【PPT】数学第二部分·题型九·几何探究题

1、,题型九 几何探究题,方法帮,目录,高分帮,类型1 新定义探究题,类型2 操作探究题,类型3 图形变换探究问题（含平移、旋转、折叠）,类型1 新定义探究题(10年3考),类型2 操作探究题（10年3考）,类型3 图形变换探究问题（含平移、旋转、折叠）（10年2考）,类型4 动点探究问题（10年2考）,类型4 动点探究问题,几何探究题是江西中考近10年的必考题型,常以压轴题的形式出现,包括新定义、动手操作、动态变化、特殊图形的存在性探究等类型.几何探究题将三角形、四边形、圆形、图形变换等几何知识综合在一起,猜想与验证互为支撑、计算与推理相互交织,旨在考查考生对图形性质与判定的理解与运用能力、空间

2、想象能力、识图析图能力以及动手操作能力.,类型1,新定义探究题(10年3考),例1 我们知道有两个内角互余的三角形是直角三角形.类似地,我们定义:有一组对角互补的四边形叫做“对角互补四边形”. (1)如图(1),在四边形ABCD中,A=110,将线段CD绕点D逆时针旋转得到线段ED,点E刚好落在BC的延长线上,且四边形ABED为“对角互补四边形”,求CDE的度数.,图(1),解:四边形ABED为“对角互补四边形”,A+E=180. 又A=110,E=70. 由旋转的性质可得DC=DE, DCE=E=70,CDE=40.,类型1,新定义探究题(10年3考),（2）如图(2),已知ABC是等边三角

3、形,将ABC沿AC翻折得到ADC,点E,F分别在线段AB,AD上,且BE=AF.求证:四边形AECF为“对角互补四边形”.,图(2),类型1,新定义探究题(10年3考),证明:ABC是等边三角形, BC=AC,B=BAC=60. 由翻折的性质可得DAC=BAC=60, B=DAC. 又BE=AF, BCEACF,BEC=AFC. 又BEC+AEC=180,AFC+AEC=180, 四边形AECF为“对角互补四边形”.,类型1,新定义探究题(10年3考),(3)如图(3),在平行四边形ABCD中, AD=3AB,若点E,F分别为边AB,AD上的动点,试探究:当四边形AECF为“对角互补四边形”时

4、,CE与CF的数量关系.,图(3),过点C作CNAD于点N,作CMBA交BA的延长线于点M,先由“对角互补四边形”的定义证得CFNCEM,得到 = .再通过证CBMCDN,得到 = .最后结合题中条件进行等量代换即可得出结论.,类型1,新定义探究题(10年3考),解:如图,过点C作CNAD于点N,作CMBA交BA的延长线于点M. 四边形AECF为“对角互补四边形”, AEC+AFC=180. 又CFN+AFC=180, CFN=AEC. 又M=CNF=90,CFNCEM, = . 四边形ABCD为平行四边形,AB=CD,AD=BC,B=D. 又M=CNF=90,CDNCBM, = = . AD

5、=3AB,CM=3CN, = = 1 3 ,即CE=3CF.,类型1,新定义探究题(10年3考),解答新定义的问题时,首先要认真阅读并理解“新定义”,从性质和判定两个角度做出分析,厘清题中的条件与结论,然后分别运用“新定义”的性质与判定解决相应的问题.,类型2,操作探究题(10年3考),例2 2019赣北联考【操作发现】 如图(1),在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,ABC的三个顶点均在格点上. (1)请按要求画图:将ABC绕点A按顺时针方向旋转90,点B的对应点为B,点C的对应点为C,连接BB.,图(1),解:如图所示,ABC即为所求.,类型2,操作探究题(10年3考),(2)在(

6、1)所画的图形中,ABB= . 【问题解决】 如图(2),在等边三角形ABC中,AC=7,点P在ABC内,且APC=90,BPC=120,求APC的面积. 小明同学通过观察、分析、思考,对上述问题形成了如下想法: 想法一:将APC绕点A按顺时针方向旋转60,得到APB, 连接PP,寻找PA,PB,PC三条线段之间的数量关系; 想法二:将APB绕点A按逆时针方向旋转60,得到APC, 连接PP,寻找PA,PB,PC三条线段之间的数量关系. 请参考小明同学的想法,完成该问题的解答过程.(一种方法即可),45,图(2),类型2,操作探究题(10年3考),解:按照想法二进行解答. 将APB绕点A按逆时

7、针方向旋转60,得到APC, APP是等边三角形,APC=APB=360-90-120=150, PP=AP,APP=APP=60, PPC=90,PPC=30, PP= 3 2 PC,即AP= 3 2 PC. 在RtAPC中,AP2+PC2=AC2,即( 3 2 PC)2+PC2=72, PC=2 7 ,AP= 21 ,SAPC= 1 2 APPC=7 3 .,类型2,操作探究题(10年3考),【灵活运用】 如图(3),在四边形ABCD中,AEBC,垂足为E,BAE=ADC,BE=CE=2,CD=5,AD=kAB(k为常数),求BD的长(用含k的式子表示).,图(3),类型2,操作探究题(1

8、0年3考),解:连接AC,AEBC,BE=EC,AB=AC. 将ABD绕点A逆时针旋转,使AB与AC重合,点D的对应点为G,连接DG,则BD=CG,BAD=CAG,BAC=DAG. AB=AC,AD=AG, ABC=ACB=ADG=AGD,ABCADG. = . AD=kAB,DG=kBC=4k. BAE+ABC=90,BAE=ADC, ADG+ADC=90,GDC=90, CG= 2 + 2 = 16 2 +25 .BD=CG= 16 2 +25 .,类型2,操作探究题(10年3考),对于操作性试题,要认真阅读试题,理解操作的方法与步骤,在此基础上根据操作中所涉及的知识来思考,如操作中涉及平

9、移、旋转等图形变换,就运用平移、旋转的相关知识来解答.,类型3,图形变换探究问题(含平移、旋转、折叠) (10年2考),例3 2019南昌模拟【操作发现】 (1)如图(1),将ABC绕点A逆时针旋转90得到ADE,连接BD,则ABD的度数是 . 【类比探究】 (2)如图(2),在等腰直角三角形ABC内取一点P,使APB=135,将ABP绕顶点A逆时针旋转90得到ACP,连接PP.请猜想BP与CP有 怎样的位置关系,并说明理由.,45,图(1),图(2),类型3,图形变换探究问题(含平移、旋转、折叠) (10年2考),解:BPCP. 理由:由旋转的性质得AP=AP,PAP=90,APB=APC=

10、135, APP是等腰直角三角形, APP=APP=45, APB+APP=180, B,P,P三点共线, CPB=135-45=90, BPCP.,类型3,图形变换探究问题(含平移、旋转、折叠) (10年2考),【解决问题】 (3)如图(3),在等腰直角三角形ABC内任取一点P,连接PA,PB,PC.求证:PC+ 2 PAPB.,图(3),类型3,图形变换探究问题(含平移、旋转、折叠) (10年2考),证明:如图,将ABP绕点A逆时针旋转90得到ACP, 由旋转的性质得PC=PB,PA=PA. 连接PP, PAP=90, APP是等腰直角三角形, PP= 2 PA, 在PCP中,PC+PPP

11、C, PC+ 2 PAPB.,类型3,图形变换探究问题(含平移、旋转、折叠) (10年2考),平移、折叠(轴对称)、旋转这三种图形变换探究题,不仅具有这三种图形变换的性质特点,而且涉及许多基本图形的性质.解这一类试题,一要认真审题,弄清图形变换前后一些不变的量;二要善于发现或通过作辅助线构造全等三角形、相似三角形、等边三角形或直角三角形等,运用它们的性质求解.,类型4,动点探究问题(10年2考),例4 2019江西中考已知ABCD,ABC=120,点E为线段BC上的动点,连接AE,以AE为边向上作菱形AEFG,且EAG=120. (1)如图(1),当点E与点B重合时,CEF= . (2)如图(

12、2),连接AF. 填空:FADEAB(填“”“”或“=”); 求证:点F在ABC的平分线上.,图(1),图(2),60,=,类型4,动点探究问题(10年2考),几何画板 动态演示5,类型4,动点探究问题(10年2考),分两种情况讨论:,类型4,动点探究问题(10年2考),证明:如图,当点E与点B不重合时,在射线AD上截取AP=AB,连接PB,PF. 四边形AEFG是菱形, AF平分EAG,AE=EF. ABC=EAG=120,BCAD, BAD=FAE=60, AEF为等边三角形,FAP=EAB,AF=AE. 在APF和ABE中, =, =, =, APFABE, FPA=EBA=120.,类

13、型4,动点探究问题(10年2考),又AP=AB,DAB=60, APB为等边三角形, APB=PBA=60, FPA+APB=180, F,P,B三点在同一直线上. 又PBA=60,PBA=PBC,即点F在ABC的平分线上. 当点E与点B重合时, 易得AEF= 1 2 ABC=60,BF平分ABC. 综上所述,点F在ABC的平分线上.,类型4,动点探究问题(10年2考),(3)如图(3),连接EG,DG,并延长DG交BA的延长线于点H,当四边形AEGH是平行四边形时,求 的值.,图(3),解:四边形AEGH和四边形AEFG都是平行四边形, AEHG,AEGF,HG=AE, HG与GF在同一条直

14、线上. GE是菱形AEFG的对角线,EAG=120, GE平分FGA,FGA=60. FGE= 1 2 FGA=30. 又GEHB,H=FGE=30.,类型4,动点探究问题(10年2考),在AHD中,HAD=180-60=120, ADH=180-30-120=30,ADH=H,AH=AD. 在GAD中,ADG=30,DGA=60, DAG=90, GAH=30=H, GD=2AG,HG=AG, = =3. 在菱形AEFG中,易得AEG=30,AEB=30. 又EAB=H=30,AB=BE. 易得AHDBAE, = =3,即 =3.,类型4,动点探究问题(10年2考),解决动点型几何探究题的关

15、键是动中求静,在动点的运动过程中观察图形的变化情况,理解图形在不同位置的情况,做好计算推理的过程.在变化中找到不变的性质是解决这类问题的基本思路,也是动态几何数学问题的本质和核心.,新定义探究题,类型1,1.2017江西中考我们定义:如图(1),在ABC中,把AB绕点A顺时针旋转(0180)得到AB,把AC绕点A逆时针旋转得到AC,连接BC.当+=180时,我们称ABC是ABC的“旋补三角形”, ABC的边BC上的中线AD叫做ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”. 特例感知 (1)在图(2)、图(3)中,ABC是ABC的 “旋补三角形”, AD是ABC的“旋补中线”. 如图(2),当AB

16、C为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD= BC; 如图(3),当BAC=90,BC=8时,AD的长为 .,图(1)图(2)图(3),1 2,4,新定义探究题,类型1,猜想论证 (2)在图(1)中,当ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明. 拓展应用 (3)如图(4),在四边形ABCD中,C=90,D=150,BC=12,CD=2 3 ,DA=6.在四边形内部是否存在点P,使PDC是PAB的“旋补三角形”?若存在,给予证明,并求PAB的“旋补中线”长;若不存在,说明理由.,图(4),新定义探究题,类型1,(2)猜想:AD= 1 2 BC. 证明:如图(1),延长BA到点

17、P,使AP=BA,连接CP, 则CAP+BAC=180. BAC+BAC=180, BAC=PAC. 在ABC和APC中, =, =, =, ABCAPC(SAS),BC=PC. D为BC的中点,A为BP的中点, AD= 1 2 PC= 1 2 BC.,图(1),新定义探究题,类型1,(3)存在. 证明:如图(2),过点D作BC的平行线,交BC边上的垂直平分线PH于点P,连接PC,PA,PB,则四边形PDCH为矩形,PD=CH= 1 2 BC=6,PH=CD=2 3 . ADP=150-90=60,AD=PD=6,ADP为等边三角形,DPA=60. CH=6,PH=2 3 ,PHC=90, t

18、anCPH= 3 ,CPH=60,CPB=120, DPA+CPB=180. 又PD=PA,PC=PB,故点P使PDC为PAB的“旋补三角形”. 取CD的中点F,连接PF,则PF为PAB的“旋补中线”, 在RtPDF中,PF= 2 + 2 = 39 .,图(2),新定义探究题,类型1,2.2019江西样卷定义:如果一个三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称该三角形为“幸运三角形”.如图,在ABC中,C=90,AC=BC,点M为BC边上任意一点(不与点B,C重合),连接AM. (1)如图(1),当MC= 3 2 CB时,求证:RtAMC为“幸运三角形”. (2)如图(2),若AM平分BA

19、C,过点C作CEAB, CFAM,垂足分别为E,F,且CE与AM相交于 点G.试猜想AG与CF的数量关系,并给出证明. (3)如图(3),点M关于AB的对称点为点N,连接MN,AN.点M在BC边上移动的过程中,若AMN是“幸运三角形”,求 的值.,图(1)图(2) 图(3),新定义探究题,类型1,(1)证明:取AC的中点D,连接MD,如图(1). MC= 3 2 CB,设AC=2x,则MC= 3 x,DC=x, DM= ( 3 ) 2 + 2 =2x, DM=AC. RtAMC为“幸运三角形”.,图(1),新定义探究题,类型1,(2)猜想:AG=2CF. 证明:如图(2),延长CF交AB于点H

20、. CEAB,CFAM,AC=BC,AE=CE=BE,AEC=BEC=AFC=90, GAE+AGE=CGF+GCF=90. 又CGF=AGE,GAE=GCF. 在AGE与CHE中, =, =, =, AGECHE(ASA),AG=CH. AM平分BAC,AFCH,AC=AH,CF=HF,CF= 1 2 CH, AG=CH=2CF.,图(2),新定义探究题,类型1,(3)解:如图(3),延长AC,NM相交于点K,设MN与AB相交于点O. 点M,N关于直线AB对称, AOM=AON=90,AM=AN,MO=ON. ABC=BAC=45, CMK=OMB=K=45, CM=CK,OM=OB. 易得

21、AOKBOM, = = + = + = 2+ . 当等腰三角形AMN中MN与它的中线AO相等,即AO=MN时,AMN是“幸运三角形”. MO=BO= 1 2 AO, = 2+ =2, = 1 2 .,图(3),新定义探究题,类型1,如图(4),当等腰三角形AMN中AM与它的中线NR相等,即AM=AN=NR时,AMN是“幸运三角形”. 过点N作NTAM于点T,RT=AT= 1 2 AR= 1 4 AM. 设RT=x,则AM=AN=4x.在RtANT和RtMNT中,由勾股定理得NT= 2 2 = (4 ) 2 2 = 15 x,MN= 2 + 2 = ( 15 ) 2 +(3 ) 2 =2 6 x

22、, MO=NO=OB= 6 x. 利用面积相等得AMNT=MNAO, AO= = 4 15 2 6 = 10 x. = 2+ = 15 3 . = 15 3 6 .,图(4),操作探究题,类型2,3.2019九江模拟在数学活动中,小明按下面的步骤将两块不同的等腰直角三角板进行操作和探究:在其中一块等腰直角三角板ABC中,AB=BC=4,B=90,将另一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处,将三角板绕点O旋转,三角板的两直角边分别交AB,BC或其延长线于E,F两点,图(1)与图(2)是旋转三角板所得图形的两种情况.,图(1) 图(2) 图(3),操作探究题,类型2,(1)在三角板绕点

23、O旋转的过程中,OFC能否成为等腰直角三角形?若能,求出CF的长;若不能,请说明理由. (2)在三角板绕点O旋转的过程中,线段OE和OF之间有什么样的数量关系?用图(2)加以证明. (3)若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处, 如图(3),当 = 1 5 时,PF和PE有什么样的数量关系?证明你的结论.,图(2) 图(3),操作探究题,类型2,几何画板 动态演示6,操作探究题,类型2,(1)解:OFC能成为等腰直角三角形. RtABC中,AB=BC=4,C=45. 当OFC是等腰直角三角形时, OFC=90或COF=90. 当OFC=90时,OFBC. B=90,OFAB. 点O是AC的中点

24、,点F是BC的中点, CF= 1 2 BC=2. 当COF=90时,点F和点B重合,CF=BC=4. 综上,CF=2或4.,操作探究题,类型2,(2)OE=OF. 理由:如图(1),连接OB. AB=BC,ABC=90,点O为AC的中点, OB= 1 2 AC=OC,BOC=90,ABO=BCO=45. EOF=90,OBE=OCF,EOB=FOC. 在OEB和OFC中, =, =, =, OEBOFC(ASA).OE=OF.,图(1),操作探究题,类型2,(3)PF=4PE. 证明:如图(2),过点P分别作PMAB于点M, 作PNBC于点N. 易得四边形BMPN为矩形,MPN=90. EPF

25、=90,EPM=FPN. 又EMP=FNP=90,PMEPNF, = . 易得APM和PCN为等腰直角三角形,APMCPN, = . = 1 5 , = = = 1 4 ,PF=4PE.,图(2),操作探究题,类型2,4.某数学活动小组在研究三角形拓展图形的性质时,经历了如下过程: 【操作发现】 在等腰三角形ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为腰,向ABC的外侧分别作等腰直角三角形,如图(1)所示,连接DE,F是DE的中点,连接AF.则下列结论正确的 是 (填序号即可). AF= 1 2 BC;AFBC; 整个图形是轴对称图形;DEBC. 【数学思考】 在任意三角形ABC中,分别以AB和A

26、C为腰,向ABC的外侧作等腰直角三角形,如图(2)所示,连接DE,F是DE的中点,连接AF,则AF和BC有怎样的数量关系和位置关系?请给出证明过程.,操作探究题,类型2,【类比探索】 在任意三角形ABC中,仍分别以AB和AC为腰,向ABC的内侧作等腰直角三角形,如图(3)所示,连接DE,F是DE的中点,连接AF,试判断AF和BC的数量关系和位置关系是否发生改变,并说明理由.,操作探究题,类型2,【数学思考】AF= 1 2 BC,AFBC. 证明:如图(1),延长AF并截取FH=AF,连接DH,延长DA交BC于点G,延长FA交BC于点M. F是DE的中点,DF=EF= 1 2 DE. 在AFE和

27、HFD中, =, =, =, AFEHFD(SAS),DH=AE,H=EAF. DHAE,ADH+DAE=180.,图(1),操作探究题,类型2,ADB和EAC都是等腰直角三角形, AB=AD,AE=AC,BAD+CAE=180, DH=AC,BAC+DAE=180,BAC=ADH. 在BAC和ADH中, =, =, =, BACADH(SAS), DAH=ABC,AH=BC. FH=AF= 1 2 AH,DAH=MAG,AF= 1 2 BC,ABG=MAG. BAM+MAG=90,BAM+ABG=90,AMB=90,AFBC.,操作探究题,类型2,【类比探索】解:没有改变. 理由如下: 如图

28、(2),延长AF并截取FP=AF,连接DP,设FA交BC于点N. F是DE的中点, DF=EF= 1 2 DE. 在PFD和AFE中, =, =, =, PFDAFE(SAS),DP=AE,P=EAF, DPAE,ADP+DAE=180.,图(2),操作探究题,类型2,又AE=AC,DP=AC. ADB和EAC都是等腰直角三角形,AB=AD,AE=AC=DP. DAE=90-DAC,BAC=90+DAC, DAE+BAC=180,BAC=ADP. 在BAC和ADP中, =, =, =, BACADP(SAS),DAP=ABC,AP=BC. FP=AF= 1 2 AP,AF= 1 2 BC. B

29、AN+DAP=90,BAN+ABC=90, ANB=90,AFBC.,图形变换探究问题(含平移、旋转、折叠),类型3,5.2016江西中考 【图形定义】 如图,将正n边形绕点A顺时针旋转60后,发现旋转前后两图形有另一交点O,连接AO,我们称AO为“叠弦”;再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60后,交旋转前的图形于点P,连接PO,我们称OAB为“叠弦角”,AOP为“叠弦三角形”. 【探究证明】 (1)请在图(1)和图(2)中选择其中一个证明: “叠弦三角形”(即AOP)是等边三角形. (2)如图(2),求证:OAB=OAE.,图(1)(n=4) 图(2)(n=5),图形变换探究问题(含

30、平移、旋转、折叠),类型3,【归纳猜想】 (3)图(1)、图(2)中“叠弦角”的度数分别为 , . (4)图(n)中,“叠弦三角形” 等边三角形(填“是”或“不是”). (5)图(n)中,“叠弦角”的度数为 (用含n的式子表示).,15,图(3)(n=6)图(n),24,是,60- 180 +3,图形变换探究问题(含平移、旋转、折叠),类型3,几何画板 动态演示7,图形变换探究问题(含平移、旋转、折叠),类型3,(1)若选择题图(1). 证明:依题意得PAO=60.连接AC,则PAC=CAO,DAC=CAB, DAP=OAB. D=D,AD=AB,DAPBAO,AP=AO,AOP是等边三角形.

31、 若选择题图(2). 证明:依题意得EAE=60,PAO=60. EAP=EAE-PAE=60-PAE,EAO=PAO-PAE=60-PAE, EAP=EAO. E=E,AE=AE,EAPEAO, AP=AO,AOP是等边三角形.,图形变换探究问题(含平移、旋转、折叠),类型3,(2)证明:如图,连接AC,AD,CD. AE=AB,E=B=108,ED=BC, AEDABC(SAS), AD=AC,ADE=ACB. 由AD=AC,得ADC=ACD, ODC=OCD,OC=OD, BC-OC=ED-OD, BO=EO. AB=AE,B=E,ABOAEO, OAB=OAE.,图形变换探究问题(含平

32、移、旋转、折叠),类型3,6.2019江西样卷如图(1),正方形ABCD和正方形AEFG,连接DG,BE. 【发现】将正方形AEFG绕点A旋转,如图(2). 线段DG与线段BE之间的数量关系是 ; 直线DG与直线BE之间的位置关系是 . 【探究】若四边形ABCD与四边形AEFG都是矩形,且AD=2AB,AG=2AE,将矩形AEFG绕点A旋转,如图(3).求证:直线BEDG. 【应用】在【探究】的前提下,连接GE(点E 在AB上方),若GEAB,且AB= 5 ,AE=1, 求线段DG的长.(直接写出结论),图(1)图(2)图(3),DG=BE,DGBE,图形变换探究问题(含平移、旋转、折叠),类

33、型3,【探究】证明:如图(1),延长BE交AD于点K,交DG于点H. 四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形, BAD=EAG,BAE=DAG. AD=2AB,AG=2AE, = = 1 2 , ABEADG,ABK=ADG. AKB+ABK=90,AKB+ADG=90. AKB=DKH,DKH+ADG=90, DHB=90,直线BEDG.,图(1),图形变换探究问题(含平移、旋转、折叠),类型3,【应用】解:DG=4. 解法提示:在RtAEG中,AE=1,AG=2AE=2. 由勾股定理,得EG= 5 . AB= 5 ,EG=AB. EGAB,四边形ABEG是平行四边形,AGBE. AGEF,

34、点B,E,F在同一条直线上,如图(2)所示.AEB=90, 在RtABE中,根据勾股定理,得BE= 2 2 =2. 由【探究】知,ABEADG, = = 1 2 . 2 = 1 2 .DG=4.,图(2),图形变换探究问题(含平移、旋转、折叠),类型3,7.2019山西中考综合与实践 动手操作: 第一步:如图(1),将正方形纸片ABCD沿对角线AC所在的直线折叠,展开铺平,再沿过点C的直线折叠,使点B,点D都落在对角线AC上,此时,点B与点D重合,记为点N,折痕分别为CE,CF,且点E,N,F在同一条直线上,如图(2). 第二步:再沿AC所在的直线折叠,ACE与ACF重合,得到图(3). 第三

35、步:在图(3)的基础上继续折叠,使点C与 点F重合,如图(4);展开铺平,设折痕交AC于 点H,交BC于点M,交DC于点G,连接EF,FG, GM,ME,如图(5).图中的虚线为折痕.,图(1) 图(2)图(3),图形变换探究问题(含平移、旋转、折叠),类型3,问题解决: (1)在图(5)中,BEC的度数是 , 的值是 ; (2)在图(5)中,请判断四边形EMGF的形状,并说明理由; (3)在不增加字母的条件下,请你以图(5)中的字母表示的点为顶点,动手画出一个菱形(正方形除外),并写出这个菱形: .,图(4) 图(5),67.5,2,菱形FGCH(或菱形EMCH),图形变换探究问题(含平移、

36、旋转、折叠),类型3,解:(2)四边形EMGF是矩形. 理由:四边形ABCD是正方形,ABC=BCD=ADC=90. 由折叠的性质可知:BCE=ECA=ACF=FCD= 90 4 =22.5, DFC=NFC=NEC=BEC=67.5,ABC=ENC=CNF=ADC=90, MH垂直平分EC,GH垂直平分FC, MC=ME,GC=GF. MEC=MCE=22.5,CFG=FCG=22.5, MEF=MEC+CEN=90,EFG=NFC+CFG=90.,图形变换探究问题(含平移、旋转、折叠),类型3,MCG=90,CM=CG, CMG=45. 又BME=MCE+MEC=45, EMG=180-C

37、MG-BME=90. 四边形EMGF是矩形. (3)画图略. 解法提示:连接HF,易知HG,CF互相垂直平分, 四边形FGCH是菱形. 连接EH,同理得四边形EMCH也是菱形.,动点探究问题,类型4,8.2018江西中考在菱形ABCD中,ABC=60,点P是射线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边三角形APE,点E的位置随着点P的位置变化而变化. (1)如图(1),当点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE,则BP与CE的数量关系是 ,CE与AD的位置关系是 .,相等(或BP=CE),垂直(或CEAD),动点探究问题,类型4,(2)当点E在菱形ABCD外部时,(1)中的结论是否仍然成立?若成立

38、,请予以证明;若不成立,请说明理由(选择图(2),图(3)中的一种情况予以证明或说理). (3)如图(4),当点P在线段BD的延长线上时,连接BE,若AB=2 3 ,BE=2 19 ,求四边形ADPE的面积.,图(3)图(4),动点探究问题,类型4,(2)成立. 选择题图(2)中的情况.证明如下: 如图(1),连接AC,交BD于点O. 四边形ABCD为菱形,ABC=60, AB=BC,ABD=30,ABC为等边三角形,BAC=60. APE为等边三角形,AP=AE,PAE=60, BAC+PAC=PAE+PAC,即BAP=CAE. 在ABP与ACE中, =, =, =, ABPACE(SAS)

39、, BP=CE,ACE=ABP=30. 易得ACD为等边三角形,CAD=60,CEAD.(答案不唯一),图(1),动点探究问题,类型4,(3)解:如图(2),连接AC,CE,设AD与CE交于点M,由(2)可得BP=CE ,CEAD,ACE=ABP=30. ABC为等边三角形,ACB=60,BCE=90. BC=AB=2 3 ,BE=2 19 ,CE= 2 2 = 7612 =8,BP=8. ADC为等边三角形,AD=2 3 ,AM= 3 ,CM=3,EM=CE-CM=5, AE= 2 + 2 = ( 3 ) 2 + 5 2 = 28 =2 7 ,SAEP= 3 4 (2 7 )2=7 3 .

40、设AC与BD交于点O,AB=2 3 ,BD=6,AO= 3 ,DP=BP-BD=8-6=2, SADP= 1 2 DPAO= 1 2 2 3 = 3 ,S四边形ADPE=SAEP+SADP=7 3 + 3 =8 3 .,图(2),动点探究问题,类型4,9.2019江西样卷观察猜想 (1)如图(1),在RtABC中,ACB=90,BAC=30.点D与点C重合,点E在斜边AB上,连接DE,且DE=AE.将线段DE绕点D顺时针旋转90得到线段DF,连接EF,则 = ,sinADE= . 探究证明 (2)在(1)中,如果将点D沿CA方向移动至CD= 1 3 AC 的位置,其余条件不变,如图(2),上述

41、结论是否保持 不变?若改变,请求出具体数值:若不变,请说明理由.,图(1)图(2),6 3,1 2,动点探究问题,类型4,几何画板 动态演示8,动点探究问题,类型4,拓展延伸 (3)如图(3),在ABC中,ACB=90,CAB=,点D在边AC的延长线上,E是AB上任意一点,连接DE且ED=nAE.将线段DE绕点D顺时针旋转90得到线段DF,连接EF.求 和sinADE的值.(用含n,的式子表示),图(3),动点探究问题,类型4,解:(2)不变. 理由如下: 如图(1),过点D作DGBC交AB于点G,则ADG是直角三角形. 设DG=x.DAG=30,DE=AE, ADE=30,AD= 3 x, DEG=DGE=60. DE=DF=x,sinADE= 1 2 . EDF=90,EF= 2 x, = 2 3 = 6 3 .,图(1),动点探究