高考三角典型例题教师版

1、 欢迎下载 学习好资料 高中数学三角函数常见习题类型及解法高考试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出。因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出 三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。 一、知识整合熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；1熟悉三角变换常用的方法化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的

2、 公式解决一些实际问题熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数2的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五?的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变点画出函数)xy?Asin(? 换研究函数图象的变化 二、考点分析主要考察主要以选择题和解答题的形式出现。22分，各地高考中本部分所占分值在17 内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。 如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公

3、式、平方公式逆用、 切弦互化等。第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有 界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。 三、方法技巧 三角函数恒等变形的基本策略。1.22 cotx=tan45等。=tanx1（）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos+sin 2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：（222222 x+2cosxx=(sinx=1+cosx+cos；sinx)+cos? 等。=）+，配凑角：=（ 22 ）化弦（切）法。（4（3）降次与升次。22?所在象限由a)=，这里辅助角sin(+、）引入辅助角。（4asin+bc

4、osb?ab?=确定。tanb的符号确定， 角的值由 a2.证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法。 3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解题策略。 （1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 ）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。2（ 欢迎下载 学习好资料 3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。（ 四、例题分析?sin?c

5、os22?2?tan. ，求（1）例1（已知2）的值；cos?.sincos2?sin ?sincos?sin1? 211?tancos?sin?cos?22?3?）（； 1解： ?sin?sincos?1?tan21?1 ?cos22?cos?sin?cos?sin2?22?2cos?sin?sincos? (2) 22?sin?cos2?sin?sin2?224?2?2? 2?cos?cos?. 2?sin32?11? 2?cos，进行弦、切互化，说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到） 就会使解题过程简化。2的值域。 例2求函数)cosxx?(sinx?y?1?sin

6、x?cos 解：设，则原函数可化为 22，?)?sinx?cosx?2sin(xt 413 22，因为，所以 22，t?(t?y?t)?t?1 2413 2t?时，当时，当 2?3y?t?y minmax243 所以，函数的值域为。 2?，3y? 42x?2sin2x?4sin2，x?R)f(x?。 例3已知函数（1）求的最小正周期、的最大值及此时x的集合； )(x)xf(f对称。 2）证明：函数的图像关于直线（?x?)f(x 822x)?2sin2sinx?2(1?4sin?x?2sin2x?2f(x) 解： ?2sin2x?2cos2x?22sin(2x?) 4(1)所以的最小正周期，因为

7、， )(xfR?xT?3 22?x?x?k2?2k?所以，当 最大值为；时，即)xf( 842?x有对，任线关的数证明函图像于直意要对称，只证明欲明(2)证：)(fxR?x 8)?(?x?f(?)f?x 成立， 88 欢迎下载 学习好资料 ，因为x22cos2?x)?22sin(?2x)?f(?x)?22sin2(? 2488 ，xcos22?2sin(?2x)?22(f?x)?22sin2(?x) 2884 所以成立，从而函数的图像关于直线对称。?x?x?x)?f(?f()f(x 888312, cos 已知函数y=R）x+sinxcosx+1 （x例4 22 取得最大值时，求自变量x的集合

8、；（1）当函数y R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？（2）该函数的图像可由y=sinx(x3311122+1 cosx2sinxsinxcosx+1= (2cos）x1)+ +解：（1）y=cos（x+ 42424?3511515 )+=sin(2x+cos2x+sin2x+=(cos2xsin+sin2xcos)+= 4422444666? ）。 x=+k,（kZ+2k所以y取最大值时，只需2x+=,（kZ），即 662?Z +ky取最大值时，自变量x的集合为x|x=,k所以当函数 6 依次进行如下变换：（2）将函数y=sinx? 的图像；i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数

9、y=sin(x+)（ 661，得到函数）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的（ii倍（纵坐标不变） 2? y=sin(2x+)的图像； 61，得到函数（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变） 2?1 y=sin(2x+)的图像； 26?515 的图像。y=sin(2x+)+（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数 4246312 x+sinxcosx+1综上得到y=cos的图像。 22说明：本题属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：22?的形式，二sinx,cosx的齐次式，降幂后最终化成x+y=)+ksin (一是化成关于ba?；当

10、cosx=0时，y=1是化成某一个三角函数的二次三项式。本题（1）还可以解法如下：当31312xtancosx?x?sinxcos 2222+1 时，+1=y=cosx0 222sinx?cosx1?tanx23tanx+2yx1)tan化简得：2(y3=0 37tanxR，=38(y1)(2y3)0,解之得：y 44?7y=，此时对应自变量x的值集为x|x=k+,kZ max 46 欢迎下载 学习好资料 xxx2 5已知函数例.cos3)?sincos?f(x 333f(x)? （）将的形式，并求其图象对称中心的横坐标；写成)xAsin(?2的范围及此时，试求x=ac，且边b所对的角为x （

11、）如果ABC的三边a、b、c满足bf(x). 的值域函数?3x12x32x3212x32x 解：?cos1?cossin()xf()?)sin?sin( 232323232323?12x?2x3k?（）由即 =0sin(?x?)z?kk(k?z)得 233331k?3? 即对称中心的横坐标为z，k? 22ac （）由已知b=222221?aac?c2?baca?cac，cosx? 222acac2ac?521x)x(f?0?x?，?cosx?1， 932333?3252xx，?)?1?sin(?)?1，?3?sin(?|?|?|?|，sin? 23333332923?(3,1的值域为. 2?3

12、?1,(3值域为 ， . 综上所述，,?(0x)(xf 23说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思 想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。c?cosC3a、 B，bCc分别是角A的对边，且在例6中，a?ABC? bBcos 的值；(1)求Bsin b?42，且a=c(2)，求若的面积。 ABC?cosC3a?ccosC3sinA?sinC，有，由正弦定理及解：(1) ? cosBbcosBsinB即，所以， BAcosC)?3sin?sin(BB?cosBsinCcosBsincosC?3sinA又因为，所以，因为，所

13、以AsinCB?)?sin(0sinAcosBsin?A?sinA?3?A?BC 221 2B?cossinB?1?coBs。，所以，又 ?0?B 33222a?c，又中，由余弦定理可得(2)在 32?ac?c?aABC? 3422，所以的面积为 所以有2432?，即aa?ABC 3 11 2。 2?aBacS?sin?sinB8 22 欢迎下载学习好资料 52，sin)，|a?b|?(cosabsin)，=(cos已知向量， 7例 5 求 的值；(1)cos(? 5 的值。?，?，且?，求若(2) (2)sin00sin 1322 因为解：(1)，a?(cos，sin)，sin)，b=(cos 所以，b?(cos，?a?cossin?sin) 5225 22 ? ，)(cos|?)sincos(sinb|a?，所以又因为 5534 ；?，?即)2cos(cos(2 55 ，?，?，?(2)000 2243 ，所以 ，?又因为)cos(sin() 5563125 ，所以，所以?cos)sinsin(sin 651313?平面直角坐标系有点 9例?x),1,x(cosQ),xcos,1(P 44?OP 求向量的余弦用和表示的函数的夹角；1