常微分方程04秋模拟试题

1、常微分方程试题得分 评卷人 一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1方程所有常数解是 2方程的基本解组是 3方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 4函数组在区间I上线性无关的 条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不恒等于零 5若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共同零点 得分 评卷人 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6方程的奇解是（ ）（A） （B） （C） （D） 7. 方程过点共有（ ）个解（A）一 （B）无数 （C）两 （D）三 8阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个 （A） （B）-1 （C）+1 （D）+2 9一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解

2、之差（ ） （A）不是其对应齐次微分方程组的解 （B）是非齐次微分方程组的解 （C）是其对应齐次微分方程组的解 （D）是非齐次微分方程组的通解 10如果，都在平面上连续，那么方程的任一解的存在区间（ ） （A）必为 （B）必为 （C）必为 （D）将因解而定得分 评卷人 三、计算题（每小题分，本题共30分） 求下列方程的通解或通积分： 11. 12. 13. 14 15得分 评卷人 四、计算题（每小题10分，本题共20分） 16求方程的通解 17求下列方程组的通解 得分 评卷人 五、证明题（每小题10分，本题共20分） 18在方程中，已知，在上连续，且求证：对任意和，满足初值条件的解的存在区间必

3、为 19在方程中，已知，在上连续求证：该方程的任一非零解在平面上不能与x轴相切常微分方程试题答案及评分标准 （供参考） 一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1 23，（或不含x 轴的上半平面） 4充分 5没有 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6D 7B 8A 9C 10D 三、计算题（每小题分，本题共30分） 11解 令，则，代入原方程，得 ， （2分） 当时，分离变量，再积分，得 （4分） 即通积分为： （6分） 12解 齐次方程的通解为 （2分） 令非齐次方程的特解为 代入原方程，确定出 （5分） 原方程的通解为 + （6分） 13解 积分因子为 （3分） 原方程的通积分为

4、 即 （6分） 14解 令，则原方程的参数形式为 （2分） 由基本关系式 ，有 （4分） 积分得 得原方程参数形式通解为 （6分） 15解 原方程可化为 （2分）于是 （4分） 积分得通积分为 （6分） 四、计算题（每小题10分，本题共20分） 16解 对应的齐次方程的特征方程为： 特征根为： 故齐次方程的通解为： （4分） 因为是单特征根所以，设非齐次方程的特解为 （6分） 代入原方程，有 ， 可解出 故原方程的通解为 （10分） 17解 方程组的特征方程为 即 特征根为 ， （2分） 对应的解为 其中是对应的特征向量的分量，满足 可解得 （5分） 同样可算出对应的特征向量分量为 （8分）所以，原方程组的通解为 （10分） 五、证明题（每小题10分，本题共20分） 18证明 由已知条件，该方程在整个 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件 （2分） 显然 是方程的两个常数解 （4分） 任取初值，其中,记过该点的解为，由上面分析可知，一方面可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性矛盾故该解的存在区间必为 （10分） 19证明 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是 （2分） 显然，该方程有零解 （5分） 假设该方程的任一非零解在x