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文档简介

1、 一道判断题的思考 五年级试卷上的一道判断题：两个数相除，除不尽时，商一定是循环小数。 此题实际上门道较深，牵涉到数论知识。数从狭义上分为实数和虚数，平方为正数的是实数，平方为负数的是虚数（本文暂且不谈）。实数在日常生活中我们经常碰见，实数包括有理数（能写成分数的数：如2/3， 2/11）和无理数（不能写成分数的数，如无限不循环小数）。任何一个有理数都可写成有限小数或者无限循环小数的形式，反之，任何有限小数或无限循环小数都是有理数，有理数包括整数和最简分数。无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数，如圆周率、等。对无理数的判断注意以下三点： 1、无理数是无限不循环小数，

2、所以只能以四种形式出现开方开不尽的数，如 等化简后含圆周率的数。“”虽然是一个常数，但它是无限不循环小数， 属无理数特定结构的数，如0.1001000100001等 有些三角函数值2、判断无理数要先化简，不能只看表面形式3、一些除不尽的分数，如 22/7，1/13,1/7 等，会误认为是无理数，但事实上是有理数。 “两个数相除，如果除不尽，商一定是循环小数”，在整个数学范畴，此题是错的，因为如果把“两个数相除”理解成“两个无理数相除”，商就不一定是循环小数了。如：。但在小学阶段，尤其是五年级的学生，只学了自然数、分数、小数、整数等。广而言之，小学阶段我们所认识的数都是有理数，所以，在小学阶段“

3、两个数相除”只能理解成“两个有理数相除”，则此结论是正确的。也许有的人会问23=0.6767，循环节是67，商是循环小数；而4859用计算器算都找不到循环节，商就不是循环小数了。此言差矣，4859的商一定是循环小数，为什么没找到循环节，是因为除得位数不够多，只要商的小数位数足够多时，肯定会出现循环节。因为除数是59，根据除法里除数与余数的关系，余数必须比除数小，所以余数最大只能是58，面余数不管怎么不一样，但最多就58种可能，最后肯定有重复的余数出现，那么商就出现循环了。同理，一个整数除以另一个不为0的整数，只要有余数，余数就一定比除数小，余数总会有有限个可能，商就出现循环，所得的商一定是循环小数。推而广之，一个有理数除以另一个不为零的有理数，除不尽时，商一定是循环小数。简而言之，

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