材料力学全部习题解答【业界优制】

1、材料力学 课后习题讲解,1,扶风书屋,第一章 绪论,2,扶风书屋,1-1 图示圆截面杆，两端承受一对方向相反、力偶矩矢量沿轴线且大小均为M 的力偶作用。试问在杆件的任一横截面m-m上存在何种内力分量，并确定其大小。,解：（1）假想地沿截面将杆切开，并选择切开后的左段为研究 对象。由于杆件左端承受力偶矩矢量沿轴线且大小为M的力偶作用。因此，在截面m-m上存在扭矩 Mx。 （2）由平衡方程 即 得截面m-m上的扭矩,Mx,其真实方向与假设的方向一致。,3,扶风书屋,1-2 如图所示，在杆件的斜截面m-m上，任一点A处的应力p=120 MPa，其方位角=20，试求该点处的正应力与切应力。,解：应力p

2、与斜截面m-m的法线的夹角=10， 根据关系式 故,4,扶风书屋,1-3 图示矩形截面杆，横截面上的正应力沿截面高度线性分布，截面顶边各点处的正应力均为max=100 MPa，底边各点处的正应力均为零。试问杆件横截面上存在何种内力分量，并确定其大小。图中之C点为截面形心。,解：1.问题分析 由于横截面上仅存在沿截面高度线性分布的正应力，因此，横截面上只存在轴力FN 及弯矩Mz，而不可能存在剪力和扭矩。,5,扶风书屋,则：,2.内力计算 根据题意，设 .代入数据得： 因此,z,y,6,扶风书屋,解：微元直角改变量称为切应变。,7,扶风书屋,第二章 轴向拉伸和压缩,8,扶风书屋,轴力图：,解： (

3、a)以截面A的形心为坐标点，沿杆建立坐标轴x。取坐标为x的横截面得到平衡方程： 因此，,m-m,9,扶风书屋,(b)以截面C 的形心为坐标原点，沿杆建立坐标轴x。 段，利用截面法得平衡方程： 段，同理,因此：,轴力图：,a,1,2,10,扶风书屋,1,2,3,AB段,BC段,CD段,最大拉应力,最大压应力,11,扶风书屋,解：杆件横截面上的正应力为 由于斜截面的方位角 得该截面上的正应力和切应力分别为,12,扶风书屋,解：由题图可近似确定所求各量： 弹性模量 屈服极限 强度极限 伸长率,由于 ，故该材料属于塑性材料。,13,扶风书屋,解：（1）由图得 弹性模量,（2）当 时 正应变 相应的弹性

4、应变 ；塑性应变,比例极限,屈服极限,14,扶风书屋,解：根据题意及已知数据可知 延伸率 断面收缩率 由于 故属于塑性材料。,15,扶风书屋,解：杆件上的正应力为 材料的许用应力为 要求 由此得 取杆的外径为,16,扶风书屋,解：1.轴力分析 设杆1轴向受拉，杆2轴向受压，其轴力分别为 和 ，根据节点A的平衡方程；,2.确定 d 与 b,取,取,17,扶风书屋,解：1.轴力分析 设杆1轴向受拉，杆轴2向受压，杆1与杆2的轴力分别为FN1和FN2，则根据节点C的平衡方程 得 同理，对节点B进行分析得,2.确定F的许用值 由于 ，因此只需保证杆1安全即可。 杆1的强度条件为 故，桁架所能承受的最大

5、载荷即许用载荷为,18,扶风书屋,解：1.求预紧力 由公式 和叠加原理，故有 由此得,2.校核螺栓的硬度 根据题中数据知 此值虽然超过 ，但超过的百分数在5%以内，故仍符合强度要求。,19,扶风书屋,2-21 图示硬铝试样，厚度=2mm，试验段板宽b=20mm，标距l=70mm。在轴向拉F=6kN的作用下，测得试验段伸长l=0.15mm，板宽缩短b=0.014mm。试计算硬铝的弹性模量E与泊松比。,解：轴向正应变 轴向正应力 得硬铝的弹性模量 由于横向正应变 得泊松比,20,扶风书屋,解：1.轴力分析 由 得,2.确定 及 值 根据节点A的平衡方程 得,21,扶风书屋,解：1.计算杆件的轴向变

6、形 由（2-15）可知：,杆2的缩短为,杆1的伸长为,由胡克定理得,22,扶风书屋,2.计算节点的位移 节点A水平位移 节点A铅直位移,23,扶风书屋,解：1.建立平衡方程 由平衡方程 得： （1） 2.建立补充方程 从变形图中可以看出，变形几何关系为 利用胡克定律，得补充方程为,（2）,3.强度计算 联立方程（1）和方程（2），得 则,因为 ，故两杆均符合强度要求。,24,扶风书屋,第三章 扭转,25,扶风书屋,解：,（a）,（b）,r,26,扶风书屋,解：,边长为a的正方截面可视为由图示截面和一个半 径为R的圆截面组成，则,27,扶风书屋,解.（a）沿截面顶端建立坐标轴z，y轴不变。 图示

7、截面对z，轴的形心及惯性矩为,则，根据,得：,28,扶风书屋,（b） 沿截面顶端建立坐标轴z，y轴不变,则,29,扶风书屋,O,C,z,y,zo,yo,解：1.计算 Iy0 ，Iz0 与 Iy0z0,形心C的位置及参考坐标系Oyz与Cy0z0 如图所示。,坐标系Oyz中：,计算形心,计算惯性距，惯性积,根据平行轴定理计算相应Iy0 ，Iz0 与 Iy0z0,坐标系Cy0z0中：,a,30,扶风书屋,2.确定主形心轴 的方位,根据式,解得主形心轴 的方位角为,a =,3.计算主形心惯性矩,根据式,由此得截面的主形心惯性矩为,31,扶风书屋,解：（1）1. 扭力偶矩计算,由公式,知：,32,扶风书

8、屋,2.扭矩计算 设轮2与轮1、轮1与轮3、轮3与轮4间的扭矩分别为T1、T2、T3且均为正值。由分析图可知：,3.扭矩图,T1,T2,T3,T,x,318.3N.m,1273.2N.m,636.6N.m,33,扶风书屋,（2） 若将轮1与3的位置对调，各个轮的扭力偶矩大小不变。,扭矩计算,轴承受的最大扭矩减小 ，对轴的受力有利。,Tmax=954.9N.m1273.2N.m,34,扶风书屋,解：,切变模量,扭转切应变,对于薄壁圆管截面,扭矩,扭力偶矩,35,扶风书屋,解：,空心圆截面,故,根据扭转切应力的一般公式,则,A点处的扭转切应力,当,时，有,当,时，有,36,扶风书屋,解：1.应力分

9、布图,考查知识：1.右手螺旋法则 2. 3.切应力互等定理,37,扶风书屋,2.说明该单元体是如何平衡的,力平衡 力偶距平衡,38,扶风书屋,39,扶风书屋,得,40,扶风书屋,41,扶风书屋,解：,扭矩,实心轴,空心轴,42,扶风书屋,解：,扭转角的变化率,圆截极面惯性矩,由圆轴扭转变形的基本公式,可得：,43,扶风书屋,44,扶风书屋,45,扶风书屋,根据题中数据知,所以,所以，弹簧强度符合要求。,3.校核弹簧强度,因为,46,扶风书屋,解：,扭矩,强度条件,刚度条件,钢轴要求同时满足强度条件和刚度条件 因此，轴径,47,扶风书屋,解：,1.扭矩计算 设AB与BC的扭矩均为正，并分别用T1

10、 、T2 表示。利用截面法和平衡方程得,T1,T2,48,扶风书屋,2.强度条件,由,所以,3.刚度条件,由,所以,4.确定d1和d2,轴要求同时满足强度条件和刚度条件，因此,已知,当d2，max=61.8mm时d1=84.2mm,49,扶风书屋,解：,1.建立平衡方程 设轴A与B端的支反力偶矩分别为MA与MB，则轴的平衡方程为,，,2.建立补充方程,由于AB两端是固定端，则,所以，轴的变形协调条件为,AC、CD、DB段的扭矩分别为,MA,MB,C,D,静不定轴,50,扶风书屋,根据式,得相应的扭转角分别为,将上述关系式带入（b），得补充方程为,3.确定轴的直径,联立求解平衡方程（a）与补充方

11、程（c）得,得,于是,51,扶风书屋,解：,1.建立平衡方程 设AB两端的支反力偶矩分别为MA，MB，则轴的平衡方程为,2.建立补充方程,由于A、B两端是固定端，则,所以，轴的变形协调条件为,AC与CB段的扭矩分别为,C,MA,MB,52,扶风书屋,相应的扭转角分别为,得补充方程,3.确定许用扭力偶矩 M,联立（a）与（b），解得 MA=0.720M ；MB=0.281M,AC段：,CB段：,因此，取许用扭力偶矩,53,扶风书屋,第四章 弯曲内力,54,扶风书屋,(a)解：1.计算支反力,由平衡方程,得：,由平衡方程,2.分别计算截面A+，C， B-的剪力与弯矩,55,扶风书屋,(b)解：1.

12、计算支反力,由平衡方程,得：,2.分别计算截面A+，C，B-的剪力与弯矩,由平衡方程,56,扶风书屋,(c)解：1.计算支反力,由平衡方程,得：,2.分别计算截面A+ ，C- ，C+ ，B-的剪力与弯矩,由平衡方程,57,扶风书屋,(d)解：1.计算支反力,由平衡方程,得：,2.分别计算截面A+ ，C- ，C+ ，B-的剪力与弯矩,由平衡方程,58,扶风书屋,(c)解：1.计算支反力,由平衡方程,得：,2.建立剪力与弯矩方程,以截面B为分界面，将梁划分为AB与BC两段，并选坐标为 x1，x2，如图所示。,AB段的剪力与弯矩方程分别为,(a),(b),59,扶风书屋,BC段的剪力与弯矩方程分别为

13、,3.画剪力与弯矩图,根据式（a）、（c）画剪力图,(c),(d),(-),(+),根据式（b）与（d）画弯矩图,(-),可见，最大剪力与最大弯矩分别为,60,扶风书屋,（e）解：1.计算支反力,根据平衡方程,得：,2.建立剪力与弯矩方程,以截面B为界面将梁划分为AB和BC两段，并选坐标如图所示。,AB段的剪力与弯矩方程分别为：,（a）,（b）,61,扶风书屋,BC段的剪力与弯矩方程分别为,3.画剪力与弯矩图,根据式（a）与（c）画剪力图,根据式（b）与（d）画弯矩图,可见，,（c）,（d）,（+）,（+）,（-）,62,扶风书屋,（f）解：1.计算支反力,由平衡方程,2.建立剪力与弯矩方程,

14、得：,以截面C为界面将梁划分为AC和CB两段，并选坐标如图所示。,AC段的剪力与弯矩方程分别为：,（a）,（b）,63,扶风书屋,3.画剪力与弯矩图,根据式（a）与（c）画剪力图,根据式（b）与（d）画弯矩图,可见，,BC段的剪力与弯矩方程分别为,（+）,（+）,（c）,（d）,64,扶风书屋,（C）解：1.计算支反力,由平衡方程,得,2.计算剪力与弯矩,将梁分为AC与CB两段，利用 截面法，求的各段的起点与终点 剪力与弯矩分别为,65,扶风书屋,3.画剪力与弯矩图,由于梁上受均匀载荷作用，各梁段的剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线（AC段q大于0，则抛物线呈凹形；CB段q小于0，则抛物线呈凸

15、形）。,剪力图,Fs,x,（-）,（+）,（-）,弯矩图,（+）,（-）,M,x,66,扶风书屋,（e）1.计算支反力 由对称条件可得：,2.计算剪力和弯矩,将梁分为AC，CD与DB三段，利用截面法，求的各段的起点与终点剪力与弯矩分别为,67,扶风书屋,3.画剪力与弯矩图,梁AC，BD段无分布载荷作用，则其剪力图均为水平直线，弯矩图为斜直线。CD受均匀载荷作用，且q大于0，则其剪力图为斜直线，弯矩图为凹形抛物线。,剪力图,Fs,x,弯矩图,（+）,（-）,（-）,M,x,68,扶风书屋,（f）解：1.计算支反力,由平衡方程,2.计算剪力与弯矩,将梁分为AC，CD与DB三段， 利用截面法，求的各

16、段的起点 与终点剪力与弯矩分别为：,解得：,69,扶风书屋,3.画剪力与弯矩图,梁AC段无分布载荷作用，则其剪力图均为水平直线，弯矩图为斜直线。CD，DB段受均匀载荷作用，且q小于0，则其剪力图为斜直线，弯矩图为凸形抛物线。,剪力图,Fs,x,弯矩图,（+）,（-）,（+）,M,x,70,扶风书屋,解：1.计算支反力,由平衡方程,得,71,扶风书屋,2.画剪力，弯矩图,各段梁均无分布载荷作用，则其剪力图均为水平直线，弯矩图为斜直线。,则：剪力图为,Fs,x,（+）,（-）,（+）,M,x,72,扶风书屋,3.确定最大弯矩值及小车位置 由M-x图可判断，最大弯矩必在F作用处。,利用截面法求左轮的

17、弯矩：,当,时，,由对称性可知，当,时，,右轮处有最大弯矩值,73,扶风书屋,4.确定最大剪力值及小车位置,由FS-x图可判断，最大剪力只能出现在左段或右段，其剪力方程,Fs1和Fs2都是 的一次函数，所以当 =0时，即小车右轮在A点处，,当,时，即小车右轮在B点,故当,或,时，梁的最大剪力值为,74,扶风书屋,解：1.计算支反力 由梁的对称条件可知,2.计算剪力与弯矩,将梁分为AC与CB两段，利用截面法，求的各段的起点与终点剪力与弯矩分别为,75,扶风书屋,3.判断剪力与弯矩图的形状,3.画剪力和弯矩图,剪力图,弯矩图,76,扶风书屋,利用剪力，弯矩与载核集度间的关系画剪力与弯矩图,1.计算

18、支反力,2.计算各段起点与终点截面的剪力与弯矩值,3.判断剪力与弯矩图的形状,均匀载荷：,线性分布载荷：,4.画剪力与弯矩图,77,扶风书屋,第五章 弯曲应力,78,扶风书屋,解：1.画弯矩图判断Mmax,由平衡方程得,微分法画弯矩图,(+),2.计算弯曲正应力,79,扶风书屋,解：1.画弯矩图,由平衡方程得,利用弯矩方程画弯矩图,(+),2.计算最大弯曲正应力,5-5.图示简支梁，由 工字钢制成，在集度为q的均匀载荷作用 下测得横截面C底边的纵向正应变 ，试计算梁内的最大 弯曲正应力，已知刚的弹性模量E=200GPa，a=1m。,80,扶风书屋,解：,1. 在中性轴y=0处,2. 在 处,5

19、-8 梁截面如图所示，剪力Fs=300KN，试计算腹板上的最大，最小 弯曲切应力与平均切应力。,81,扶风书屋,3.计算平均切应力,腹板上的切应力沿腹板高度呈抛物线分布,82,扶风书屋,解（1）1.画弯矩图 由平衡方程，解得：,微分法画弯矩图,(-),83,扶风书屋,2.根据强度要求确定 b,（2）校核安全,d,b,2b,由于,所以安全。,84,扶风书屋,解：1.计算截面形心及惯性矩 沿截面顶端建立坐标轴z，y轴不变。,2.画弯矩图,由平衡方程得 微分法画弯矩图,(-),(+),85,扶风书屋,3.判断危险点及校核强度,由弯矩图知B截面两端为危险截面,B-截面,a,b,B+截面,c,d,综上：

20、,因此，梁的弯曲强度不符合要求,86,扶风书屋,解：1.计算yc ，IZ,2.确定F,当,时,故 时,b,a,87,扶风书屋,当,时,故 时,c,弯矩图,(-),B,d,综上：,88,扶风书屋,解： F直接作用时： 弯矩图,(+),F间接作用时： 弯矩图,(+),联立解得：,所以辅助梁的最小长度a为1.385m,89,扶风书屋,解： 由图分析知固定端截面A为危险截面,1.截面为矩形，确定h，b,y,z,+ + + + + + + +,+ + + + +,- - - - - - -,- - - - - - - - - - -,C,由分析图及叠加原理可知： d点有最大拉应力，f点有最大压应力 其值

21、均为：,d,a,e,f,由,解得,故,90,扶风书屋,2.截面为圆形，确定d,z,y,由分析图及叠加原理可知： 在1,3区边缘某点分别有最大拉应力，最大压应力 其值均为：,由于,得,所以,91,扶风书屋,解：1.绘制横截面上的正应力分布图,偏心拉伸问题，正应力沿截面 高度线性分布,正应力分布图：,2.求F和e 将F平移至杆轴 则FN=F，M=Fe,解得：F=18.38KN e=1.785mm,92,扶风书屋,解：,由,得,？,93,扶风书屋,第六章 弯曲变形,94,扶风书屋,附录E,解：1.建立挠曲轴近似微分方程并积分,由对称条件可知,梁的弯曲方程为,代入,得,积分，依次得,(1),95,扶风

22、书屋,2.确定积分常数，建立转角与挠度方程,A,B为铰支座，故梁的位移边界条件为,(2),联立(1),(2)解得,因此,（3）,3.绘制挠曲轴略图并计算wmax，,弯矩图,（+）,挠曲轴略图,（-）,令,得,所以,由式（3）知,96,扶风书屋,解：1.建立挠曲轴近似微分方程并积分,根据梁的平衡方程解得,梁的弯曲方程为,代入,得,积分，依次得,(1),97,扶风书屋,2.确定积分常数，建立转角与挠度方程,A,B为铰支座，故梁的位移边界条件为,(2),联立(1),(2)解得,因此,（3）,3.绘制挠曲轴略图并计算wmax，,弯矩图,（-）,挠曲轴略图,（-）,令,得,所以,由式（3）知,98,扶风

23、书屋,解：1.建立挠曲轴近似微分方程并积分,根据梁的平衡方程解得,(1),10,由于AC与CB段弯矩方程不同，因此，挠曲轴近似微分方程 应分段建立，并分别积分,AC段,CB段,(2),99,扶风书屋,2.确定积分常数，建立转角与挠度方程,A,B为铰支座，故梁的位移边界条件为,(3),联立（1）（2）（3）（4）解得,因此,位移连续条件：在x1=x2处,(4),(5),100,扶风书屋,3.绘制挠曲轴略图并计算,挠曲轴略图,令,得,由式（5）知,弯矩图,（-）,a,令,得,101,扶风书屋,102,积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。,位移边界条件,光滑连续条件,弹簧变形,知识

24、点回顾,102,扶风书屋,解：1.画挠曲轴的大致形状 由对称条件可知：,弯矩图,（+）,挠曲轴大致形状,（-）,梁的弯曲方程为,A,B为铰支座，则满足,2.利用积分法计算梁的最大挠度与最大转角（同附录E-8）,令,得x1=0；x2=a,所以,103,扶风书屋,解（C）1.建立位移边界条件与连续条件,由图知：弯矩方程必须按梁段AB，BC 分段建立。因此，扰曲轴近似微分方程也分段建立。,位移边界条件：在x=0处，w=0；,位移连续条件：在,处；,2.绘制扰曲轴的大致形状,弯矩图,由弯矩图知AB，AC断弯矩均为负， 则扰曲轴为凸曲线。结合边界条件 与连续条件。扰曲轴大致形状为：,（-）,104,扶风

25、书屋,（d）解1.建立位移边界条件与连续条件,由图知：弯矩方程必须按梁段AC，CB 分段建立。因此，扰曲轴近似微分方程也分段建立。,位移边界条件：在x1=0处，w1=0；在x2= L 处，w2=0；,位移连续条件：在,处；,2.绘制扰曲轴的大致形状,梁AC与CB经铰链连接而成，AC，CB受力如图,由,则,105,扶风书屋,微分法画弯矩图,由弯矩图知:AC段弯矩为正，则相应扰曲轴为凹曲线 CB段弯矩为负，则相应扰曲轴为凸曲线 结合边界条件，扰曲轴的大致形状为：,（+）,（-）,106,扶风书屋,分析：由于,则,时，高度为0,欲使载荷在移动时始终保持相同高度 即为：载荷在移动时高度始终为0,解：设

26、梁的形状函数为w ，F对梁的F作用点产生的挠度为w，,若,即可满足条件。,由图及附录E-1可知,所以梁的形状函数为,107,扶风书屋,解：梁AC，CB的受力分别如图所示,由,（a）,（b）,图（b）及附录E可知：,108,扶风书屋,分析：1.整个钢架可看成是由悬臂梁AB与固定在 截面B的悬臂梁BC所组成。2.钢架在变形与位移 时：扰曲轴在原轴线方位的投影长度保持不变； 刚性接头相连杆间夹角变形时保持不变。,解:,109,扶风书屋,6-18. 图示悬臂梁，承受均匀载荷q与集中载荷ql作用，试计算梁端 的挠度及其方向，材料的弹性模量E为已知。,解：1.分挠度计算 由图示截面知：,均匀载荷q单独作用

27、时：,集中载荷ql单独作用时：,2.梁端的挠度及其方向,110,扶风书屋,解:1.求解静不定梁,该梁为一度静不定，如果以支座A为多余约束，FAy为多余支反力。 则相当系统如图如图所示，变形协调方程为wA=0.,仅有FAy作用时：,仅有均匀载荷q作用时：,由,111,扶风书屋,2.画剪力与弯矩图,由平衡方程，解得：,求剪力与弯矩方程：,AB段,BC段,剪力图：,弯矩图：,（+）,（-）,（+）,112,扶风书屋,解:1.求解静不定梁,该梁为一度静不定，如果以铰链 B 为多余约束，FBy为多余支反力。 则相当系统如图如图所示，变形协调方程为 wB-= wB+,由于 wB-= wB+,2.计算支反力

28、,由平衡方程得：,113,扶风书屋,解：1.强度要求,梁的强度条件为,2.刚度要求,当仅有M1作用时，由附录E-10，令a=0 则,当仅有M2作用时，由附录E-9，则,所以,114,扶风书屋,当,时,梁的刚度条件为,3.工字钢选择,有附表查得,工字钢,可见，应选择 型号工字钢,工字钢,115,扶风书屋,第七章 应力状态分析,116,扶风书屋,解：由图可知,截面的方位角：,由截面应力的一般公式,解得：,117,扶风书屋,解：由图可知,截面的方位角：,由截面应力的一般公式,解得：,118,扶风书屋,解：1.解析法,由图知：,由公式,解得,由此可见,主应力 的方位角 为52.020,119,扶风书屋

29、,2.图解法,由坐标（-40，-40），（-20,40）确定 D与E点。以DE为直径画圆即得相应的 应力圆。应力圆与坐标轴 相交于A,B 点。按选定的比例，量得,所以,120,扶风书屋,解：,（a）,（b）,（e）,（c）,（d）,121,扶风书屋,解：,122,扶风书屋,解：由图知,由坐标（60,0）（30,0）（-70,0）画三向应力圆,得主应力，最大正应力，最大切应力：,123,扶风书屋,解：由公式,124,扶风书屋,解：由题意：,圆轴表面任一点应力状态为纯剪力大小,因此：,125,扶风书屋,第八章 复杂应力状态强度问题,126,扶风书屋,强度理论的统一表达式：,相当应力,温习知识点,脆

30、性材料,韧性材料,127,扶风书屋,解：由图可知,由公式,解得,则,强度校核,因此构件符合强度要求。,128,扶风书屋,解： 纯剪切情况,可解得,主应力,根据第二强度理论确定,根据第一强度理论确定,129,扶风书屋,解：,1.画剪力与弯矩图,由平衡方程解得,剪力图,(-),弯矩图,(-),(+),130,扶风书屋,2.计算,3.应力计算及强度校核,危险截面B+的危险点3个（a，b，c）,对a点：,在这个位置处，任意一点的应力状态为,则,强度校核,131,扶风书屋,对c点：,则,强度校核,在这个位置处，任意一点的应力状态为,132,扶风书屋,在这个位置处，任意一点的应力状态为,对b点：,解得：,则,强度校核,综上，该梁复合强度要求。,133,扶风书屋,解：1.外力分析,弯扭组合 强度问题,A,B,F,M2,M1,传动轮扭力偶矩,皮带扭力偶矩,由平衡方程,解得,134,扶风书屋,A,B,F,M2,M1,2.内力分析,弯矩图,剪力图,(-),(-),横截面A-为危险截面，该截面的弯矩与扭矩分别为,3.设计轴径