中学数学解题中的两种基本思想方法(定稿

1、中学数学解题中的两种基本思想方法陇县 梁建峰 内容摘要：数学习题的解答无不用到一定的数学方法。数学方法和数学基本知识与基本技能的有机结合，才能在解题中少走弯路，更快地达到对数学规律的认识。数学思想方法是数学的核心，只有把数学思想方法掌握了，计算才能发挥作用，形式演绎才有灵魂。本文试着从方法论的角度来研究中学数学解题活动中的一些思想方法，以使其具有个别更高的率关键词：数学解题 基本思想方法1、 什么是数学思想方法 数学思想是只现实世界的空间形式和数量关系反应到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学知识和方法的本质认识，是与其相应的数学方法的精神实质与理论基础。数学方法是指人们在

2、数学研究、数学学习和问题解诀等数学活动中的步骤、程序和格式，是实施有关数学思想的技术手段。数学方法有着具体性和可操作性，而数学思想则具有普遍性和概括性，在抽象程度上处于更高的层次。能不能有意识地运用数学思想和方法去处理数学问题，是衡量一个人数学素质高低的主要标志。 数学思想通常以数学方法或数学概念表现出来，因而在许多场合，数学思想和方法具有相同的含义。数学思想方法在解答初等数学习题中有以下作用： 1、掌握数学思想方法可以加深对数学概念、公式、定理的理解。从而为解题打下坚实的知识基础。 2、数学思想方法的应用可以避免解题过程中计算、形式演绎的盲目性。 3、数学思想方法的掌握可以提高思维能力。 在

3、解题的过程中，数学思想方法的指导和抽取，可形成习题的高层次概括，从而更为有效地迁移到未来的解题学习或数学学习中去。解题是掌握数学思想方法的重要手段，然而解题又必须在一定的数学思想指导下才能成功。2、 中学数学解题中的两种基本思想方法 中学数学解题中常用的思想方法，其本质都是将待解问题转化为易处理问题的一种对应关系和变换手段。这些常用的数学思想方法是数学（主要是中学数学）范围内的基本概念、原理、观念和方法提炼概括形成的。其中最基本的两种思想方法是：符号化思想方法和集合、对应思想方法。 （一）符号化思想方法 翻译A*的解答A的解答数学问题A*问题A 符号化思想方法，其实质是应用数学语言表达待解问题

4、的各有关对象，把其转化为纯数学问题，然后对数学问题进行求解的解题途径。可用下面的框图表示。引入数学语言 例1、A、B两港在湖的两岸，C港在=湖北岸。A、B、C三港恰好成一个等边三角形的三个顶点。A港甲船与B港乙船同时出发，都沿直线向C港匀速行驶，当乙船行驶出40公里时，甲、乙两船与C港位置恰好驶一个直角三角形的顶点，而当甲船行驶到达C港时，乙船尚距C港20公里，问A、B两港之间的距离时多少？（北京市1992年初二数学竞赛复赛试题） 分析：先将问题符号化。设A、B两港间的距离为x，甲、乙两船的速度为V甲、V乙。通过对题意的理解作示意图（1）。 因为甲船从A行驶到E点的同时，乙船从B行驶到 C D

5、点 ，所以， 又甲船C点时，乙船到达距C还有20公里 E F 的F点，因而，CF=20 D 由、得到 ：。 A 示意图（1） B 由 得, 从而有 ,即CED=90 经过以上符号化过程可以把问题转化为如下纯数学问题A*： 已知ABC为等边三角形，CED=90 ,BD=40,CF=20,且，求AB的长。 然后求解问题A*： 设AB=x,则BF=BC-CF=x-20。由CD=x-40,CED=90,ACB=60 得： 。从而。 所以由，可得方程：。 解此方程得：x= (负值舍去)。 再翻译：即A、B两港的距离为x= 公里。 （二）集合、对应思想方法 通常的方程思想方法、函数思想方法、变换思想方法、

6、数形结合思想方法等都是由集合、对应思想方法衍生出来的，是数学中广为运用的十分重要的思想方法。这一思想方法应用于解题活动中体现的解题思考过程如下面框图：（4）翻译（3）求解（2）A*的解答A的解答对应（1）新数学习题A*原数学习题A 从框图中可看出，集合、对应思想方法应用于解题的关键在于引入一个对应f, 将求解原数学问题A转化为求解新数学问题A*，通过求A*和翻译A*的答案而得到A的解答，即从（1）（2）（3）（4），推广了解题的思想。该思想的实质是解决问题时，引入对应关系，改变问题的结构使之成为易解决的数学问题。 1、方程思想方法 方程思想方法是中学数学内容中重要的思想方法之一。解答数学习题和

7、问题的过程可表示为：引入未知量，确立方程 方程问题A*问题A 解方程 A的解答反演方程A*的解 例2、已知f(x)=x2+px+q,且|f(1)|1/2, |f(2)|1/2,求f(3)的取值范围。 分析：因为f(1)、f(2)、f(3)均是关于p、q的式子，而f(1)、f(2)的范围为已知，我们设想用f(1)、f(2)来构造f(3)，即关键在于由p+q与2p+q构造3p+q，所以可设： m(p+q)+n(2p+q)=3p+q，即(m+2n)p+(m+n)q=3p+q 。 从而得到： m+2n=3 m=-1 (*) 解得， m+n=1 n=2 这样就不难解答此题了。 从以上的分析看出，解此题的

8、关键有：设想用f(1)、f(2)来构造f(3)；用方程的思想方法来构造方程组（*）。 2、函数思想方法 中学数学内容中有许多问题都可以统一在函数概念中。由于处理函数方法已成为一个初步体系，也就是说在有关初等函数的知识体系中，我们有了一套确定未知目标的方法，因此把一个问题映射为有关函数问题，就成了中学数学内容的一个重要手段。我们把这种观点称为函数思想，解题的手段和途径称为函数法。 应用函数思想方法解答数学习题或问题的过程可以表示如下： 映射初等函数问题A*问题A 函数处理 反演函数结论问题A的结论 例3、设，求证：。 分析：因等式的各端正好是函数，当t=a、b、c时的值，所以，只有证出t=a、b

9、、c时，函数的值都相等，则求证的等式就能成立。 证明：由题设。得： 即， 令t=a、b、c，得：。 3、 变换思想方法 变换意指集合M到自身所建立的映射，因此变换思想方法只适应在一个知识系统中应用。它的作用在于，在固定的知识系统里，利用变换手段，将问题转化为基本问题。因此它的应用可以丰富知识内容，加深对知识的理解。例如在学习了一元二次方程的一般解法后，利用换元我们可以解决诸如ax4+bx2+c=0的方程. 然而须强调的是：虽然变换思想方法不能建立不同知识系统间的横向联系，但它同样可以使问题转化为我们熟知的问题，与我们已有的经验建立有效的联系。因此变换思想方法的掌握将给予不需突破知识体系的框架以

10、思考的正确过程和方法。变换思想方法再细分，可分为：换元法、三角变换法、几何变换法（平移变换、旋转变换、发射变换）、坐标变换、逆推思想方法等。 例如用换元法进行探索解题过程，可表示如下： 映射令u=q(x)原问题A(x)的结论新问题A*(u)原问题A(x) 反演x=f-1(u)A*(u)的解答 例4、若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0，求证：x、y、z成等差数列。 分析：作变换：令a=x-y，b=y-z。 则问题变为：(a+b)2-4ab=0 从而，a=b 反演得：x-y=y-z，此时，命题得证。 4、数形结合思想方法 坐标系的确立是中学数学的一个转折点，从此，由孤立地研究数和形，进入到

11、数形结合阶段。在方法上相应地出现了数形结合思想方法，它有两种具体形式： 形式一：建立由形到数的对应。建立形到数的对应（一一对应） 代数问题几何问题反演（一一对应）代数结论几何结论 例5、已知，三角形三边的长是连续整数，最大角是最小角的二倍，求三边的长。 分析：据题意，设AC=x，AB=x+1，BC=x-1，C=2A，如图，若能建立关于x的方程，则问题得解。 为此，根据C=2A的特征，做C的平分线CD。 C 则 x x-1 B 由得 从而 A 由得 ，从而 。 所以，x2-5x=0 解得：x=5 （x=0舍去） 故三边长为4、5、6。反演（一一对应）建立数到形的对应（一一对应）代数结论几何结论几何问题代数问题 形式二：建立数到形的对应。 例6、求函数y = 的最大值。 分析与解答：(1)经配方可得y= 如图所示，可视为P(x,0), A(-1,5)间距离与P(x,0)，B(3,2)间的距离之差的最大值。从而在轴上求一个点P，使得PA-PB取最大值。（*） (2)利用几何知识可得到问题（*）的答案，即P点取AB的延长线与x轴交点时PA-PB为最大。 (3)反演结论得此问题的解答。 直线AB的方程 ，令y=0 得：x= 即当x=时，y的最大值为