大学数学c1练习题及答案

1、.练习一一、选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的序号填入题后的括号内。 （每小题 3 分，共 24 分 ）1.函数 f ( x)arctan1当 x1时的极限是 (C).1x(A)2(B)2(C)0(D)不存在 .fxdxFxc ，若a0，则f ( ax2b) xdx2.若( )( )().(A)F (ax 2b)c(B)1F (ax 2b)(C)1F ( ax 2b) c(D)2a2a2aF (ax 2b)c .3.若函数f xeaxx0在 x=0 处可导，则 ().b(1x2 )x0(A) a b1(B) a1,b 0(C) a 0, b 1(D) a2, b1

2、 .4. 函数 yex1是 ().ex1(A) 偶函数(B) 奇函数(C) 非奇非偶函数；(D) 既是奇函数又是偶函数 .5.设函数 f ( x) 在点 xa 处可导，则 limf (ax) f ( a x)().x 0x(A)2 f (a)(B) f (a)(C)f (2a)(D)0 .6.已知 ysin x ，则 y (10 )()。(A)sin x(B)cos x(C)sin x(D)cosx .7.若 f ( x) 和 g( x) 均为区间I 内的可导函数 , 则在 I 内 , 下列结论中正确的是().（A ）若 f (x)g ( x) ,则f ( x) g (x)（ B）若 f (x

3、)g(x) ,则 f( x)g ( x)1/ 12.（C）若 f ( x)g ( x) ,则f (x)g (x)c（D ）若 f (x)g ( x) ,则 f (x)g( x) .8. 若 f ( x)x( x1)( x2)( x3) , 则方程f (x)0 根的个数为 ().（A ）0 个(B) 1 个(C) 2 个(D) 3 个.二、填空题（每题3 分，共 18 分。）得分9.函数 yx1的可去间断点为 _.x23x210.当 x0 时， xsin x 是 x2 的 _( 填高阶、低阶或同阶) 无穷小。11.设 yln( xx21)，则 dy_ .已知点(0,1)是曲线y2x3bx2c的拐

4、点，则b _,c_；1213已知 f ( x) 的一个原函数是 ln 2x ，则f ( x)dx_；1114.设f (x)exdx exc , 则 f ( x) =_ .三、计算题（每题6 分，共 42 分）得分1115计算极限 limx) .x 0ln(1x116求极限：lim(cos x) x2 .x017设函数yy( x) 由方程 xyeye2 x 所确定，求y (0) 。xet (1cost )yf ( x) ，求在 t0 时曲线的切线方程 .18. 设参数方程et (1确定函数ysin t )19求不定积分：sin 2 3xdx .2 / 12.20.计算不定积分：1xdx .x2

5、121.计算不定积分：12 arctan xdxx四、解答题（ 8 分）得分22. 某服装公司确定，为卖出x 套服装，其单价应为p 1500.5x ,同时还确定，生产 x套服装的总成本可表示为C (x) 4000 0.25x 2 。求：（ 1）为使利润最大化，公司必须生产多少套服装？最大利润为多少？(2) 为实现利润最大化，其服装单价应定为多少？五、证明题（ 8 分）得分23. 证明：当 x 0 时，不等式 ln(1 x)arc tan x 成立 .1 x练习一答案一、选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的序号填入题后的括号内。 （每小题 3 分，共 24 分。）（B

6、 ）1.D; 2. C;3. C;4. B;5. A;6. C;7. C;8. D.得分得分二、填空题（每题3 分，共 18 分。）9. x 1 ;10. 高阶 ;11.1dx ;12. 则 b0 , c 1 ；;13. ln 2 x C ;14.1.x21x23 / 12.三、计算题（每题6 分，共 36 分）得分15计算极限 lim11x) .x0 ln(1x111x ln(1x)xln(1x)11limlimlim(1 x)分）解： limx ln(1x)x22 x（ 6x 0 ln(1 x)xx0x 0x 02116求极限： lim (cos x)x 2.x0111cos x1解： l

7、im (cos x)x2lim (1cos x1) 1cos xx2e 2（6 分）x 0x01limln cos xlimsin x1或 lim (cos x) x2e x 0x 2e x0 2x cos xe 2x 017设函数 y y( x) 由方程 xy ey2 xe 所确定，求 y (0) 。解：两边对 x 求导数： y xy ey y 2e2 x3 分2e2xy得： yey4 分xy (0)25 分xet (1cost )yf ( x) ，求在 t0 时曲线的切线方程。18设参数方程et (1确定函数ysin t )解：dye t (1sin tcost) ,dxet (1 cos

8、tsin t )dtdty dydy / dt1sin tcost01（ 4 分）dxdx / dt1costy tsin tt0, x2, y1所以 ,切线方程为 : x y 1 0（2 分）4/ 12.19.求不定积分：sin 2 3xdx解： sin2 3xdx1(1cos6 x)dx1( xsin 6x) C（6分）22620求不定积分：1dxxx21xsect1sect tan t1（ 分）解：令，则dxdtt C arccos Cx x261sect tan tx21. 求不定积分：1x2 arctan xdx解：根据分部积分，原式arctan xd ( 1 ) =1 arctan

9、 x1x2dx1 arctanx( 1x2 )dxxxx(1)xx1 x=1arctan xln | x |1ln(1 x2 ) C（6分）x2四、解答题（ 8 分）22. 某服装公司确定，为卖出x套服装，其单价应为p 1500.5x ,同得分时还确定，生产x 套服装的总成本可表示为 C (x)40000.25x 2 。求：（ 1）为使利润最大化，公司必须生产多少套服装？最大利润为多少？(2) 为实现利润最大化，其服装单价应定为多少？解：（ 1）(x)()(x) 150x0.75x24000( 2分)LR xCL ( x)R(x)C ( x)1501.5x令 L (x)150 1.5x 0 ，

10、得 x100 （套）( 2 分 )5 / 12.因为 L ( x)1.50 ，唯一驻点x100即为最大值点，故生产 100 套服装，其利润最大，最大利润为L (100) 3500 （元）( 2 分 )（ 2）实现最大利润所需的单价为p 150 0.5 100 100 （元）。(2 分 )五、证明题（8 分）得分23证明：当 x 0时， ln(1 x)arc tan x 成立。1 x证明：作函数 f ( x)(1 x)ln(1x) arctan x ，则 f (0)0，(2分 )f ( x) ln(1 x) 11ln(1 x)x20(2x21 x21分 )、所以， f (x) 在 (0,) 上是

11、增函数，（ 2分）故，当 x 0 时， f ( x)f (0) 0 ，即： (1 x)ln(1 x) arctan x0 ，由此，得当 x0 时，arc tan x（ 2分）ln(1 x)x16 / 12.练习二一、选择题（在每题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的序号填入题后的括号内。（每题 3 分，共 24 分）1当 x0 时，与 sin x2 等价的无穷小量是（） .7 / 12.A ln( x1)B .tanxC.2(1cos x)2. 设 f ( x)x21，则 x0 是 f ( x) 的 （） .23x 2xA 可去间断点B . 连续点C跳跃间断点f (x02h) f

12、( x0 )（） .3若 f ( x) 在 x0 处可导，则 limhh0A 2 f ( x0 )B 2 f ( x0 )C1f (x0 )2设已知ysin x,则y10（）.4=A . sin xB .sin xC. cos xa10 在点 x5. 函数 f ( x)xsin xx0 处可导，则（） .0x0A a 0B 0 a 1C a 16. 已知f (x)dxx ln xC ，则 f ( x)dx（） .A x ln x CB x ln xC ln x 17若 f2x2x，则 f (x) =().(sin)cosA sin x1sin 2x CB cosxsin x C2C x1 x2

13、CD 1 x2x C22二、填空题（每空3 分，共 18 分）9. x 0 是函数 f ( x)1的 _ 间断点 .12exD .ex1D. 振荡间断点D f (x0 )D .cos xD a0D ln xC8 / 12.x2 sin 110极限 limx_.x0sin x11函数 ysin(2x 21) ，则 dy=_.xacostf ( x) ， 则 dy_ .12. 已知参数方程确定函数 yya t sin tdxt21x21 的交点为 P，则曲线在点 P 处的切线方程为 _.13设曲线 y e与 x14.设函数f ( x)e x ,则f (ln x)dx_.x三、计算题（每题 6 分，

14、共 42 分）1115求极限： limex.x 0 x117求函数 y322 x6x18 x 7 的单调区间、极值、凹凸区间及拐点.18设方程 xyexy 确定了函数 yf ( x) ，求 dy ， dydx19求不定积分xe 2x2dx .20求不定积分x2 ln xdx .四、解答题（共 16 分）22 (6 分 ) 证明：当x0时， 1x ln( x1x2 )1x2 .9 / 12.练习二答案一、 C，B ， B， B， C，D ， C二、9跳跃（第一），10. 0, 11. 4x cos(2x21)dx, 12.1, 13. 2 x y 3 0 ,14.1cx三、xxex1lim11l

15、im e 1xlime1lim2exxex2 （6 分）15解： x 0xex 1x 0 x ex1x 0 ex1xexx 010 / 12.17解： y6x212x186( x1)( x3) ， y12x12，令 y0 ， y0 ，得： x1, x3,x1x(, 1)1( 1,1)1(1,3)3(3, )y+00+y0+y增，凸3减，凸-7减，凹-61增，凹单增区间： (, 1) 与 (3,) ，单减区间： ( 1,1)，极大值 f ( 1)3 ，极小值 f (3)61凸区间： (,1)，凹区间：(1, ) ，拐点： (1, 29)（ 6 分）19解：xe 2x2dx1e 2 x2d ( 2 x2 )1e 2 x2C .（6 分）4420解：x2 ln xdx1ln xdx3 1 ( x3 ln xx2dx)1 x3 ln x1 x3C(6 分 )3339四、 22解：令x1 t ，则312 2t2 t 1 121220 1