相似三角形知识点总结及习题

1、1 相似三角形基本知识相似三角形基本知识 知识点一：放缩与相似形知识点一：放缩与相似形 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形相似的图形，或者就说是相似性相似性。 注意注意：相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小 得到的 若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例全等形 3.相似多边形的性质相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角 相等，对应边的

2、长度成比例。 注意注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1. 知识点二：比例线段有关概念及性质知识点二：比例线段有关概念及性质 （1 1）有关概念）有关概念 1、比比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b 的长度分别是 m、n，那么就说这两条线段 的比是 a：bm：n（或） n m b a 2、比的前项，比的后项比的前项，比的后项：两条线段的比 a：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例比例：两个比相等的式子叫做比例，如 d c b a 4、比例外项比例外项：在比例（或 a：bc：d）中 a、d

3、叫做比例外项。 d c b a 5、比例内项比例内项：在比例（或 a：bc：d）中 b、c 叫做比例内项。 d c b a 6、第四比例项第四比例项：在比例（或 a：bc：d）中，d 叫 a、b、c 的第四比例项。 d c b a 7、比例中项比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为（或 a:bb:c 时，我们把 b a b b a 叫做 a 和 d 的比例中项。 8.比例线段比例线段：对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长 度的比相等，即（或 a：b=c：d） ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线 d c b a 段。 （注意：在求线段比时，线

4、段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）单位不统一应先化成同一单位） 2 （2 2）比例性质）比例性质 1.1.基本性质基本性质: : （两外项的积等于两内项积） bcad d c b a 2.2.反比性质：反比性质： (把比的前项、后项交换) c d a b d c b a 3.更比性质更比性质(交换比例的内项或外项)： () () () ab cd acdc bdba db ca ，交换内项 ，交换外项 同时交换内外项 4.4.合比性质合比性质：（分子加（减）分母,分母不变） d dc b ba d c b a 注意注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项

5、之间 发生同样和差变化比例仍成立如： dc dc ba ba c cd a ab d c b a 5.5.等比性质：（等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果，那么)0(nfdb n m f e d c b a b a nfdb meca 注意注意：(1)此性质的证明运用了“设法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法k (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零 (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成 立 知识点三：黄金分割知识点三：黄金分割 1）定义定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（AC

6、BC），如果 ，即 AC2=ABBC，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AC BC AB AC AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。其中 3 . ABDEABDE BCEFACDF 或等 0.618。ABAC 2 15 AB 2）黄金分割的几何作图）黄金分割的几何作图：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点. 作法：过点 B 作 BDAB，使； 连结 AD，在 DA 上截取 DE=DB； 在 AB 上截取 AC=AE，则点 C 就是所求作的线段 AB 的黄金分割点.黄金分割的比值为： .（只要求记住） 3）矩形中，如果宽与长的比

7、是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形。 知识点四：平行线分线段成比例定理知识点四：平行线分线段成比例定理 ( (一一) )平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理 1.1.平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比对应线段成比. 例. 已知 l1l2l3, A D l1 B E l2 C F l3 可得 2.2.推论推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比 例. 4 由 DEBC 可得：.此推论较原定理应用更加 AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD 或或 广泛,条件是平行. 3.3.推

8、论的逆定理推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段 成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. (即利用比例式证平行线利用比例式证平行线) 4.4.定理定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原 三角形三边对应成比例. 5.5.平行线等分线段定理：平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线,如果在一条直线上截得的线段相 等，难么在另一条直线上截得的线段也相等。 三角形一边的平行线性质定理三角形一边的平行线性质定理 定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例。定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例。

9、 几何语言几何语言 ABEABE 中中 BDCEBDCE 简记：简记： DE AD BC AB 下 上 下 上 归纳：归纳： 和和推广：类似地还可以得到推广：类似地还可以得到和和 AE AD AC AB AE DE AC BC 全 上 全 上 全 下 全 下 E D A BC A D B E C 三角形一边的平行线性质定理推论三角形一边的平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边 对应成比例对应成比例. . （1）是“A”字型 （2）是“8”字型 经常考，关键在

10、于 找 ED CB A 5 F E D C B A 三角形一边的平行线的判定定理三角形一边的平行线的判定定理 三角形一边平行线判定定理三角形一边平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例， 那么这条直线平行于三角形的第三边那么这条直线平行于三角形的第三边. . E D A B C A E D CB 三角形一边的平行线判定定理推论三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边 的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三的延长线在第

11、三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三 边边. . 平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理 1 1平行线分线段成比例定理：平行线分线段成比例定理： 两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例. . 用符号语言表示：ADBECF,., ABDE BCEFABDE BCEFACDFACDF 2 2平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所 截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等截得的线段相等，那么在另一直线上

12、所截得的线段也相等. . 用符号语言表示：. ADBECF ABBC DEDF AA 重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心. 重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍. 知识点五：相似三角形知识点五：相似三角形 1、 相似三角形相似三角形 1）定义定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相 似三角形。 几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。两个全等三角形一定相似。 两

13、个等腰直角三角形一定相似。两个等腰直角三角形一定相似。 两个等边三角形一定相似。两个等边三角形一定相似。 两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。 补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等） ； 2）性质性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。 6 3）相似比相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比相似比。 如ABC 与DEF 相似，记作ABC DEF。相似比为相似比为 k。 4）判定判定：定义法定义法：对应

14、角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 三角形相似的预备定理三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原 三角形相似。 三角形相似的判定定理：三角形相似的判定定理： 判定定理判定定理 1 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似(此定理用的最多) 判定定理判定定理 2 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

15、 判定定理判定定理 3 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似 直角三角形相似判定定理直角三角形相似判定定理: : .斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 1 .直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的 2 两个直角三角形也相似。 补充一补充一：直角三角形中的相似问题：直角三角形中的相似问题： 斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似. 射影定理射影定理： CD=ADBD， AC=ADAB， BC=BDBA （在直角三角

16、形的计算和证明中有广泛的应用）. 补充二：三角形相似的判定定理推论补充二：三角形相似的判定定理推论 推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。 推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。 推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。 推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例， 那么这两个三角形相似。 相似三角形的性质相似三角形的性质 相似三角形对应角相等、对应边成比例. 相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似 比(对应边的比). 相似三角形对应面积的比等于相似比

17、的平方平方. 2、 相似的应用：位似相似的应用：位似 1）定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图 7 形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 需注意：位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形， 而相似图形不一定是位似图形。 两个位似图形的位似中心只有一个。 两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。 位似比就是相似比。 2）性质：位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质。 位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对 对应点到位似中心的距离等于位似比

18、（相似比） 。 每对位似对应点与位似中心共线，不经过位似中心的对应线段平行。 中考试题分类汇编中考试题分类汇编 相似三角形相似三角形 一、选择题一、选择题 1、如图 1,已知 AD 与 BC 相交于点 O,AB/CD,如果B=40,D=30,则AOC 的大小为（ ） A.60 B.70 C.80 D.120 2、如图，已知 D、E 分别是ABC的 AB、 AC 边上的点，,DE BC且 1 ADEDBCE SS A四边形 那么:AE AC等于（ ） A1 : 9 B1 : 3 C1 : 8 D1 : 2 3、图为ABC 与DEC 重迭的情形，其中 E 在 BC 上，AC 交 DE 于 F 点，

19、且 AB / DE。 若ABC 与DEC 的面积相等，且 EF=9，AB=12，则 DF=？( ) (A) 3 (B) 7 (C) 12 (D) 15 。 AB CD O 图 1 B A C DE 8 第 4 题 A B C D E A 4、如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点 P 处放一水平的平面镜,光线从 点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处，已知 ABBD，CDBD，且测得 AB=1.2 米，BP=1.8 米，PD=12 米， 那么该古城墙的高度是（ ） A、6 米 B、8 米 C、18 米 D、24 米 5、如图，DEF是由ABC经过位似变换得到

20、的，点O是位似中心，DEF，分别 是OAOBOC，的中点，则DEF与ABC的面积比是（ ） A1:6B1:5C1:4D1:2 6、给出两个命题：两个锐角之和不一定是钝角；各边对应成比例的两个多边形一定相 似( ) A真真B假真C真假D假假 7、如图 2 所示，RtABCRtDEF，则 cosE 的值等于（ ） A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 3 3 8、如上图，直角梯形 ABCD 中，BCD90，ADBC，BCCD，E 为梯形内一点，且 BEC90，将BEC 绕 C 点旋转 90使 BC 与 DC 重合，得到DCF，连 EF 交 CD 于 M已知 BC5，CF3，则 DM:MC

21、 的值为 （） A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:4 9、如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，若6BC ，则DE等于 A5 B4 C3 D2 9E C DA F B 图 5 10、已知ABCDEF，相似比为 3，且ABC的周长为 18，则DEF的周长为 （ ） A2B3C6D54 11、如图,RtABAC 中,ABAC,AB=3,AC=4,P 是 BC 边上一点,作 PEAB 于 E,PDAC 于 D,设 BP=x,则 PD+PE=（ ） A.3 5 x B.4 5 x C. 7 2 D. 2 1212 525 xx 12、 如图，在 RtABC 内有边长分别为, ,a

22、 b c的三个正方形，则, ,a b c满足的关系式是 （ ） A、bac B、bac C、 222 bac D、22bac 113、如图，ABC 是等边三角形，被一平行于 BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中 阴影部分的面积是ABC 的面积的 （ ） 9 1 9 2 3 1 9 4 14、下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ） 15、在同一时刻，身高 1.6 米的小强在阳光下的影长为 0.8 米，一棵大树的影长为 4.8 米， 则树的高度为（ ） A、4.8 米B、6.4 米C、9.6 米D、10 米 二、填空题二、填空题 1、如图，DE，两点分别在ABC的边ABAC，上，

23、DE与BC不平行，当满足 条件（写出一个即可） 时，ADEACB 2、如果两个相似三角形的相似比是1:3，那么这两个三角 形面积的比是 3、如图 5，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点， （第 7 题）ABCD A B C D E P EH FG CB A （第 13 题图） A E C B D 10 图 3 A E D BC 图 8 （第 12 题） A BC E D AE交BD于点F，如果 2 3 BE BC ， 那么 BF FD 4、在 RtABC 中，C 为直角，CDAB 于点 D, BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是 和 ； 并写出它的面积比 . 5、如图，点 123

24、4 AAAA，在射线OA上，点 123 BBB，在射线 OB上，且 112233 ABA BA B， 213243 A BA BA B若 212 A B B， 323 A B B的面积分别为 1，4，则图中三个阴影三角形 面积之和 为 6、两个相似三角形的面积比 S1:S2与它们对应高之比 h1:h2之间的关系为 7、如图 8，D、E 分别是ABC的边 AB、AC 上的点，则使AED ABC的条件是 8、如图 4，已知 ABBD，EDBD，C 是线段 BD 的中点，且 ACCE，ED=1，BD=4，那么 AB= 9、如图，在ABC中，DE，分别是ABAC，的中点，若5DE ，则BC的长是 10

25、、如图 3，要测量 A、B 两点间距离，在 O 点打桩，取 OA 的中点 C，OB 的中点 D，测 得 CD=30 米，则 AB=_米 D C BA （第 5 题图） O A1A2A3A4A B B1 B2 B3 1 4 11 三、解答题三、解答题 1、如图 5，在ABC 中，BCAC， 点 D 在 BC 上，且 DCAC,ACB 的平分线 CF 交 AD 于 F，点 E 是 AB 的中点，连结 EF. （1）求证：EFBC. （2）若四边形 BDFE 的面积为 6，求ABD 的面 积. 2、如图：在等腰ABC 中，CH 是底边上的高线，点 P 是线段 CH 上不与端点重合的任意一 点，连接

26、AP 交 BC 于点 E,连接 BP 交 AC 于点 F. (1) 证明：CAE=CBF; (2) 证明：AE=BF; (3) 以线段 AE，BF 和 AB 为边构成一个新的三角形 ABG（点 E 与点 F 重合于点 G） ，记ABC 和ABG 的面积分别为 SABC和 SABG,如果存在点 P,能使得 SABC=SABG,求C 的取值范 围。 3、如图 10，四边形 ABCD、DEFG 都是正方形，连接 AE、CG,AE 与 CG 相交于点 M，CG 与 AD 相交于点 N 求证：（1）CGAE ； （2）.MNCNDNAN F C A B P E H 12 4、如图，在RtABC中，90A ， 6AB ，8AC ，DE，分别是边ABAC，的 中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作 QRBA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动设BQx，QRy （1）求点D到BC的距离DH的长； （2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） ； 5、如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别 交ACCD，于点PQ， （1）请写出图中各对相似三角形（相似比为 1 除外） ； （2）求:B