江苏省扬州市广陵区扬州中学2019-2020学年高二数学上学期12月月考试题【含解析】

1、江苏省扬州市广陵区扬州中学2019-2020学年高二数学上学期12月月考试题（含解析）一、单项选择题：1.等差数列中，则=（ ）A. B. C. 2D. 10【答案】A【解析】【分析】设等差数列的公差为，可得，进而可得.【详解】设等差数列的公差为，则可得.所以.故选A.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量运算，属于基础题.2.方程表示焦点在x轴上的一个必要不充分条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出“方程表示焦点在x轴上”对应的的取值范围，再根据必要不充分条件与集合之间的包含关系即可求解【详解】方程表示焦点在x轴上，所以，解得，所以是的必要不充分条件故选：A【点

2、睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，解题关键是将必要不充分条件转化为集合之间的包含关系，属于基础题3.数列的一个通项公式（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据数列各项分子、分母特征，即可找出规律，求出通项公式。【详解】将2写成，因为数列各项分子为2,4,8,16,32,，是以2为首项和公比的等比数列，分母为1,3,5,7,9, ，是以1为首项,以2为公差的等差数列,所以此数列的一个通项公式为.故选：C【点睛】本题主要考查观察法求数列的通项公式，以及等差、等比数列通项公式的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题4.已知ABC为等腰直角三角形，若双曲线E以A，B为焦点

3、，并经过点C，该双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴,建立平面直角坐标系，可求出该双曲线的实轴长为，从而求出离心率【详解】设，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系依题意可知，由双曲线的定义可知，双曲线的实轴长为，所以该双曲线的离心率是故选：D【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质应用，建立适当的坐标系，得到实轴长和焦距是解题关键，考查学生数学建模的能力，属于中档题5.趣味数学屠夫列传中有如下问题：“戴氏善屠，日益功倍初日屠五两，今三十日屠讫，问共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前

4、一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？” （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，得到该屠户每天屠肉成等比数列，记首项为，公比为，前项和为，由题中熟记，以及等比数列的求和公式，即可得出结果.【详解】由题意，该屠户每天屠的肉成等比数列，记首项为，公比为，前项和为，所以，因此.故选D【点睛】本题主要考查等比数列的应用，熟记等比数列的求和公式即可，属于基础题型.6.如图所示，在平行六面体中，设，是的中点，试用，表示（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的线性表示，用，表示出即可【详解】解：是的中点，.故选A.【点睛】本

5、题考查了空间向量的线性表示与应用问题，是基础题目7.已知等差数列an的公差d0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn为数列an的前n项和，则的最小值为（）A. 4B. 3C. D. 2【答案】A【解析】【分析】a1，a3，a13成等比数列，a1=1，可得：a32=a1a13，即（1+2d）2=1+12d，d0，解得d可得an，Sn代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值【详解】解：a1，a3，a13成等比数列，a1=1，a32=a1a13，（1+2d）2=1+12d，d0，解得d=2an=1+2（n-1）=2n-1Sn=n+2=n2=n+1+-22-2=4，当且仅当

6、n+1=时取等号，此时n=2，且取到最小值4，故选A【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值，解题的关键是利用分离常数法化简式子，凑出积为定值8.已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，当周长最小时，该三角形的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的定义，确定周长最小时，的坐标，即可求出周长最小时，该三角形的面积【详解】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，的周长为，由于是定值，要使的周长最小，则最小，即、共线，直线的方程为，即代入整理得，解得或（舍），所以点的纵坐标为，.故选C.【点睛】本题考查双曲线的定义，考查三角形面

7、积的计算，确定点的坐标是关键二、多项选择题9.下列说法正确的是（ ）A. “”是“x=2019”的充分条件B. “x=-1”的充分不必要条件是“”C. “m是实数”的充分必要条件是“m是有理数”D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据充分、必要条件的定义，可以判断选项的真假，根据不等式性质可以判断选项的真假【详解】对于选项A，所以“”是“x=2019”必要条件；对于选项B，解得或，所以“x=-1”的必要不充分条件是“”；对于选项C，“m是实数”的充分不必要条件是“m是有理数”；对于选项D，所以，即，所以故选：D【点睛】本题主要考查充分、必要条件的定义应用，属于基础题10.已知等比数列中，满足

8、，则（ ）A. 数列是等比数列B. 数列是递增数列C. 数列是等差数列D. 数列中，仍成等比数列【答案】AC【解析】【分析】根据题意求出等比数列的通项公式，即可求出数列，的通项公式，并判断数列类型，由等比数列前项和公式，可求出，即可判断选项的真假【详解】等比数列中，所以，于是 ，故数列是等比数列，数列是递减数列，数列是等差数列因为 ，所以不成等比数列故选：AC【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和前项和公式的应用，以及通过通项公式判断数列类型，属于基础题11.已知三个数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】由等比数列的性质求出，再判断曲线类

9、型，进而求出离心率【详解】由三个数成等比数列，得，即；当，圆锥曲线为，曲线为椭圆，则；当时，曲线为，曲线为双曲线，则离心率为：或故选BC【点睛】本题考查等比数列的性质，离心率的求解，易错点为漏解的取值，属于中档题12.已知点F是抛物线的焦点，AB,CD是经过点F的弦且ABCD，AB的斜率为k，且k0，C,A两点在x轴上方.则下列结论中一定成立的是（ ）A. B. 四边形ACBD面积最小值为C. D. 若，则直线CD的斜率为【答案】ACD【解析】【分析】利用抛物线极坐标方程求出，然后即可计算求解，判断出各选项的真假【详解】设AB的倾斜角为，则有，所以，C正确；，若，则，直线CD的斜率为，D正确；

10、，所以B不正确；设 ，由抛物线过焦点弦的性质可知，所以A正确故选：ACD【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质应用，抛物线的极坐标方程的应用，考查学生的数学运算能力，属于较难题三、填空题13.已知空间向量,若空间単位向量满足:，则=_.【答案】或【解析】【分析】设出对应的坐标形式，根据以及列出对应的方程组，求解出的坐标表示.【详解】设，因为且，所以，解得：或，所以或.故答案为或.【点睛】本题考查空间向量的数量积计算的简单应用，难度较易.已知空间向量，则.14.己知命题p：，且p是假命题，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】命题p是假命题,则利用其否定为真命

11、题,再参变分离进行求解即可【详解】命题p：,是假命题,则,恒成立,或故答案为【点睛】本题考查特称命题的否定与恒成立问题,属于基础题型15.已知数列的通项公式是，数列满足且，则数列的通项公式为_【答案】【解析】【分析】根据已知可得,然后两边同时加上3,变形为,再利用等比数列通项公式可得答案.【详解】因为,所以,所以,又,所以数列是首项为8,公比为2的等比数列,所以,所以.故答案为: 【点睛】本题考查了等比数列的定义以及通项公式,属于基础题.16.抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点，则的取值范围为_【答案】【解析】因为点在抛物线

12、上，所以，点A到准线的距离为，解得或当时，故舍去，所以抛物线方程为，所以是正三角形，边长为，其内切圆方程为，如图所示，设点（为参数），则，【点睛】本题主要考查抛物线性质的运用，参数方程的运用，三角函数的两角和公式合一变形求最值，属于难题，对于这类题目，首先利用已知条件得到抛物线的方程，进而可得到为等边三角形和内切圆的方程，进而得到点的坐标，可利用内切圆的方程设出点含参数的坐标，进而得到，从而得到其取值范围，因此正确求出内切圆的方程是解题的关键.四、解答题17.（1）已知x2，求的最小值；（2）已知，且，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）因为，由基本不等式即可求出最小值；

13、（2）因为，所以，于是，由基本不等式即可求出最小值【详解】（1），当且仅当时取等号，所以的最小值为（2）因为，所以，于是，当且仅当时取等号，所以的最小值为【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，使用注意“一正二定三相等”，以及“和定积最大，积定和最小”，属于基础题18.已知数列的前n项和满足是等差数列，且（1）求和的通项公式；（2）求数列的前2n项和【答案】（1）,（2）【解析】【分析】（1）根据数列的前n项和，可以判断出数列是以为首项，公比为的等比数列，因此可求出，再设出等差数列的公差为，列出关于等差数列首项和公差的两个方程，解出和，即可求出的通项公式；（2）根据数列的特点，采用并项求和法，即

14、可求出前2n项和【详解】（1）因为，当时，当时，当时，也符合上式所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以设等差数列的公差为，由，所以，即，故（2）又因为，所以，所以【点睛】本题主要考查等差、等比数列通项公式的求法以及并项求和法求数列的和，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题19.在正方体中，边长为2，利用综合法完成以下问题：（1）求点到平面的距离；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据等积法可知，因此求出和，即可求出点到平面的距离；（2）分别取的中点，连接，由题意可知即为二面角的平面角，在中，根据余弦定理即可求出【详解】（1）因为为边长为的等边三角形，所以

15、，而，设点到平面的距离为，由可得，解得（2）分别取的中点，连接因为为边长为的等边三角形，所以， ，又为直角三角形，而为的中位线，所以，故即为二面角的平面角在中，所以 故二面角的余弦值为【点睛】本题主要考查利用综合法求点到面的距离以及二面角的余弦值，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于中档题20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD平面ABCD，AB=2，BC=1，E为PB中点.利用空间向量方法完成以下问题：（1）求二面角E-AC-D的余弦值；（2）在棱PD上是否存在点M，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）在棱上存在点,使，且【解析】

16、【分析】（1）取的中点，建立空间坐标系，分别求出平面和的法向量，再由二面角的向量公式即可求出；（2）假设存在点，设出点的坐标，由三点共线得，可用表示出点，再利用，求出，满足即可，即得的值【详解】（1）取的中点，连结，.因为底面为矩形,所以.因为，,所以，所以.又因为平面PCD平面ABCD,平面平面PCD平面ABCD=CD.所以PO平面ABCD，如图，建立空间直角坐标系,则，设平面的法向量为，所以令，则，所以.平面的法向量为，则.如图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.（2）在棱上存在点,使.设,则.因为,所以.因为,所以.所以，解得.所以在棱上存在点,使，且.【点睛】本题主要考查利用空间向

17、量求二面角，以及点的存在性问题，解题关键是通过题意建立恰当的空间坐标系，准确求出各点坐标，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于中档题21.已知正项数列的前n项和满足（1）求数列的通项公式；（2）若（nN*），求数列的前n项和;（3）是否存在实数使得对恒成立，若存在，求实数的取值范围，若不存在说明理由【答案】（1）（2）（3）存，【解析】【分析】（1）根据与的关系，即可求出的通项公式；（2）由 ，可采用裂项相消法求数列的前n项和；（3）假设存在实数，使得对一切正整数恒成立，即对一切正整数恒成立，只需满足即可，利用作差法得出其单调性，即可求解【详解】（1）当n=1时，a1=2或-1（舍去

18、）当n2时，整理可得：（an+an-1）（an-an-1-1）=0，可得an-an-1=1，an是以a1=2为首项，d=1为公差的等差数列（2）由（1）得an=n+1，（3）假设存在实数，使得对一切正整数恒成立，即对一切正整数恒成立，只需满足即可，令，则当故f（1）=1，f（2）=，f（3）=，f（5）f（6）当n=3时有最小值，所以【点睛】本题主要考查利用与的关系求通项公式，裂项相消法求数列的前n项和，以及不等式恒成立问题的解法应用，综合性较强，属于较难题22.已知椭圆与x轴负半轴交于，离心率.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C交于两点，连接AM,AN并延长交直线x=4于两点，若，直线MN是否恒过定点，如果是，请求出定点坐标，如果不是，请说明理由.【答案】（1