为1 cm的线段MN在ABC的边AB上沿AB方向以1 cm/s的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合点N到达点B时运动终止），过点M，N分别作AB边的垂线，与ABC的其他边交于P，Q两点，线段MN运动的时间为t s (1)线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积(2)线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t，求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的

24、函数关系式，并写出自变量t的取值范围7（2014年浙江温州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（-3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动以CP，CO为邻边构造PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为秒（1）当点C运动到线段OB的中点时，求的值及点E的坐标；（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；（3）在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MNPE，截取FM=2，FN=1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，设PCOD的面积为

25、S当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的的值；若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC内部（不包括边界）时，直接写出S的取值范围【答案】（1），（，0）；（2）证明见解析；（3）1，5；S或S20第二种情况，当点N在CE边上时，由EFNEOC求解,当1t时和当t5时，分别求出S的取值范围,当1t时，S=t（62t）=2（t）2+,t=在1t范围内，S当t5时，S=t（2t6）=2（t）2，S20试题解析：（1）OB=6，C是OB的中点，BC=OB=32t=3，即t=OE=，E（，0）（2）如图1，连接CD交OP于点G,在平行四边形PCOD中，CG=DG，OG=P

26、G，AO=PO，AG=EG 四边形ADEC是平行四边形（）当点C在BO的延长线上时，第一种情况：如答图4，当点M在DE边上时,MFPD，EMFEDP即，解得t=第二种情况：如答图5，当点N在CE边上时，NFOC，EFNEOC即，解得t=5 综上所述，所有满足条件的t的值为1，5考点：1平行四边形的判定；2相似三角形的判定和性质；3二次函数的性质；4分类思想的应用8.（09太原）问题解决如图（1），将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点，重合），压平后得到折痕当时，求的值方法指导：为了求得的值，可先求、的长，不妨设：=2类比归纳在图（1）中，若则的值等于 ；若则的值等于 ；若（为整数），则的值等于 （用含的式子表示）联系拓广图（2）NABCDEFM 如图（2），将矩形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点重合），压平后得到折痕设则的值等于 （用含的式子表示）解：方法一：如图（1-1），连接由题设，得四边形和四边形关于直线