第五章参数估计

1、第五章 参数估计5.1参数估计5.1.1参数估计的基本概念(1)参数估计是根据从总体中抽取的样本估计总体分布中包含的未知参数的方法.人们常常需要根据手中的数据，分析或推断数据反映的本质规律,即根据样本数据如何选择统计量去推断总体的分布或数字特征等.统计推断是数理统计研究的核心问题,所谓统计推断是指根据样本对总体分布或分布的数字特征等作出合理的推断.(2)参数估计分为点估计和区间估计两部分.5.1.2参数的点估计(1)点估计的基本概念点估计是用样本统计量来估计总体参数，因为样本统计量为数轴上某一点值，估计的结果也以一个点的数值表示，所以称为点估计.设总体样本的分布函数(多于一个未知参数时，可同样

2、讨论)的形式为已知，是待估参数，是总体的一个样本，是相应的样本值.点估计问题就是要构造一个适当的统计量，用它来估计未知参数，用它的观察值作为未知参数的近似值,则称：为的估计量；为的估计值.(2)构造估计量的两种常用法：矩估计和最大似然估计矩估计(a)矩估计的定义利用样本矩来估计总体中相应的参数.(b)矩估计的具体方法设总体所体现的分布的随机变量为，若为连续型随机变量，其概率密度为,或为离散型随机变量，其分布律为，其中为待估参数，设是总体的一个样本.1、计算前阶原点矩（假设都存在）:当为连续型随机变量，当为离散型随机变量，其中，是可能取值的范围.2、令样本矩等于总体矩这是一个包含个未知参数的个联

3、立方程组.3、求解上述方程，得到的矩估计为，则为的矩估计量，为的矩估计值.【例5.1】设设总体所体现的分布的随机变量为，且的均值及方差都存在，又设是总体的一个样本，试求和的估计量.解：因为,令样本矩估计总体矩有：，所以,.最大似然估计(a)最大似然估计的定义若已观察到样本的样本值为，当在离散型的情况下，取到这一样本值的概率为，当在连续型的情况下，落在样本值的邻域内的概率为，而与未知参数有关，于是参数就取使概率达到最大值时的估计量.(b)最大似然估计的具体方法设总体所体现的分布的随机变量为，当为连续型随机变量时，其概率密度的形式已知，为待估参数，为可能取值的范围.设是总体的一个样本,则的联合概率

4、密度为.又设是相应于样本的样本值，则随机点落在点的邻域(边长分别为的维立方体)内的概率近似地为.其值随的取值而变化，但因子式不随的取值而变，故只需考虑函数的最大值.这里称为样本的似然函数.若，则称为的最大似然估计值，称为的最大似然估计量.当为离散型随机变量时，用分布律代替样本的似然函数中的即可.这样，确定最大似然估计量的问题就归结为微分学中的求最大值的问题了.在很多情况下，和关于可微，则可以从方程或(由于与在同一处取到极值)中解得.如果的分布中含有个未知参数，则似然函数是这些参数的函数.分别令或(),解此方程组，可得各个待估参数的最大似然估计值.【例5.2】设总体所体现的分布的随机变量为，为未

5、知参数，是来自总体的一个样本值，求的最大似然估计值量.解：的概率密度为，而.解得，.因此的最大似然估计值量为，.(3)估计量的评选标准下面是评价估计量好坏的三个常用的标准.设总体所体现的分布的随机变量为，是来自总体的一个样本，是包含在分布中的待估参数，这里是的取值范围.无偏性若估计量的数学期望存在，且对任意有，则称是未知参数的无偏估计量.有效性设估计量与都是未知参数的无偏估计量，若对于任意，有，且至少有一个，使得此不等号成立，则称较有效.一致性设为未知参数的估计量，若对于任意都满足：对于任意有，则称为的一致估计量.【例5.3】设总体所体现的分布的随机变量为，在区间上服从均匀分布，是来自总体的一

6、个样本，.()求的矩估计量和最大似然估计量；()求常数，使得,均为的无偏估计量，并比较其有效性；()应用切比雪夫不等式证明：均为的一致估计量.解：依题意的密度函数、分布函数分别为：()由于,令样本矩等于总体矩有，所以.样本的似然函数为：是的单调减函数，且，即要取大于的一切值，因此的最小取值为，的最大似然估计量.()由于，,所以，取,即时，为的无偏估计.由于，得的分布函数和密度函数为：，故，则，当时，,即为的无偏估计.由于，所以，则比有效.()由于且(),故根据切比雪夫不等式：对于任意，有有，即(),则称()为的一致估计量.5.1.3参数的区间估计(1)区间估计的基本概念通过从总体中抽取的样本，

7、根据一定的正确度与精确度的要求，构造出适当的区间，以作为总体的分布参数(或参数的函数)的真值所在范围的估计称为区间估计.区间估计是从点估计值和抽样标准误出发，按给定的概率值建立包含待估计参数的区间.其中这个给定的概率值称为置信度或置信水平，指总体参数值落在样本统计值某一区内的概率.这包含待估计参数的区间称为置信区间,置信区间展现的是这个参数的真实值有一定概率落在测量结果的周围的程度.置信区间越大，置信水平越高.划定置信区间的两个数值分别称为置信下限和置信上限.(2)求置信区间的具体方法设总体所体现的分布的随机变量为，是来自总体的一个样本，的分布已知，为待估参数，求置信度为的置信区间.求一个函数，且其分布已知；确定常数使；反解不等式得等价不等式：,则是的置信度为的一个置信区间.【例5.4】有一大批糖果，现从中随机地取16袋，称得重量(克)分别为：506,508,499,503,504,510,497,512,514,505,493,496,506,502,