第七章静电场和恒定磁场的性质

1、第七章 静电场和恒定磁场的性质基本要求：1、 理解电场的规律：高斯定理和环路定理，理解用高斯定理计算电场强度的条件和方法。2、 掌握静电场的电势的概念与电势叠加原理，掌握电势与电场强度的积分关系，能计算一些简单问题中的电势。3、 理解电动势的概念。4、 理解毕奥-萨伐尔定律，能计算一些简单问题中的磁感应强度。5、 理解稳恒磁场的规律：磁场中的高斯定理和安培环路定理，理解用安培环路定理计算磁感应强度的条件和方法。6、 理解安培定律和洛伦兹力公式，理解磁矩的概念，能计算简单几何形状载流导体和载流平面线圈在均匀磁场中或在无限长载流导体产生的非均匀磁场中所受的力和力矩，能分析点电荷在均匀电磁场（包括纯

2、电场，纯磁场）中的受力和运动。基本概念和主要内容a)、静电场高斯定理和环路定理i. 电通量 ii. 高斯定理 电量是相对论的不变量iii. 几种典型带电体的场强无限长带电直线的电场 无限大带电平面的的电场 两无限大带等量异号电荷的平面间的电场 （4）静电场的场强环路定理 静电场是保守场，运动电荷的电场为非保守场。（5）电势电势差 （6）点电荷的电势公式 （7）电势的叠加原理 点电荷系的电势 电荷连续分布的带电体的电势 （8）电场力做功 （9）电场强度与电势的微分关系电场线与等势面处处垂直，电场线指向电势降低的方向。b) 恒定电流的电场i. 电动势 把单位正电荷经电源内部从负极搬运到正极，非静电

3、力做的功。ii. 电流密度iii. 欧姆定律的微分形式 iv. 焦耳定律的微分形式 v. 基尔霍夫定律c) 恒定电流的磁场及其性质i. 毕奥-萨伐尔定律 ii. 几种典型电流的磁场无限长直电流的磁场 圆电流在圆心处的磁场 若为N匝相同的线圈 一段载流圆弧在圆心处的磁场 为圆心角。长直密绕螺线管内的磁场 （3）磁场中的高斯定理 （4）安培环路定理 d) 磁场对运动电荷和电流的作用i. 洛伦兹力公式 ii. 安培定律 载流导线所受的力iii. 磁矩：表征载流线圈性质的物理量 iv. 载流线圈在磁场中受力矩 v. 磁力的功 vi. 霍尔效应重点和难点电场强度、电势和磁感应强度的计算是本章的重点，难点

4、为静电场的高斯定理和稳恒磁场中的安培环路定理的理解和应用。重点1. 明确电场强度是空间位置的矢量函数，能用叠加原理求各种电荷分布产生的电场的空间分布；2. 明确高斯定理的物理意义，适用范围，数学表达式中各量的物理意义，对有一定对称性的电荷分布，能用高斯定理求出电场的空间分布；3. 明确静电场环路定理的物理意义即静电场是一种保守场。4. 学会由定义和叠加原理求已知电荷分布的场的电势分布。难点解析1. 在利用迭加原理求电场强度E 时，不习惯或不能正确地认识到 E 的矢量性，写出dE，直接对dE进行标量叠加(积分)，导致错误的计算结果。2. 不能正确理解高斯定理式中 中和对封闭面S的通量 是两个不同

5、的概念。因而不能理解通量只与高斯面S内包围的电荷代数和有关，而是由高斯面S内外的所有电荷产生的。即高斯面外的电荷对高斯面上的有贡献，但对穿过高斯面的通量无贡献3. 不能正确地运用高斯定理求解电场强度的分布，原因是未能掌握应用高斯定理求场强的一般步骤。4. 对于均匀带电球面内电场 ，而电势 不能理解。 实际上，正是由于均匀带电球面内， E = 0 ，所以，球面内的电势才等于球面上的电势。例1 求半径为R，均匀带电+q的半圆弧在其圆心处的电场强度。解：建立如图8-1所示坐标系，在弧上任选一电荷元dq，dq在O处产生的电场为dE，且所以，半圆弧在O处的总电场为该结果显然是错误的。由于圆弧上各电荷元在

6、O处的电场 方向不同，不能直接由积分 求总电场E。应首先将 分解为，再根据对称性，如图8-2所示， 在y方向上的分量相互抵消，即有所以，代入上式得方向沿x轴正向，或写为例2 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：(选D)(A) 如果高斯面内无电荷，则高斯面上 处处为零。(B) 如果高斯面上处处为零，则该面内必无电荷。(C) 如果高斯面上处处不为零，则高斯面内必有电荷。(D) 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电通量必不为零。(E) 高斯定理仅适用于具有高度对称性的电场。例3 如图 8-9 所示，为求均匀带电 Q ，半径为 R 的均匀带电球面的任一点 P 的电势，由电势的定义 由于带

7、电体电荷分布在有限空间，所以可选 ，又由于积分 与路径无关，根据均匀带电球面外电场 的方向沿径向。因此，选择积分路径沿球面半径，于是 由于沿积分路径 ， 的分布不同，在 路径上， E = 0 ，在 ， ，所以积分必须分段进行 另一方面，由场强与电势的关系可知， 要使球面内的场强 ， U 必须为一恒量。 5、 在静电场中，定义单位正电荷的受力方向为电场强度的方向，在磁场中，为什么不把运动电荷所受磁力方向定义为磁感应强度的方向?由运动电荷在磁场中的洛仑兹力 可知，运动电荷所受磁力的方向不仅与磁场有关，还与电荷的运动方向有关，电荷运动方向不同，所受磁场力的方向和大小均不同，因此，运动电荷所受磁力方向

8、不是磁场本身特有的性质，因此，不能将其定义为的方向。由磁场的相对论引入也可见，磁场力是运动电荷间相互作用力的一部分，磁场是电场的相对论效应，它与激发场的场源电荷的运动速度和激发的电场有关 6、 一个静止的点电荷在它的周围空间任一点均能激发起电场，而一个线电流元是否能在它的周围空间任一点都激发起磁场?不一定，由毕萨定律可知，线电流元的磁场其中为电流元到空间场点的位置矢量与 的夹角，显然，当 或时， 。即当场点位于的延长线上各点时，电流元不能激起磁场。7、 区别 与 的环流，这是两个不同的概念， 并不表示 。例4 如图9-5所示，在一圆形电流 I 所在的平面内，选取一个同心圆形闭合回路L，则由安培

9、环路定理可知：（选B）图9-5(A) ，且环路上任一点 。(B) ，且环路上任一点 。(C) ，且环路上任一点 。(D) ，且环路上任一点 。8、 如何正确理解和运用安培环路定理?对任何稳恒电流产生的磁场，安培环路定理都是成立的，但若要用安培环路定理求的分布，则要求电流的分布及由此产生的磁感强度的分布必须具有特殊的对称性，目的是便于选择合适的积分路径，使B能由积分号内提出。要使B能由积分号内提出来， 与积分路径或者相切或者垂直，相切部分， 要处处相等。例5 真空中有一载流导线段AB，如图9-7所示，以AB沿长线上一点O为圆心做一半径为a的圆周L为积分路径，求AB线段电流在L上产生的磁感应强度对

10、L的线积分 图9-7解：有同学根据安培环路定理得另一同学认为，由于对称性，AB载流线段在L路径上任一点的磁感应强度大小相等，方向沿L切向，且由毕萨定律可得任一点的磁感应强度大小为于是 哪一个同学的结果是正确的?显然，第二个同学的结果是正确的。而第一个同学的结果错在未能正确理解安培环路定理只适用于闭合稳恒电流，其中的B是由包括AB段导线在内的整个稳恒电流所产生的磁场，与题目中所指AB线段(闭合电流的一部分)产生的磁感应强度是两个概念。解题指导一、静电场部分有关电场的求解主要有以下三大类1. 由场强的定义式和库仑定律与场强迭加原理求电场强度：(1) 由点电荷的电场强度公式 求点电荷系在空间某点的电

11、场强度 (2) 由点电荷的电场强度公式 求电荷连续的带电体在空间某点的电场强度 2. 应用高斯定理求场强的一般步骤(1) 分析电场的对称性 根据题意画出示意图，分析电场的分布情况 (最好画出电场线)，看是否具有上述足够的对称性，这可从产生电场的场源电荷的分布看出。常见的情况有以下几种： 场源电荷为均匀带电球面、均匀带电球体、同心的均匀带电导体球壳等，则电场的分布具有球对称性； 场源电荷为无限大均匀带电平板、薄平面等，则电场的分布具有面对称性； 场源电荷为无限长均匀带电直线、均匀带电直圆柱面、直圆柱体或同轴导体圆筒等，则电场的分布具有柱对称性。(2) 选取高斯面 用高斯定理求场强时，选取恰当的高

12、斯面是解题的关键。选取高斯面的原则如下： 选取的高斯面必须通过所考查的场点。 应使高斯面上各点的场强大小相等，的方向与该处面元 的法线平行(这样则可将提到积分号外，且因为 ，只对 积分)；或者使高斯的部分面上各点场强大小相等，方向与的法线平行，另一部分面上各点场强为零或场强的方向与面元的法线垂直(这样， ，即通过这部分的 通量为零)。(3) 应用高斯定理求解 先计算通过所作高斯面的 通量 和高斯面内所包围的电荷电量的代数和为 。若电荷为非均匀分布，则 (式中为电荷密度函数，已知的分布，可积分求出 )。然后根据高斯定理列方程，求解，最后代入数据得答案。3. 由电势的定义式和迭加原理求电势：(1)

13、 电场中a点的电势 ，(2) 电场中任意两点的电势差为 ， 将电荷 从电场中a点移到b点，电场力的功 。 (3) 由场强与电势的关系可求 二、稳恒磁场部分由毕萨定律和磁场叠加原理求的步骤：1. 选取电流元或某些典型电流为积分元 ；2. 由毕萨定律或典型形状电流磁场公式写出积分元 的磁场 ；3. 建立适当坐标系，将 分解为分量式，对每个分量式积分，积分时注意利用对称性化简，统一积分变量，正确确定积分上下限；4. 求出总磁感应强度的大小、方向，并对结果进行讨论。用安培环路定理求磁感应强度，要求电流分布具有一定的对称性，其步骤如下：1. 对电流分布进行对称性分析；2. 选取恰当的闭合路径L为安培环路

14、，以便 中待求的可以标量形式从积分号内提出；选取安培环路的一般方法是：使L上过待求的场点部分的大小相等，方向与平行，辅助线部分的 或 ；3. 求L内包围的电流的代数和 ;4. 由,求出的大小，说明其方向。由安培定律出发，可计算载流导线在磁场中所受的磁场力，其步骤如下：1. 在载流导线上取电流元；2. 由安培定律得到电流元所受安培力3. 由叠加原理：载流导线所受的磁场力等于各电流元所受安培力的矢量和。于是注意一般情况下应该用的各个分量积分，即例题分析例1 一段半径为 a 的细圆弧，对圆心的张角为 ，其上均匀分布有正电荷 q ，如图 8-10 所示，试以 a 、 q 、 表示出圆心 O 处的电场强

15、度。 解：为了能正确描述 O 处的电场，应首先建立合适的坐标系 XOY ；然后正确地选择电荷元 dq ，画出 dq 在 O 点的电场 ，的大小 由图找出相对于 Y 轴对称的另一电荷元 ，其电场 如图所示，由对称性可知，圆弧在 O 处的电场的 X 分量一定相互抵消，合场强沿 -Y方向，大小为 由于 所以， 写成矢量式为 例2 如图 8-15 所示为一均匀带电的球层，其电荷体密度为 ，球层内表面半径为 ，外表面半径为 ，设无穷远处为电势零点，求球层中半径为 r 处的电势。 解： r 处的电势等于以 r 为半径的球面以内的电荷在该处产生的电势 和球面以外的电荷产生的电势 之和，即 为计算以 r 为半

16、径的球面外电荷产生的电势。在球面外取一 的薄层，其电量为 它对该薄层内任一点产生的电势为 则 于是全部电荷在半径为 r 处产生的电势为 例3、一条载有电流 I 的无限长导线绕成如图9-14所示形状，求O点的磁感应强度 。解：O点的磁场可看成是由两条半无限长载流导线和一段半圆弧电流产生的场的叠加，因各部分产生的场方向相同，均垂直纸面向里，故例4、 如图9-17所示，内、外半径分别为 ，面电荷密度为 的均匀带电非导体平面圆环，绕轴线以匀角速度 旋转时，求圆环中心的磁感应强度。解： 当带电平面圆环旋转时，其上电荷作圆周运动形成电流，在空间激发磁场。平面圆环上的电流可看成是半径连续变化的圆形电流的叠加。可取半径为r，宽为dr的细圆环，旋转时，细圆环上的电流为因dr非常小，可将其视做圆电流，该圆电流在环心O处产生的磁感应强度为因半径不同的细圆环在O处产生的磁感应强度方向相同，则O处总磁感应强度为圆盘在纸面内作逆时针旋转，当圆盘带正电时，O点的垂直纸面向外，当圆盘带负电时，O点的B垂直纸面向里。 例5、一圆线圈的半径R，载有电流I，置于均匀外磁场中，线圈