数列与函数的极限公式概念

1、.极限与连续一、数列的极限定义：1、给定数列xn，如果当n无限增大时，其通项xn无限趋过于某个常数A，则称数列xn以A为极限，记作：limnxn=A或者xnA(n)2、当数列xn以实数A为极限时，称数列xn收敛于A，否则称数列xn发散。二、数列极限的性质：1)极限的惟一性：若数列收敛，则其极限惟一，若 limnxn=a，则limnxn+1=a2)有界性：收敛数列必有界. （数列有界是数列收敛的必要非充分条件）3）数列的极限：如数列：则它的极限为3即：三、几个需要记忆的常用数列的极限 四、运算法则： 如果 则： 二、函数极限：函数极限limxf(x)=A的充分必要条件是limx-f(x)=lim

2、x+f(x)=A函数极限limxx0f(x)=A的充分必要条件是limxx0-f(x)=limxx0+f(x)=A分段函数极限与该点有无定义无关，只与左右极限有关.即 limxx0fx存在 limxx0-fx= limxx0+fx函数极限的性质：1)极限的惟一性：若函数f(x)当xx0（或x）时有极限，则其极限惟一.极限运算法则：设limf(x)=A,limg(x)=B,则1)limf(x)g(x)=AB2)limf(x)g(x)=AB3)当B0时，limf(x)g(x) =AB4)limcf(x)=climf(x) (c为常数)5）limf(x)k= limf(x)k (k为常数)小结：当a

3、00, b00时，有limxa0xn+a1xn-1+anb0xm+b1xm-1+bm = a0b0 当n=m时 0 当 nm时复合函数运算法则：limxx0fx=limuu0fu数列的夹逼准则：设有3个数列xnynzn,满足条件：1）ynxnzn （n=1,2,）；2）limnyn=limnzn=a，则数列xn收敛，且limnxn=a函数夹逼准则：设函数f(x),g(x),h(x)在点x0的某去心邻域内有定义，且满足条件：1）g(x) f(x) h(x);2) limxx0g(x)=A, limxx0hx=A. 则极限limxx0fx存在且等于A.单调有界准则：单调有界数列必有极限.即单调增加

4、有上界的数列必有极限；即单调减少有下界的数列必有极限.两个重要的极限：重要极限：limx0 sinxx =1重要极限：limx(1+1x)x =e , limx0(1+x)1x=e无穷小的性质：1)有限个无穷小的代数和为无穷小.2)有界变量与无穷小的乘积为无穷小.3)常量与无穷小的乘积为无穷小.4)有极限的量无穷小的乘积为无穷小.5)有限个无穷小的积为无穷小.在某个自变量变化过程中limf(x)=A的充要条件是f(x)=A+(x). 其中(x)是该自变量变化过程中的无穷小量.无穷小的比较：设=(x) ，=(x)都是自变量同一变化过程中的无穷小.1.若lim=c (c0,是常数)，则称与是同阶无

5、穷小.2.若lim=1，则称与是等价无穷小，记作.3.若lim=0，则称与是高阶无穷小，记作=o()4.若lim k =c(c0,k是正整数), 则称与是k阶无穷小.5.的充要条件为-是(或)的高阶无穷小,即-=o或=+o()6., ,都是自变量同一变化过程中的无穷小,且 ,lim存在，则有lim= lim常用等价无穷小：相乘的无穷小因子可用等价无穷小替换，加、减的不能x0时，x sinx tanx arcsinx arctanx ln(1+x) ex-1; 1-cosx x22；(1+x)a-1ax(a0) ;ax-1xlna(a0,a1);n1+x - 1 xn常用等价无穷小：当变量时，1

6、+x - 1 1 2 x 无穷大：函数无穷大 无界xx0时，若f(x)为无穷大，则1f(x)为无穷小；xx0时，若f(x)为无穷小，且在x0的某去心邻域内f(x) 0, 则1f(x)为无穷大.注：分母极限为0，不能用商的运算法则初等函数：连续函数经过四则运算所得到的函数仍是连续函数.一切初等函数在其定义区间内都是连续的.如果f(x)是初等函数，x0是其定义区间内的点，则limxx0fx=f(x0).最值定理：若函数f(x)在闭区间a,b上连续，则它在a,b上必有最值.有界性定理：若函数f(x)在闭区间a,b上连续，则它在a,b上有界.介值定理：若函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a) f(b),则对于f(a)与f(b)之间的任何数，在开区间(a,b)内至少存在一点，使得f()= .零点定理(根的存在性定理)：若函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)与f(b)异号(f(a)f(b)0)，在开区间(