2020-2021学年高三数学一轮复习知识点专题2-2 函数的单调性与最值（含答案）

1、2020-2021学年高三数学一轮复习知识点专题2-2 函数的单调性与最值（含答案）【核心素养分析】1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象能力。【重点知识梳理】知识点一 函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)

2、单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间知识点二 函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M(3)对于任意的xI，都有f(x)M；(4)存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值【特别提醒】1.函数yf(x)(f(x)0)在公共定义域内与yf(x)，y的单调性相反.2.“对勾函数”yx(a0)的单调增区间为(，)，(，)；单调减区间是，0)，(0，.【典型题分析】高频考点一 确定不含参函

3、数的单调性(区间)例1.（2020新课标）设函数，则f(x)（ ）A. 是偶函数，且在单调递增B. 是奇函数，且在单调递减C. 是偶函数，且在单调递增D. 是奇函数，且在单调递减【答案】D【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.【方法技巧】确定函数单调性的方法(1)定义法利用定义判断(2)导数法适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数(3)图象法由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二

4、是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“”连接(4)性质法利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性【变式探究】（2020河北辛集中学模拟）函数f(x)|x23x2|的单调递增区间是()A. B.和2，)C(，1和 D.和2，)【答案】B【解析】y|x23x2|，如图所示，函数的单调递增区间是和2，)；单调递减区间是(，1和，故选B。高频考点二 确定含参函数的单调性 例2.（2020北京101中学模拟）判断并证明函数f(x)(a0)在(1,1)上的单调性【解析】法一：(定义法)设1x1x21，f(x)aa，f(x1)f(x2)a

5、a，由于1x1x21，所以x2x10，x110，x210，故当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递增法二：(导数法)f(x)，所以当a0时，f(x)0，当a0时，f(x)0，即当a0时，f(x)在(1,1)上为单调减函数，当a0时，f(x)在(1,1)上为单调增函数 【方法技巧】判断函数单调性常用以下几种方法：(1)定义法：一般步骤为设元作差变形判断符号得出结论(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定

6、单调性(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)g(x)增减性质进行判断；【变式探究】（2020安徽蚌埠二中模拟）判断并证明函数f(x)ax2(其中1a3)在1,2上的单调性【解析】函数f(x)ax2(1a3)在1,2上单调递增证明：设1x1x22，则f(x2)f(x1)axax(x2x1)，由1x10,2x1x24，1x1x24，1.又因为1a3，所以2a(x1x2)0，从而f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，故当a(1,3)时，f(x)在1,2上单调递增高频考点三 函数的最值例3

7、.(2018全国)若f(x)cos xsin x在0，a上是减函数，则a的最大值是()A. B. C. D【答案】C【解析】f(x)cos xsin xsin，当x，即x时，ysin单调递增，f(x)sin单调递减，是f(x)在原点附近的单调减区间，结合条件得0，a，a，即amax.【方法技巧】求函数最值(值域)的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值

8、，求出最值.【变式探究】（2020湖北襄阳四中模拟）若函数f(x)的最小值为f(0)，则实数a的取值范围是()A1,2 B1,0C1,2 D0,2【答案】D【解析】当x0时，f(x)xa2a，当且仅当x，即x1时，等号成立故当x1时取得最小值2a，f(x)的最小值为f(0)，当x0时，f(x)(xa)2单调递减，故a0，此时的最小值为f(0)a2，故2aa2，得1a2.又a0，得0a2，故选D。高频考点三 解不等式例3.（2020河南洛阳一中模拟）f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，满足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，则不等式f(x)f(x8)2的解集为_【答案】(8,9【解析】因

9、为211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2可得fx(x8)f(9)，f(x)是定义在(0，)上的增函数，所以有解得8x9。【方法技巧】求解函数不等式问题，主要是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域以及函数奇偶性质的应用【变式探究】（2020湖南长郡中学模拟）设函数f(x)是奇函数，且在(0，)内是增函数，又f(3)0，则f(x)0的解集是()Ax|3x3Bx|x3或0x3Cx|x3Dx|3x0或0x3【答案】B【解析】f(x)是奇函数，f(3)0，f(3)f(3)0，解得f(3)0.函数f(x)在(0，)内是增函数，当0x3时，f(x)3时，f(x)0.函数f(x)是奇函数，当3x0；当x3时，f(x)0.则不等式f(x)0的解集是x|0x3或x3高频考点五 利用函数的单调性求参数例5.（2020天津南开中学模拟）若函数f(x)2|xa|3在区间1，)上不单调，则a的取值范围是()A1，) B(1，)C(，1) D(，1【答案】B【解析】因为函数f(x)2|xa|3且函数f(x)2|xa|3在区间1，)上不单调，所以a1，所以a的取值范围是(1，)故选B。【方法技巧】利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，