定积分在几何学上的应用

1、 章节名称5-6 定积分在几何学上的应用授课方式讲授法授课时数4授课方法和手段启发法和师生互动法教学目的及要求教学目的；掌握用元素法计算平面图形的面积、计算体积、计算平面曲线的弧长、计算平面曲线的弧长。教学要求；.理解用元素法计算平面图形意义；熟记平面图形面积的计算公式教学基本内容纲要教学重点难点：教学重点 直角坐标系下 参数方程 极坐标系下求弧长的公式教学难点：参数方程 极坐标系下求弧长的公式教学过程设计 一、定积分的元素法1、能用定积分计算的量，应满足下列三个条件(1)、U与变量的变化区间有关；(2)、U对于区间具有可加性；(3)、U部分量可近似地表示成。2、写出计算U的定积分表达式步骤

2、(1)、根据问题，选取一个变量为积分变量，并确定它的变化区间；(2)、设想将区间分成若干小区间，取其中的任一小区间，求出它所对应的部分量的近似值 (为上一连续函数)则称为量的元素，且记作。= (3)、以U的元素作被积表达式，以为积分区间，得这个方法叫做元素法，其实质是找出U的元素的微分表达式 因此，也称此法为微元法。二、平面图形面积的计算1直角坐标的情形由曲线 及直线 与 ( ) 与 轴 所围成的曲边梯形面积。 其中：为面积元素。教学过程设计 与 及直线 ，( ) 线且所围成的图形面积。 其中： 为面积元素。例1 计算抛物线与直线所围成的图形面积。解：1、先画所围的图形简图解方程 , 得交点：

3、 和 。2、选择积分变量并定区间选取为积分变量，则3、给出面积元素在上， 在上， 4、列定积分表达式2极坐标情形设平面图形是由曲线 及射线，所围成的曲边扇形。取极角为积分变量，则 ,在平面图形中任意截取一典型的面积元素，它是极角变化区间为的窄曲边扇形。的面积可近似地用半径为， 中心角为的窄圆边扇形的面积来代替，即从而得到了曲边梯形的面积元素 教学过程设计从而 例2 计算心脏线所围成的图形面积。由于心脏线关于极轴对称，2平行截面面积为已知的立体的体积( 截面法 )由旋转体体积的计算过程可以发现：如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么这个立体的体积也可以用定积分来计算。取定轴为轴， 且

4、设该立体在过点，且垂直于轴的两个平面之内， 以表示过点且垂直于轴的截面面积。取为积分变量，它的变化区间为。立体中相应于上任一小区间的一薄片的体积近似于底面积为，高为的扁圆柱体的体积。即：体积元素为 于是，该立体的体积为 三、平面曲线的弧长1直角坐标情形设函数在区间上具有一阶连续的导数，计算曲线的长度。教学过程设计1直角坐标情形设函数在区间上具有一阶连续的导数，计算曲线的长度。取为积分变量，则,在上任取一小区间，那么这一小区间所对应的曲线弧段的长度可以用它的弧微分来近似。于是，弧长元素为.弧长例3 计算曲线的弧长。解：2参数方程的情形若曲线由参数方程给出，计算它的弧长时，只需要将弧微分写成的形式，从而有例4 计算半径为的圆周长度。解： 圆的参数方程为 3极坐标情形若曲线由极坐标方程给出，要导出它的弧长计算公式，只需要将极坐标方程化成参数方程，再利用参数方程下的弧长计算公式即可。教学过程设计若曲线由极坐标方程 给出，要导出它的弧长计算公式，只需要将极坐标方程化成参数方程，再利用参数方程下的弧长计算公式即可。曲线的参数方程为此时变成了参数，且弧长元素为从而有 例5 计算心脏线的弧长。 解： 作业讨论辅导P-193第一题 第六题参考资料课后小结求在直