完整圆锥曲线光学性质的证明及应用初探

1、圆锥曲线光学性质及生活中的应用 撰稿人：崔敬 殷雅雯 学习完圆锥曲线的方程和性质后，课本上有几条未证明的性质引起了我们的兴趣，在反复查找资料，推理演算下，总算是确定了三条待证命题，大致地完成了其证明，并且找到了一些圆锥曲线在实际中的神奇应用。 一、 圆锥曲线的光学性质 首先说明一下我们要证明的东西，总共有三样： 1 椭圆的光学性质： 从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上； (见图1.1) 椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置例如在FFF处的物体加热处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于 处，对2212双曲线的光学性质 ：从双曲线一个焦点发出

2、的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2) 双曲线这种性质，在天文望远镜的设计等方面，有重大的贡献 3 抛物线的光学性质 ：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3） 抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发

3、射的微弱电磁波讯号射线，最大限1 度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的 B D FA 2 ? ? ? ? ?O F FF 1 1 2 1.1 图1.2 图1.3 图 当然，在证明之前，需要把这个物理问题转化为数学问题才行。 二、问题转化及证明 在证明前，如果不知道这三点，是很麻烦的因为其光学性质的证明都与圆锥曲线上某一点的切线方程有关，所以 这三个公式先提前列出22yx1?)yx,P(上任一点，则椭圆过

4、该点的切线方程为：是椭圆若点1 0022bayxyx001? 。 22ba22yx)yxP(,1?上任一点，则双曲线过该点的切线方是双曲线若点200 22bayyxx001?程为： 22ba)yx,P(是抛物线上任一点，则抛物线过该点的切线方程若点32px?y200)xx?y?p(y是 002 1. 椭圆上一个点P的两条焦半径的夹角被椭圆在点P处的法线平分（图2.1） 22yx已知：如图，设椭圆的方程为，分别是其左、右焦点，是1?F,FlC 2122ab过椭圆上一点的切线，为垂直于且过点的椭圆的法线，交轴),yP(xxllP00于 D设， ?F?FPD?PD,12求证：. ? 22yx解：在上

5、， 1:?CC?,y)P(x 0022aby yxyx P 则过点的切线方程为：001? 22ba PD 是通过点垂直的法线，且与切线x LllF OF12F 2xy1100)(?l:()?xy)x?图2.1 L 则 002222abbacx轴交于 法线与2,0)xD(l 0a22cc xc?D,|F|?|FD|?x?c 021022aa2?acx|D|F 01? 2?acx|FD|02又由焦半径公式得： exa?PF|?PF|?a?ex,|0120|FD|PF| 11? |FD|PF|22是的平分线 PF?FPD21 ?90? ，故可得2.双曲线上一个点P的两条焦半径的夹角被双曲线在点P处的

6、切线平分（图2.2）； 3 22yx已知：如图，双曲线的方程为，分别是其左、右焦点，是1?FFlC 2122ab过双曲线上的一点的切线，交轴于点，设， ?PD?FPDP(x,y)?FxCD2100求证： ?LP?22y? 解：1?C: x22?baFFD ，两焦点为222)(c?ab,0)cF(F(?c,0)21 在双曲线上),yP(x2.2 图00yyxx 则过点的切线001?P 22ba2a 。切线与轴交于x,0)D(l x0 由双曲线的焦半径公式得cc |?aPF|?PF|?|xx?a|,| 0102aa ，双曲线的两焦点坐标为?),0(?F(c,0)cFc|a|?x|DF|PF|caa

7、c 0a 故11?|,?DF|x?a|DF|?|x?a|,| 0201c|DFPF|xaxa|a|x?2020 0a ，故 ? 之角分线。切线为?lFFP?且平行于轴的直线的夹角被P抛物线上一个点P的焦半径与过点定理3 ）。处法线平分（图2.3抛物线在点PLy P ? D ?x F ，已知：如图，抛物线的方程为为2cxy4?C 2.3 图4 直线是过抛物线上一点的切线， ),yP(xl00交轴于， ?x?DPF?PDF,?D反射线与所成角记为， ?PQl求证： ?证明： 如图 ，抛物线的方程为 C，点在该抛物线上， 2),yP(xcx4?C:y00则过点的切线为 )?x?p(xyyP00切线与

8、轴交于 ,0)?xD(xl0焦点为， (同位角) ?,F(c0) 22?y?c)|PF?(?|xc|,|DF|?|x?c|x?0000 |DF|?|PF ?通过以上问题转化可知，圆锥曲线的光学性质是可以用我们学过的知识证明的(very difficult)。那么它在生活中有何应用呢？ 三圆锥曲线的应用 圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆，通过直角坐标系，它们又与二次方程对应，所以，圆锥曲线又叫做二次曲线。圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一，在我们的实际生活中也存在着许许多多的圆锥曲线。 虽然我不知道为什么，天体分别按照椭圆，双曲线，抛物线运行时，其总能量与离心率有很奇妙的关系，天体总能量

9、椭圆0,抛物线=0，（椭圆e1,抛物线e=1）。相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一物体的运动，不可能有任何其他的轨道了。因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式。 5 我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨 迹上运行，太阳系其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上。如果这些行星运行速度增大到某种程度，人类发射人造地球卫它们就会沿抛物线或双曲线运行。 星或人造行星就要遵照这个原理。 由抛物线绕其轴旋转，可得到一个叫做旋转物面的曲面。它也有一条 轴，即抛物线的轴。在这个轴上有 任何一一个具有奇妙性质的焦点，条过焦点的直线由抛物面反射出来以后，都成为平行于轴的直线。这就是我们为什么要把探照灯反 光镜做成旋转抛物面的道理。它又是一种直纹曲面，由双曲线的一支绕其虚轴旋转，可以得到双曲面， 由两组母直线族组成，各组内母直线互不相交，而与另一组母直线却相交。