概率论与数理统计：2_3连续型随机变量机器概率分布

1、2.3 连续型随机变量,定义 设 X 是随机变量, 若存在一个非负 可积函数 f ( x ), 使得,其中F ( x )是它的分布函数,则称 X 是 连续型 r.v. ，f ( x )是它的概率 密度函数( p.d.f. )，简记为d.f.,2.3 连续,43,1,分布函数与密度函数 几何意义,43,2,p.d.f. f ( x )的性质,常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性 r.v.的 d.f.,在 f ( x ) 的连续点处，,f ( x ) 描述了X 在 x 附近单位长度的 区间内取值的概率,43,3,积分,43,4,注意: 对于连续型r.v.X , P(X = a) = 0,其中

2、 a 是随机变量 X 的一个可能的取值,命题 连续r.v.取任一常数的概率为零,强调 概率为0 (1) 的事件未必不发生(发生),事实上,43,5,对于连续型 r.v. X,43,6,43,7,例1 已知某型号电子管的使用寿命 X 为连 续r.v., 其 d.f.为,(1) 求常数 c,(3) 已知一设备装有3个这样的电子管, 每个电子管能否正常工作相互独立, 求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.,(2) 计算,43,8,解,(1) 令,c = 1000,(2),43,9,(3),设A 表示一个电子管的寿命小于1500小时,设在使用的最初1500小时三个电子管中 损坏的个数为 Y,4

3、3,10,例2 设,为使 f (x) 成为某 r.v. X 在,解 由,d.f.系数 a, b , c 必须且只需满足何条件？,当,有最小值,上的,43,11,另外由,当且仅当 时,得,所以系数 a, b , c 必须且只需满足下列条件,43,12,(1) 均匀分布,若 X 的 d.f. 为,则称 X 服从区间( a , b)上的均匀分布或称,X 服从参数为 a , b的均匀分布. 记作,均匀分布,43,13,X 的分布函数为,43,14,43,15,即 X 落在(a,b)内任何长为 d c 的小区间的 概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正 比. 这正是几何概型的情形.,进行大量数值计算时

4、, 若在小数点后第 k 位进行四舍五入, 则产生的误差可以看作 服从 的 r.v. 随机变量,应用场合,43,16,例3 秒表最小刻度值为0.01秒. 若计时精 度是取最近的刻度值, 求使用该表计时产生的随机误差X 的 d.f. 并计算误差的绝对值不超过0.004秒的概率.,解 X 等可能地取得区间,所以,上的任一值，则,43,17,(2) 指数分布,若 X 的d.f. 为,则称 X 服从 参数为 的指数分布,记作,X 的分布函数为, 0 为常数,指数分布,43,18,43,19,对于任意的 0 a b,应用场合,用指数分布描述的实例有：,随机服务系统中的服务时间,电话问题中的通话时间,无线电

5、元件的寿命,动物的寿命,指数分布 常作为各种“寿命” 分布的近似,43,20,若 X (),则,故又把指数分布称为“永远年轻”的分布,指数分布的“无记忆性”,事实上,命题,年轻,43,21,解 (1),例4 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内 发生故障的次数 N( t ) (t), 求,相继两次故障的时间间隔 T 的概率分布; 设备已正常运行小时的情况下,再正常 运行 10 小时的概率.,例4,43,22,即,43,23,(3) 正态分布,若X 的 d.f. 为,则称 X 服从参数为 , 2 的正态分布,记作 X N ( , 2 ),为常数，,正态分布,亦称高斯 (Gauss)分布,43,

6、24,N (-3 , 1.2 ),43,25,f (x) 的性质：,图形关于直线 x = 对称, 即,在 x = 时, f (x) 取得最大值,在 x = 时, 曲线 y = f (x) 在对应的 点处有拐点,曲线 y = f (x) 以 x 轴为渐近线,曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状,f ( + x) = f ( - x),性质,43,26,43,27,f ( x) 的两个参数：, 位置参数,即固定 , 对于不同的 , 对应的 f (x) 的形状不变化，只是位置不同, 形状参数,固定 ，对于不同的 ，f ( x) 的形状不同.,若 1 2 则,比x= 2 所对应的拐点更靠近直线 x

7、=,附近值的概率更大. x = 1 所对应的拐点,前者取 ,43,28,Showfn1,fn3,43,29,正态变量的条件,若 r.v. X, 受众多相互独立的随机因素影响, 每一因素的影响都是微小的, 且这些正、负影响可以叠加,则称 X 为正态 r.v.,43,30,可用正态变量描述的实例极多：,各种测量的误差； 人体的生理特征；,工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；,海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度；,热噪声电流强度； 学生的考试成绩；,43,31,一种重要的正态分布,是偶函数，分布函数记为,标准正态,其值有专门的表供查., 标准正态分布N (0,1),密度函数,43,32,43,33,-x

8、,x,43,34,对一般的正态分布 ：X N ( , 2),其分布函数,作变量代换,43,35,例5 设 X N(1,4) , 求 P (0 X 1.6),解,例5,43,36,求 P ( X 0 ).,解一,例6,43,37,解二 图解法,0.2,由图,43,38,例 3 原理,设 X N ( , 2), 求,解,一次试验中, X 落入区间( - 3 , +3 ) 的概率为 0.9974, 而超出此区间可能性很小,由3 原理知，,当,3 原理,43,39,标准正态分布的上 分位数 z,设 X N (0,1) , 0 1, 称满足,的点 z 为X 的上 分位数,z,常用 数据,43,40,例7 设测量的误差 X N(7.5,100)(单位:米) 问要进行多少次独立测量，才能使至 少有一次误差的绝对值不超过1