九年级数学下册 1.3 不共线三点确定二次函数的表达式 解读用待定系数法求二次函数解析式素材 （新版）湘教版

1、解读用待定系数法求二次函数解析式1.内容提要：二次函数解析式有三种表达形式， 1.一般式：y=ax2+bx+c ；其中 a0, a, b, c 为常数2.顶点式：y=a(xh)2+k ；其中a0, a, h, k 为常数，(h,k)为顶点坐标.3.交点式：y=a(xx1)(xx2)；其中a0, a, x1,x2 为常数，x1,x2是抛物线与横轴两交点的横坐标.每种形式都有三个待定的系数，所以用待定系数法求二次函数解析式应注意以下几点：1 根据题目给定的条件注意选择适当的表达形式，一般已知抛物线的顶点，用y=a(xh)2+k(a0)(简称顶点式)；已知抛物线与x轴的两个交点(或与x轴的一个交点及

2、对称轴)，用y=a(xx1)(xx2)(a0)(简称两点式)；2 解题过程中待定的系数越少，需构造的方程也越少，这样可以大大简化计算过程，故尽量由已知直接确定某些系数；3 若题目给定二次函数解析式的某种形式(如y=ax2+ bx+c=0 (a0)，那么最后的结果必须写成此种形式.2.例题分析：(1)一般式法 例1、已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，2)，C(2，1)三点，那么这个二次函数的解析式是？解：设二次函数是y=ax2+bx+c，由已知函数图象过(0，1)，(1，2)，(2，1)三点.得：， 解得： 函数解析式为y=2x2+3x+1.小结：因为过任意三点，可以用“一般式”，求解

3、列出三元一次方程组，注意消元，求出a、b、c值.(2)顶点坐标法 例2、某抛物线的顶点为(2，3)，并经过点(1，5).求此抛物线的解析式.解：(方法一)设二次函解析式为：y=a(xh)2+k，其顶点是(h, k).顶点是(2，3)， y=a(x+2)2+3.又过(1，5)点， 5=a(1+2)2+3. a=2, y=2(x+2)2+3, y=2x2+8x+11. 函数解析式为：y=2x2+8x+11.小结：因为有顶点坐标，又过任意一点，可以用顶点式，分别代入顶点坐标，和任意一点坐标，求出a值，结果写成一般式.(方法二)设二次函数y=ax2+bx+c，其顶点坐标(，)， 顶点坐标是(2，3)，

4、=2，=3.又过(1，5)点，得a=2, b=8, c=11. 所求二次函数解析式为 y=2x2+8x+11.但(方法二)所列出的三个方程组成的方程组运算较烦琐，所以应采用(方法一)，用“顶点式”求解.(3)(与x轴)交点法(已知二次函数图象与x轴的两交点的坐标(x1，0)、(x2，0)时，通常可设函数解析式为y=a(xx1)(xx2)求解.)例3、已知：抛物线与x轴交于(2，0)，(4，0)两点，且过点为(1，)；求函数解析式.解：设二次函数解析式为y=a(xx1)(xx2)，因为二次函数图象交x 轴于(2，0)，(4，0)两点，且过点(1，)，设 y=a(x+2)(x4)，=a(1+2)(14)， a=. 所求函数解析式为：y=(x+2)(x4), y=x2x4.例4、抛物线y=ax2+ bx+c与x 轴交于点A(3，0)，对称轴x=1,顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线的解析式.解法1：依题意，得解得即所求.解法2: 抛物线对称轴x=1 ,顶点到x轴的距离为2， 顶点(1，2)设 y=a(x+1)22,抛物线过(3，0), 0=a(3+1) 22.解得 或(x+1)2+2=或解法3：抛物线对称轴x=1, 过(3，0)由对称性知抛物线必过(1，0)设y=a(x+3)(x1),抛物线过(1，2) 2=a2(2)解得： m说明