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文档简介

1、1,1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性,四则运算的连续性,反函数与复合函数的连续性,小结 思考题 作业,初等函数的连续性,第一章 函数与极限,2,定理1,如,则,由于,一、四则运算的连续性,也在点 x0连续,在其定义域内连续,在点 x0连续,在点 x0连续,3,如,结论: 反三角函数在其定义域内皆连续,定理2,故,同理,二、反函数与复合函数的连续性,单调增加,且连续,单调的连续函数,必有单调的连续反函数,也是单调增加且连续,单调减少且连续,单调增加且连续,单调减少且连续,4,此定理对计算某些极限是很方便的,定理3,设函数,是由函数,与函数,复合而成,而函数,连续,则,证,5,将上两步合起

2、来,6,注,1.定理的条件：内层函数有极限，外层函数 在极限值点处连续,3. 该定理的意义在于：极限符号可以与函数符号互换，即极限号可以穿过外层函数符号直接取在内层,7,意义,例,解,可交换次序,由,所以,2. 变量代换,的理论依据,1. 在定理的条件下,8,例,解,这里,不连续,但,所以,9,例,解,10,练习,令a x-1=t,解,则x=log a(1+t) x0时t0 于是,利用连续性求极限练习,练习,解,11,定理4,设函数,是由函数,与函数,复合而成,若函数,连续,而函数,连续,则复合而成,也连续,是由连续函数,因此,复合而成,例,注意定理4是定理3的特殊情况,12,三角函数及反三角

3、函数,1,2,3,是连续的,三、初等函数的连续性,单调且连续,指数函数,对数函数,单调且连续,均在其定义域内连续,4,幂函数,连续,讨论,不同值,在它们的定义域内,13,定义区间是指包含在定义域内的区间,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数 在定义区间内 连续,1. 初等函数仅在其定义区间内连续,如,这些孤立点的邻域内没有定义,注,在其定义域内不一定连续,2. 初等函数求极限的方法,代入法,14,例,例,解,解,15,函数 g(x)h(x) 称为幂指函数 , 它的定义域,一般应要求 g(x) 0,幂指函数求极限,时, 幂指函数 g(x)h(x) 也是连续函数,当 g(x) 与 h(x) 均为连续函数, 且 g(x) 0,16,幂指函数求极限的方法 换底（e）公式法,由定理 3 容易得到下面几个幂指函数的极限公式,17,3,2,1,例,解,原式,练习,18,四、小结,连续函数的和差积商的连续性,复合函数的连续性,初等函数的连续性,求极限的又一种方法,两个定理; 两点意义,反函数的连续性,定义区间与定义域的区别,19,思考题,解,2002年考研

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