江苏大学-常微分方程-3-5-可分离变量型方程及其解法

1、2.1 可分离变量型方程的解法教学内容 1. 介绍导数、不定积分公式表及其意义; 2.介绍求导和求不定积分的法则; 3. 引入齐次方程的概念及其求解方法; 4. 介绍其他可分离变量型方程及其解法. 教学重难点 重点是知道齐次方程如何引入新的因变量化为分离变量型方程，难点是如何根据方程的形式引入新的变量变换使得新方程为可分离变量型方程. 教学方法 自学1、2；讲授3、4，5课堂练习 考核目标 1. 会熟记、记准导数公式和积分公式; 2. 知道求导法则和积分法则，并熟练、正确计算函数的导数和不定积分; 3. 知道齐次方程的形式，并会用变换，将原方程化为变量可分离型方程; 4. 知道探照灯形状设计问

2、题及其求解步骤和方法; 5. 知道如何将函数方程或积分方程求解问题化归为微分方程来求解. 1. 导数公式和积分表的意义小学时大家熟记乘法口诀表，这是小学、中学数学乘、除运算的基础，要不然，买2斤苹果3斤梨子，都不知道该付给商贩多少钱。 大学时大家关心的是函数，其中求导和求积分是两个重要的运算，函数的不少性质需要求助于这两种运算的结果，比如单调性、凸凹性、曲线的长度等.（导数表参见数学分析上P101基本初等函数的导数公式，积分表参见数学分析上P180 列表）练习17. （1） 合上书本，写出基本初等函数的导数公式和不定积分公式. （2）双曲正弦，双曲余弦，(有的教材用sinh x 和 cosh

3、x 表示). 证明：. 2. 求导法则和积分法则碰到的函数成千上万，不可能记住所有这些函数的导数(积分)公式，但你要会将这些函数的导数（积分）转化为上面基本初等函数的导数（积分）来算，这就要知道求导（积分）法则.对于一元函数而言，可导性和可微性是等价的，导数也称为微商，原因是是y的微分与x微分的商. 下面就给出求导、求微分、求积分法则. 设均可导，则, ； 相应（1）;, ；于是相应地有（2）;，；于是相应地有（3）（从左往右，从右往左，不同思路,都要会）例18. 求下列积分 (a) ; (b) ; (3) 教材P32例3. 解：(1) (a) 记，将f(x)分解为简单分式的和: , 其中 ，

4、于是， .(b) 记，其中 系数确定如下，取x=0(不同于-1,1)，则，解得.因此，. 例19. 求下列积分(a) ; (b) ; (c) . (2)解：(a).(b) 此路不通！.(c) 作为练习. 例20. 求下列积分(a) ; (b) .解：(a) 令于是有 . (从右往左)(b) 令， 于是有. 作业18. 求下列方程的通解. (1) ; (2) ; (3) ;3. 可分离变量型方程形式、齐次方程形式及其求解方法（1）可分离变量型方程形式：，其中连续. 求解方法：(1) 求出的根，常函数 也是方程的解； (2) , 分离变量. 例21. 求解下列方程：(a) ; (b) ; (c)

5、.解：(a) 令=0，得到；当时，原方程改写为于是，为所求的通解，此外，也是方程的解. (b) 的定义域为，令=0，得到.当时，即为所求通积分，另外也是方程的一个解. (c) 令，解得.当时，于是得到 为所求的通积分，另外，也是方程的解.作业19. 求解如下方程：. (2) 齐次方程的形式及其解法称形如为齐次方程，解法如下：令，于是新方程为，这是可分离变量型方程. 例22. 求解方程(a);(b) . 解：（a) 令 ，于是.令，解得.当时，于是. 返回原变量得到，.另外也是方程的解. (b) 改写原方程为，这是个齐次方程. 令 ，即.当时，返回原变量得到，为所求的通积分. 另外， u=0对应

6、的 y=0也是方程的一个解. 例23. 求解方程(a) ; (b) .解：(a) 这是改写为齐次方程，令 ，即. (i) 令，解得.(ii) 当时，于是，得到 ，返回原变量得到，原方程的通积分为为任意正实数.另外，对应两条直线也是方程的解. (b) 通过线性变换可以将原方程化为(a)的情形. 具体做法(参见教材P38例7. )作业20. 教材P42 习题1（6）、（9）； 教材P43习题2 (3)、(7). （3）常见可经变量替换化为可分离变量型方程例25. 求解下列方程：(a) ; (b) ; (c) .解：(a) 令，改写原方程为，于是，.(以下略)(b) 令，新方程为. (以下略)(c)

7、 改写方程为，令，新方程为. 注解：更多通过变换化为可分离变量型方程的例子（参见教材P38第一段，P43习题3.） 4. 应用题例26. 探照灯反射镜面的形状设计问题（参见教材P41 例9）思路：（1） 将三维空间曲面约化为平面曲线；（2）建立坐标系，将曲线放在坐标系内，讨论曲线的方程；（3）根据设计要求建立曲线的微分方程；（4）方程求解参见例24.例27. 物体在空气中下落与特技跳伞假设质量为m的物体在空气中下落，空气阻力物体速度的平方成正比，比例系数为k0. 以铅直向下直线为正向，建立坐标轴x轴，记x(t)表示时刻t时2物体的位置，则由牛顿第二定律有，引入速度，则v满足的方程为.先考虑特技

8、跳伞问题，假设跳伞员开伞前阻尼系数为，开伞后阻尼系数为，在给定高度为落地时间，如何掌握开伞时间T使得降落时间最小且有安全的降落速度这是一个有趣的数学问题. （参见 丁同仁、李承治常微分方程教程 P27例3）例24. 求解方程. 解：(1) 当x0时，改写为. 令 ，即.(i) 当u时，. +C于是，返回原变量得到，化简得到(ii) 当u时，. +C， 于是，返回原变量同样得到(iii) 当u=0时，y=0也是方程的一个解. (2) 当x0时，改写为. 令 ，即.(i) 当u时，. +C, 于是，返回原变量得到，化简得到(ii) 当u时，. +C， 于是，返回原变量同样得到(iii) 当u=0时，y=0也是方程的一个解. 综上知，原方程的通解为，其中为任意正实数，此外y