期中复习3推理与证明

1、期中复习3 推理与证明期中复习3 推理与证明一、知识点梳理：1、合情推理:归纳推理和类比推理归纳推理:根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理。归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。归纳推理的一般步骤: 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； 提出带有规律性的结论,即猜想； 检验猜想。 类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致)性,推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的推理,叫做类比推理（简称类比）。类比推理是一种从特殊到特殊的推理。类比推理的一般步骤：(1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2)用一类事物

2、的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）；（3）一般地，事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的,而是相互制约的。如果两个事物在某些性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似，类比的结论可能是真的；（4)在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题就越可靠。合情推理所得的结论只是一种猜测，它可能是正确的，可能是错误的。若有反例则猜测错误，若正确则需逻辑证明。2、演绎推理：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、定理、公理等),按照严格的逻辑法则得到新结论的过程。,演绎推理是由一般到特殊的推理.演绎推理的一般模式-“

3、三段论大前提-已知的一般原理，因为，m是p小前提-所研究的特殊情况，因为，s是m结论 -据一般原理,对特殊情况做出的判断. 所以，s是p 演绎推理所得到的结论必是正确的。3、数学证明大法:（1）综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的一种证法.综合法的思维特点是:由因导果，即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论。（2）分析法：从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等）为止。分析法的思维特点是：执果索因，一步一步寻求结论成立的

4、充分条件，其逻辑特征是步步逆推；（3)反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立一种证明方法。反证法的步骤:1）假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立；2)从这个假设出发，通过推理论证,得出矛盾;3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.（4）数学归纳法:对一个与正自然数有关的数学命题(1）证明：当n取第一个值n0结论正确；(2）假设当n=k(kn*,且kn0)时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确。由（1），（2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。4、其它数学证法：（

5、1）放缩法。（2）函数单调性法(3)构造法：构造函数、构造方程、构造二项式、构造几何图形等（4） “”法（5）数形结合法（6）换元法:代数换元、三角换元(7）分类讨论法(8）导数法法。（9）先猜后证法。等等.二、典例讨论：例1：（1）下面给出了关于复数的四种类比推理:复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；由向量a的性质|a2=a2类比得到复数z的性质|z2=z2；方程有两个不同实数根的条件是可以类比得到：方程有两个不同复数根的条件是;由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义。 其中类比错误的是 ( )a. b。 c。 d. 答案:d 。解析：由复数的性质可知.（2)定义的运

6、算分别对应下图中的（1)、(2）、(3）、(4），那么下图中的（a）、（b)所对应的运算结果可能是 ( ） （1） （2） (3） (4） （a） （b）a。 b. c. d。答案：b. （3)在平面几何里,可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的。拓展到空间,类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的 。答案：。解析：采用解法类比. （4）在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式。如从指数函数中可抽象出的性质；从对数函数中可抽象出的性质.那么从函数 （写出一个具体函数即可）可抽象出的性质。答案:y=2x。解析：形如函数y=kx

7、 (k0）即可，答案不惟一。 （5）利用数学归纳法证明“ 时，从“”变到 “时，左边应增乘的因式是 （ ） a b c d 答案:c。（6)命题“关于x的方程的解是唯一的”的结论的否定是 （ ） a、无解 b、两解 c、至少两解 d、无解或至少两解答案：d。解析：“否定”必须包括所有的反面情形。例2：（分析法)abc的三个内角a、b、c成等差数列,求证：。答案:证明：要证，即需证.即证。又需证，需证abc三个内角a、b、c成等差数列。b=60。由余弦定理，有，即.成立,命题得证。例3： 已知：； 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的正确的命题。并给出证明。答案:一般形式: 证明：左边 =

8、 = = = = (将一般形式写成 等均正确。）例4: 请你把不等式“若是正实数，则有推广到一般情形，并证明你的结论。答案： 推广的结论：若 都是正数， 证明： 都是正数 ，,，例5:已知函数，满足条件：； ； ；当时，有. （1) 求，的值;(2） 由，的值，猜想的解析式；（3） 证明你猜想的的解析式的正确性。答案：（1)解：,又， 。 又 ，且 。 （2)解:由，,猜想 (3)证明:用数学归纳法证明: 当时，,猜想正确； 假设时，猜想正确，即1若为正奇数,则为正偶数，为正整数, 2若为正偶数，则为正整数,，又，且所以即当时,猜想也正确 由，可知，成立。 作业:1观察式子：，则可归纳出式子为

9、（ ）a、 b、c、 d、答案：c.解析：用n=2代入选项判断。2有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面,直线平面，直线平面，则直线直线”的结论显然是错误的,这是因为 （ ）a。大前提错误 b.小前提错误 c.推理形式错误 d.非以上错误答案：a。解析：直线平行于平面，并不平行于平面内所有直线。3古希腊数学家把数1，3，6,10，15，21，叫做三角数，它有一定的规律性，第30个三角数与第28个三角数的差为 .答案:59.解析：记这一系列三角数构成数列，则由归纳猜测,两式相加得。或由,猜测.4数列是正项等差数列，若，则数列也为等差数列. 类比上述结论,写

10、出正项等比数列，若= ，则数列也为等比数列.答案：。5“ac，bd是菱形abcd的对角线,ac，bd互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是 。答案：菱形对角线互相垂直且平分。6. 在abc中，若c=90,ac=b,bc=a，则abc的外接圆的半径，把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论是 。答案：本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形，所以在空间中我们可以选取有3个面两两垂直的四面体来考虑.取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体abcd，且ab=a,ac=b,ad=c，则此三棱锥的外接球的半径是。7第一件1颗珠宝， 第二件6颗珠宝， 第三件15颗珠宝, 第四件28颗珠宝

11、，第五件45颗珠宝， 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形,依此推断第6件上应有_颗珠宝;则前件所用珠宝总数为_颗.（结果用表示)图1图2图3图4答案：66, 。解析：利用归纳推理知.8在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥o-lmn,如果用表示三个侧面面积,表示截面面积，那么你类比得到的结论是 .答案:。9有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖。乙

12、说：“甲、丙都未获奖。”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是 答案：丙。解析：若甲获奖,则四人说的话全错，同理可推知乙、丙、丁获奖情况。10用分析法证明:若a0,则。答案：证明：要证，只需证。a0,两边均大于零,因此只需证只需证，只需证，只需证，即证，它显然成立.原不等式成立。11用数学归纳法证明：();（7分）（) ；(7分） 答案:（1）可以用数学归纳法-略（2）当时，左边（）=右边,命题正确12设在上是单调函数.（1)求实数的取值范围；（2)设1，1，且，求证：.答案：(1) 若在上是单调递减函数,则须这样的实数a不存在.故在上不可能是单调递减函数.若在上是单调递增函数，则，由于。从而0a3。（2）方法1:可知在上只能为单调增函数。 若1，则 若1矛盾， 故只有成立.方法2：设， 两式相减 得 1,u1，13已知椭圆c:具有性质：若m、n是椭圆c上关于原点对称的两点,点p是椭圆c上任意一点，当直线pm、pn的斜率