眼科疾病作业

1、眼科病床安排的评价和优化摘要医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。在有限的病床资源下，病床的合理安排成为决定医院管理效率和病人满意度的主要因素。本文以某医院眼科病床为例，来解决病床的合理安排问题。住院看病难是我国民生建设的难题，其主要原因是医院可用病床数量少与病人排队等待时间长的矛盾。本文选取病床使用率、病人平均等待住院时间等指标，从病床的利用率和公平度出发，建立了合理安排病床的评价指标。通过数据分析和拟合检验，得到了病人的到达量和从手术到出院时间的分布。以

2、最大化综合指标为目标，建立了随机规划模型，利用Monte Carlo模拟算法、HPF调度算法进行了求解。根据等待入院时间的分布，估计出了各类病人等待时间的最短置信区间。在周末不安排手术时，通过对术前准备时间的分析和仿真实验，确定了白内障手术应安排在周二、四。最后建立了以平均逗留时间最短的组合随机模型。在缩减了搜索空间后，用仿真方法得到了较优的病床分配方案。针对问题一，选取病床使用率、病人平均等待住院时间为指标，综合病床的利用率E和公平度Y，建立了合理安排病床的评价指标。针对问题二，一方面，根据题中附录提供的数据，用SPSS和EXCEL进行数据分析和处理，作出病人的到达量和从手术到出院时间分布图

3、，利用MATLAB软件进行拟合并计算出相关参数以及检验，发现病人的到达量和从手术到出院时间分别服从泊松分布和伽马分布；另一方面，以最大化综合指标为目标，建立了随机规划模型；并且，利用病人的到达量和从手术到出院时间的分布规律来产生MATLAB仿真数据，用Monte Carlo模拟算法、HPF调度算法对随机规划模型进行仿真求解。针对问题三，根据等待入院时间的分布数据，通过分布拟合及检验，发现非急诊病人等待入院的时间服从伽马分布，利用问题二中算法的仿真模拟，算出各类病人等待时间的置信上界和置信下界。估计出了各类病人等待时间的最短置信区间10,16。针对问题四，在周末不进行手术的前提下，对术前准备时间

4、进行了分析，并把它统计成表。建立使病床安排最合理的非线性约束模型。再次利用仿真实验，得到三种方案下病床有效使用率、公平的、综合指数，得出周二、周四下安排白内障手术最优的结论。针对问题五，建立组合随机模型。以病人在系统内平均逗留时间最短为目标，用仿真方法合理的缩减搜索空间提高搜索效率，得到了病床分配方案。外伤、青光眼、白内障单眼、白内障双眼的分配病床数分别为14、29、21、6和9。论文的最后，对模型的优缺点进行了评价。关键词 Monte Carlo模拟算法 HPF调度算法 拟合检验 仿真 一、问题的重述医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊

5、、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾

6、病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。问题一：

7、试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。 问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整。问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使

8、得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。2、 问题的分析问题一中针对医院病床的管理问题，提出对病床合理安排模型的评测，我们经过对病床合理安排众多指标的分析筛选，对某一特定时间段利用病床的有效利用率和合理程度进行度量，算出一个公平度F，通过建立序数M和它的逆序数T(M)求得总指标Y，对现在医院病床安排模型作出合理性的评价。问题二权衡公平度和有效利用率，建立合理的病床安排模型尽量使有效利用率最大，以及病床浪费率最小，充分利用有限资源。问题三尽量减少排队等待时间，缩短排队队长。问题四利用统计学原理对周六，周日不安排手术的情况，在FCFS调度方法下进行仿真模拟，

9、得到病床的比例方案，如图7.考虑随机影响，使达到最接近最优解。问题五通过建立组合随机模型，采用缩减搜索空间的方法，限制分配比率上下浮动的范围，在FCFS调度方法下进行仿真模拟，得到病床的比率方案。3、 模型的假设（1） 所有病人都不会在入院后转院，非急诊病人都要服从医院的安排，愿意等待。（2） 只考虑题目中的五类病人，不考虑其他病人。（3） 不考虑医疗水平的提高和其他突发事件的影响。3、 符号说明E病床的有效利用率F公平度Y总指标RP优先值F(x)伽玛分布函数各种病人按比例分配的病床数4、 模型的建立和求解4.1问题一模型的建立及求解对于病床安排系统的评价，常见的指标有很多。经过分析、归纳、筛

10、选，病床的有效使用率和公平度来度量病床安排的合理程度。病床有效使用率：即使病床的使用中，但实际上仍可能处于浪费状态。因为对各类病人来说，术前的准备时间是一定的，但术前的准备时间往往过大，其差值就是浪费病床的天数，在一定时间段内，定义病床的有效使用率E为 公平度：对于非急诊病人来说，绝对的公平就意味着先来先服务（FCFS）,也就是遵从“先来后到的原则”，插队是不公平的表现，因此可以用“插队人数”和“插队强度”来共同体现公平度。因此，引入线性代数中的逆序数来体现这一目标。考虑考察期t1到t2时段内的非急诊病人，将他们的住院时间按照门诊的先后时间排列，将得到的序列几位M，然后求出M的逆序数（M）。逆

11、序数可以作为不公平度的量度，比如病人A1、A2、A3先后门诊，若他们的住院次序仍为A1、A2、A3，则逆序数为 0，此时完全公平，若次序为A3、A2、A1 ，则逆序数为6，此时最不公平。显然逆序数越大，对病人越不公平。因此，公平度F定义为 其中为最不公平情况下的逆序数，可以认为是任意排列M中的元素（包括重复值），所能达到的最大逆序数。显然E、F的值都介于0-1之间。综上定义考察期t1到t2时段内总指标为 其中，0，且+=1，和应根据E、F的范围和实际情况灵活确定。本文中，皆取0.5。4.2问题二模型的建立及求解既有的病床安排模型“对全体非急症病人是按照FCFS的规则，对急诊病人实行绝对优先的原

12、则”安排病床。这是一种仅仅考虑了公平度而忽视了病床有效使用率的方法。从而造成了病床的浪费。另外一种极端是不考虑公平度，仅仅追求病床的有效使用率最大化。这会导致部分病人长时间处于系统之外而无法就医。实际上应该权衡这两个指标，建立更合理的病床安排模型，在保证一定公平度的同时降低病床浪费率。4.2.1到达量、从手术到出院时间的分布拟合根据历史数据，可以拟合出每一类病人的到达量、从手术到出院时间的概率分布，然后可以在手术安排、术前准备和排队规则等约束的基础上进行相关的仿真模拟。先后利用排队论中的常见分布函数对各类病人每天到达量、从手术到出院时间进行拟合，并通过相关的统计方法检验后，发现各类病人每天到达

13、量、从手术到出院时间分别服从泊松分布、伽马分布，见表1。参数卡方分布 K-S检验 Fisher检验病类 P值D-统计量 P值 P值白内障（单眼）1.0490.048 10.049 10.892白内障（双眼）1.0330.043 10.0820.9870.986青光眼2.7870.0260.9990.9990.9990.852视网膜1.6390.170 10.0660.9990.656外伤2.1800.0360.9980.0980.9300.8634.2.2病人到达量的概率分布各类病人到达量的实际值和理论分布如图1，通过图1可以发现各类 病人到达数量和泊松分布比较吻合，其参数如表1所示。分别对样

14、本进行卡方检验、Kolmogorov-Smirnov拟合优度检验，考虑到样本量较小，卡方检验、Kolmogorov-Smirnov拟合优度检验的准确度可能受到影响，故同时采用Fisher精确检验方法。从具体检验结果（如表1）可以发现，三种检验结果对应的p值都很大，说明了各类病人的到达量的确是服从泊松分布的。4.2.3病人从手术到出院时间的概率分布病人从手术到出院时间的计算，是根据题中附录中的数据，用出院时间减去第一次手术的时间的差值。将计算出的数据按疾病类型分类，作出的在同一坐标系上的折线图如下。通过分析各类病人从手术到出院的时间折线图，发现样本数据的经验分布和伽马分布较为接近，伽马分布密度函

15、数如下：其中，为尺度参数，为形状参数。伽马分布是常见的连续分布，在排队论中有广泛的应用。并且伽马分布也可用来很好的近似一些离散分布，只需如下定义：这样一来，就可以利用经典的伽马分布来描述病人从手术到出院时间。针对各类病人从手术到出院时间数据，用矩估计方法得到伽马分布的参数后，画出实际图与理论分布图，见图2，通过图2可以发现实际数据和理论分布是非常吻合的。伽马分布的具体参数、拟合优度检验结果如表2所示，通过检验，说明了各类病人从手术到出院时间的确是服从伽马分布。 分布参数卡方检验 K-S检验 Fisher检验病类 P值D-统计量 P值 P值白内障（单眼）0.16717.4320.0310.086

16、0.9990.841白内障（双眼）0.07269.0710.00910.1250.7811青光眼0.30926.1580.36410.1320.8410.931视网膜0.55318.3930.09410.0760.9910.98外伤0.55810.8160.12610.120.8450.914.2.4模型的建立及求解病人术前实际准备时间：首先，根据题意，约定白内障（单双）、青光眼、视网膜、外伤病人术前准备时间分别为1,2,2,1天。定义术前准备时间为入院时间和（第一次）手术时间的间隔，通过对已知数据的分析，可以发现对于各类病人来说，病人入院时间一旦确定，术前实际准备时间也是确定的。比如白内障双

17、眼病人术前必要准备时间为一天，由于只有周一、三做白内障手术，即可知周日到周六住院的病人的实际术前准备时间分别为1,7,6,5,4,3,2天，除周日住院外，白内障双眼病人的术前实际准备时间都大于术前必要准备时间（1天），这就造成了病床的无效占用。同理可知，周六到周日的白内障单眼病人术前实际准备时间分别为1,2,1,5,4,3,2天，青光眼、视网膜病人的为2,3,2,2,2,2,3天，外伤病人为1,1,1,1,1,1,1天。显然非急诊病人的术前准备时间都有不同程度的优化余地，下面建立组合随机规划模型如下：考虑到该优化模型较为复杂，可采用蒙特卡洛算法确定第二天应该安排哪一些人入院。由于各类病人到达量

18、分布、从手术到出院时间分布已经确定，因此，可以对整个系统进行仿真模拟，步骤如下：（1） 确定初始状态空床数、正在住院病人的状态、排队队列病人的状态；（2） 根据分布模拟出各类病人当日门诊数据、次日出院数据、得到次日预计空床数a；（3） 若当日门诊病人有急诊，在次日有预计空床时优先安排，否则退出系统，更新a；（4） 从剩余排队病人（设人数为b）中随机选取min（a，b）个作为次日拟入院病人；（5） 根据约束条件推算拟入院病人的手术时间，计算综合评价指数Y；（6） 重复（3）至（5），选取最大的Y值对应的方案为最优方案；（7） 更新下一刻空床数、正在住院病人的状态、排队队列病人的状态；（8） 重复

19、（2）至（7），到预定时刻止，此时计算整个模拟时段的各项评价指标。Monte Carlo模拟方法简单易行，但在队列人数较长时，可选方案的组合数目会变得很大，很难在较短时间内获得满意的选择，因此需要对算法进行改进。4.2.4算法的改进：高优先级优先调度算法高优先级优先调度（HPF）方法是为队列中每一个元素赋予不同的优先级，优先级高的先被服务，这就避免了Monte Carlo方法搜索方案的随意性。考虑到病床有效使用率和公平度，在安排次日病床时，可根据病人类型、已排队天数、次日住院将造成的病床浪费天数设置优先值RP如下：其中病类优先因子体现不同病人的优先级，可以设置急诊病类的优先级为，其他病类的优先

20、因子为1，次日住院将造成的浪费天数越小，RP值越大，体现提高病床有效使用率原则；已排队天数越大，RP值越大，体现先来后到原则；是为了调整分子和分母的大小比，使其商具有可比性。作业调度的方法通常有先来先服务（HPF）、最小浪费优先（LWF）、高优先级优先服务（HPF）等，其中前两个都是HPF方法的特殊情况，可通过优先级函数区分如下：其中，FCFS方法仅考虑了公平度，LWF方法仅考虑了有效病床使用率，是两个极端。而HFP方法兼顾了公平度和资源利用效率，因此是更为合理的，采用HPF调度算法时，每次计算所有排队病人的优先级，选取优先级最高的病人作为次日住院病人，直到没有空余病床或者没有排队病人为止。通

21、过仿真模拟，得到相同条件下四种调度方法在整个时间段内的评价结果，见表三。通过该表，可以得知各个方案下的病床有效使用率（E）、公平度（F）、综合评价指数（Y）,可以发现高优先级优先（HPF）调度方法兼顾了公平性和病床有效使用率，从而综合指数最高；最小浪费优先（LWF）调度下病床有效使用率最高，但公平度低。先来先服务（FCFS）调度下，公平度最高，但病床有效使用率低。Monte Carlo方法耗时最长，但效果不理想。EFY=E+F（综合指数）FCFS0.8320.9950.909LWF0.9210.7380.823HPF0.90.9530.927Monte Carlo0.8560.7680.812

22、4.3问题三模型的建立及求解通过历史数据，用统计方法可以得到等待入院时间的条件分布，通过此分布可估计出病人等待入院时间的置信区间。一般来说，最优置信区间是指区间长度最短的。对于一般分布，最短置信区间在理论上比较难得。通过分布拟合及检验，发现非急诊病人等待入院的时间服从伽马分布，其参数通过计算如下表所示。可以发现，取整后，各类病人的90%置信区间都在10到16天左右。因为在FCFS系统下，非急诊病人按先来后到的顺序住院，没有区别对待。他们的到达顺序是随机的，因此，等待时间是基本一致的。 病类白内障单眼白内障双眼 青光眼 视网膜 0.3590.3130.3090.309 36.21441.4964

23、2.00942.061 置信下界9.4769.6929.719.712 置信上界16.51616.27616.22516.253 区间长度7.046.5845.5456.5414.4问题四模型的建立及求解4.4.1手术时间安排优化如果医院周六、周日不安排手术，白内障手术的时间安排是病床合理安排的重要因素，方案有三种：1）周一、周三；2）周二、周四；3）周三、周五。三种方案下，急诊病人的就诊情况是完全一样的，方案的区别主要是非急诊病人的术前实际准备时间不同。对于在周内不同时间中住院的每一类非急诊病人，得到三种情况下病人的术前实际准备时间，见表5。方案一：周一、周三方案二：周二、周四方案三：周三、

24、周五 病类青光 视网 白单 白双青光 视网 白单 白双青光 视网 白单 白双 周日 2 2 1 1 3 3 2 2 2 2 3 3 周一 3 3 2 7 2 2 1 1 3 3 2 2 周二 2 2 1 6 3 3 2 7 2 2 1 1 周三 2 2 5 5 2 2 1 6 5 5 2 7 周四 5 5 4 4 4 4 4 5 4 4 1 6 周五 4 4 3 3 3 3 3 4 3 3 5 5 周六 3 3 2 2 2 2 2 3 2 2 4 4 平均 3 3 2.57 42.7 2.71 2.14 4 3 3 2.6 4病人比率（%）13.5 36.5 21.5 28.513.5 36.

25、5 21.5 28.513.5 36.5 21.5 28.5 加权平均3.2652.9593.193表5中，可以求得各个方案下各型病人的平均术前准备时间，经过统计分析，得到这四类病占非急诊病人的比率，然后即可求得非急诊把病人的加权术前实际准备时间，一个暗含的假定是各类病人在一周七天内的入院时间没有显著差异，在FCFS调度系统下，这一条件是满足的。比较可知：方案二下，非急诊病人的平均数准备时间最短（2.959天），能最大限度地减少病人的非必要住院时间，提高病人的满意度，更合理的利用医院资源。因此，白内障手术最好安排在周二、周四。利用仿真模拟，得到三种方案下病床有效使用率、公平的、综合指数，见表6

26、，发现周二、周四下安排白内障手术是最优的。方案周一、周三周二、周四周三、周五指数EFYEFYEFYFCFS0.7960.9950.8950.8310.9940.9130.8130.9950.904LWF0.8710.690.7810.8760.7810.8290.8670.7650.816HPF0.8380.990.9140.8630.9740.9190.8540.9720.913病床分配比例一定的组合随机规划模型为了便于管理，医院可以采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，记数各类病人按比例分配到的病床为，各类病人实际占用的病床数为。以平均逗留时间最短为优化目标，建立组合随机模型 该模型

27、要求在模拟前先确定各类病人的病床数，在通过仿真求得平均逗留时间，可以遍历各种床数分配方案，通过模拟，然后选取最短逗留时间对应的分配方案，但该问题是一个组合随机规划问题，由插班法可知，分配方案数为种，因此很难在最短的时间内求得满意的解。为加快速度，采用缩减搜索空间的方法。定义各类病人的服务强度为日到达量期望和住院时间的乘积，将其之比作为病床数比例的初始值，根据经验该初始值是比较合理的。因此，可以搜索空间限制为该比例上下浮动较小范围所组成的床分配组合。举例来说，如果每类病床安排数在初始值基础上限定上下浮动3个单位，即取7个有效值。那么新的搜索空间最多包括组方案。基于以上分析缩减搜索空间并在FCFS

28、调度方法下进行仿真模拟，得到病床的比例方案，如图7.考虑随机影响，该方案不一定是最优的但和最优解应该比较接近。4.5问题五模型的建立及求解病床分配比例一定的组合随机规划模型为了便于管理，医院可以采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，记各类病人按比例分配到的病床数为，各类病人实际占用的病床数为。以平均逗留时间最短为优化目标，建立组合随机模型 该模型要求在模拟前先确定各类病人的病床数，在通过仿真求得平均逗留时间，可以遍历各种床数分配方案，通过模拟，然后选取最短逗留时间对应的分配方案，但该问题是一个组合随机规划问题，由插班法可知，分配方案数为种，因此很难在最短的时间内求得满意的解。为加快速度，

29、采用缩减搜索空间的方法。定义各类病人的服务强度为日到达量期望和住院时间的乘积，将其之比作为病床数比例的初始值，根据经验该初始值是比较合理的。因此，可以搜索空间限制为该比例上下浮动较小范围所组成的床分配组合。举例来说，如果每类病床安排数在初始值基础上限定上下浮动3个单位，即取7个有效值。那么新的搜索空间最多包括组方案。基于以上分析缩减搜索空间并在FCFS调度方法下进行仿真模拟，得到病床的比例方案，如图7.考虑随机影响，该方案不一定是最优的但和最优解应该比较接近。病人类型外伤青光眼视网膜白内障单白内障双病人比例17.72%36.71%26.58%7.60%11.39%病人数量142921697、

30、模型的进一步讨论8、 模型的评价8.1模型的优点：（1） 引入逆序数合理的度量了不公平度。（2） 综合指标兼顾并量化了公平度和效率。（3） 对病人的到达量、从手术到出院时间、等待入院时间进行了拟合和检验。（4） 对病床服务排队系统多次进行了仿真模拟。（5） 建立了病床合理安排的随机规划模型，用Monte Carlo方法以及三种计算机作业调度方法（FCFS、HPF、LWF）进行求解并比较了各自的特点。（6） 根据病人等待时间的概率分布，设计合理的搜索方案估计出了病人等待时间的最短置信区间。（7） 在求解组合随机规划模型时，合理缩减了搜索空间，快速得到了病床分布方案。8.2模型的缺点：（1） 综合

31、指标中公平度和有效病床利用率的系数设定较主观。（2） Monte Carlo算法在搜索空间较大时很难在短时间内得到满意答案。（3） 仿真模拟的结果具有一定的不确定性。（4） 用条件概率分布来估计等待时间时，没有充分利用系统当前的信息，精确度不高。9、 参考文献10、 附录一、蒙特卡洛算法程序 n=100; %考察天数S=79; %最大病床数E=0; %第1天的空床数load bed.mat; %载入医院现有住院病人信息load wait.mat; %载入第1天之前门诊但未住院的病人信息O=1,1 1 5 0 1; %第1天门诊的病人信息%第2天到第n天门诊的病人for i=2:n O=O;i,

32、poissrnd(1. 1. 2. 1. 2.);end%病人的入院时间到第一次手术所需时间,行为星期，列为病人类型Tio= 1 3 3 2 7 1 2 2 2 6 1 2 2 5 5 1 2 2 4 4 1 2 2 3 3 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2;%各种病人手术到出院的时间服从伽马分布，参数如下gamcan= 0.5581 0.3088 0.5528 0.1665 0.0719 10.8155 26.1582 18.3931 17.4319 69.0709;%赋初值R=zeros(n,1); %拒绝数P=zeros(n,5); %安排数L=zeros(n,5); %出院数 f

33、or kk=1:n%对现有住院病人信息进行完整化（计算做手术时间、出院时间） %(1)手术时间for i=1:S if bed(i,1)=1 & bed(i,5)=1000 xinqi=mod(kk+3,7)+1; %2008-8-8是星期五,则kk的星期数为mod(kk+3,7)+1 bed(i,5)=bed(i,4)+Tio(xinqi,bed(i,2); endend %(2)出院时间for i=1:S if bed(i,1)=1 & bed(i,6)=1000 bed(i,6)=bed(i,5)+round(gamrnd(gamcan(2,bed(i,2),gamcan(1,bed(i,2); if bed(i,6)E(