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1、厦门大学高等数学课程期中试卷试卷类型:(理工类A卷) 考试日期 2011.11.27 高等数学A类教学组 1求下列函数的极限:(每小题4分,共16分) (1) (2) (3) (4)解:(1) (2) (3) (4)2求下列数列的极限:(每小题4分,共8分) (1) (2)解:(1), (2)法一、由拉格朗日定理,知,使得, 法二、3(10分)设数列满足,(1)试证明此数列极限存在,并求出;(2)试求。(1)证明:由归纳假设知,又由单调有界准则可知此数列极限存在;令则由,得故;(2)解:。4(10分)求函数的间断点,并判断其类型。解:其间断点为。和都不存在且不为,是振荡间断点;,是跳跃间断点;
2、,是可去间断点;,是无穷间断点。5(6分)求函数的导数和微分。解:;6(10分)已知,试求。解: 7(10分)已知在处可导,试求出和。解:由在处可导,知 以及 可得 以及 故以及,8(10分)设函数的极坐标式为,求及。 解:,。9(10分)设函数和都是二阶可导,并且为的反函数,已知,求及。解:由,两边对x求导,可得 (1)把x=1代入(1)式,得;再次对(1)式两边x求导,得 (2)把x=1代入(2)式,得。10(10分)以下两题任选其一(仅做一题)(1)设在上连续,在内可导,证明:至少存在,使得。(2)设在上连续,在内可导,证明:至少存在,使得。解:(1),由介值定理,知,使得。 令,则在上连续,在内可导,且, 由罗尔定理,存在,使得即。(2)令,则在上连续,在内可导,且,由罗尔定理,存在,使得即。附加题 (10分)依次求解下列问题(1) 证明方程有唯一的实根;(2) 证明存在并求其值A;(3) 证明当时,与是同阶无穷小。证:(1)令,则 ,由连续函数的零点定理知,对任意给定的自然数n ,均存在,使得,又因为 ,所以函数关于x严格单调增加,故函数有唯一的实根,即对任意给定的自然数n,方程有唯一的实根。(2)由于 ,即
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