江苏省南京市2013届高三数学二轮复习专题讲座3提升理解促进掌学

1、提升理解 促进掌握摭谈高三数学复习需重视的几个问题江苏省江浦高级中学 陈久贵 受市教研室委托，就高三复习中的几个问题谈一些个人的看法，供参考。一、五年考题重在“熟悉”从2008年开始江苏高考按新课标进行命题。对试卷各题所考查的知识点进行分析，可以看出近五年江苏卷的变化有以下特点：1.考试说明规定的8个级考点每年必考；36个级考点常考，27个级考点大多数考如集合、复数、算法、统计、概率、空间几何体中的平行与垂直关系、函数与导数、圆锥曲线与方程等几乎每年都考2.实际应用问题每年必考，题型为解答题，考查的内容不断在变2008年和2011年是导数，2009年和2012年是函数与不等式，2010年是三角

2、，近五年没有用概率统计、数列等内容替代五年中四年为中档题（解答题第三题），一年为把关题（解答题第五题）3.三角试题的考查在条件上不断变化，或置于三角形中，或以向量为条件除2010年作为实际应用问题在解答题第三题考查外，其余四年均在解答题第一题考查4.立体几何证明题，五年均在解答题第二题考查考查内容除2010年考查空间几何体中的垂直关系与点面距离外，其余四年均为考查线面、面面平行、垂直关系的证明5.解析几何解答题考了两年直线和圆的方程，接下来三年连续考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程直线必过椭圆的特殊点（顶点、焦点或弦的中点）除2012年作为把关题在解答题第五题考查外，其余四年均在解答题第四

3、题考查其中2010年、2012年较难；另外，2008年2010年都考查探究，2011年和2012年第三小题由探究改为证明6.数列综合题始终围绕等差、等比数列做文章除2009年作为中档题（解答题第三题）考查外，其余四年作为把关题或压轴题在解答题第五或第六题考查，往往与不等式交叉综合，考查代数推理能力，难度大7.函数知识的综合运用五年中三年为压轴题，两年为把关题往往与方程、不等式、导数等知识交汇综合，考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力8.探究能力必考查，分三个层次，低层次为填空题，中层次为解析几何解答题的第三小题，高层次在压轴题中；代数论证能力的侧重考查是江苏卷的特色，数列综合题和函数综合题

4、中都是浓墨重彩9.理科加试部分的易中难比例是541，四道题，其中选作和必作各两道选作题（四选二）是容易题，必作题之一是空间向量与随机变量概率分布轮换考查（如2011年考空间向量，2012年考随机变量概率分布）；另一道则由课时少而内容杂的理科选修内容（排列、组合、二项式定理、数学归纳法、推理证明等）交汇而成的综合题型，五年五个样，变化多端，难度大总之，纵观近五年江苏新高考数学试卷，试卷结构稳定，稳中有变，变中求新，充分体现了新课程理念，为中学数学教学起到了较好的导向作用10.2012年江苏高考数学卷的新变化2012年的江苏高考数学卷，在大格局求稳定的同时，也出现了一些新的变化和亮点（1）填空题较

5、2011年梯度分明，难度略有提升填空第914题决定了全卷的总体难度，2010年较繁较难，2011年明显下降2012做了微调，层次分明15题只涉及一个知识点，运用基本概念、公式可直接解答；第6题涉及两个知识点；79题涉及一个知识点，但有一点运算量；10、11题涉及两个以上知识点，12、13题综合性较强，不易得分；14题对考生能力要求高，要求考生具有一定的转化化归能力、数形结合能力和综合运用知识解决问题的能力，很难得分（2）中档解答题较2011年难度增加解答题第一题，三角求值放到三角形中且与平面向量的数量积综合，难度较2011三角求值明显增加实际应用问题（17题）是二次函数问题，看似简单，但由于设

6、置了参数，对考生来说并不简单建模容易解模难，第（2）问就难住了部分考生解答题18题是函数与导数的综合问题，前几年均在19题或20题的位置上，作为把关题或压轴题今年前置，虽然难度没有去年大，但第（3）问涉及复合函数，且对分类讨论要求较高，作为中档题对考生来说，也是难了点（3）把关题内容动了大手术2012年试卷的一个最大变化是将解析几何由前几年的18题位置后移到19题，由原来的中档题摇身一变为把关题设置了两问第（2）问中又设置了两小问，第1）问求值，第2）问证明，字母运算能力、代数推理能力要求层层深入，难度逐渐加大（4）压轴题以新面孔呈现2012年仍然以数列综合问题作为压轴题，以等差、等比数列为素

7、材做文章，虽然不像去年竞赛味那样浓，但由于题干中涉及两个数列的递推关系，给人以耳目一新的感觉对于考生来说，由于递推关系较复杂，且面孔新，不知所措中下基础的考生本题难以得分但对数学优等生来说还是可以施展才能的，不像往年太难而形同虚设（5）力求在稳定的基础上创新应用题第17题算得上是标新立异，不落俗套其背景是物理学中的斜上抛运动，按常规是要先建立轨迹方程（函数关系），再通过求最值解决问题但本题在已知条件中给出了炮弹轨迹方程（二次函数），设置两问，都不用物理知识，只需运用二次函数与方程知识便可解决背景公平，很有创意第（2）问对考生的阅读理解能力、转化能力有一定的要求解答本问的关键是读懂题意，正确转化

8、二、能力培养重在“思维” 思维能力是数学能力的核心，是人们进行思维活动的基础，是一个人基本素质的主要标志。思维能力是指使用形式逻辑的思维方式，正确合理地进行判断、推理的思考能力。包括观察、比较、分析、综合、抽象、概括、归纳、演绎、类比等。在数学中思维能力是使用数学素材进行训练和培养的，但这种思维具有思维的一般性，是完全可以脱离数学内容而适用于思维的一切领域。因此，高考把思维能力的考查放在重要的位置。 高考对思维能力的考查提出了三个层次的要求：会对问题或材料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用演绎、归纳和类比进行推理；能准确、清晰、有条理地进行表述。 1、演绎推理 数学是一个各部分紧密联

9、系的逻辑系统，形式逻辑推理是基本方法。由概念组成命题，由命题组成判断，由判断组成证明。在数学领域中只有被严密逻辑证明了的结论才被承认为正确的，因此数学是体现逻辑最为彻底的学科。中学没有逻辑学科，数学就很自然地承担了这方面的责任，因此数学考试中着重考查的是演绎推理的能力。这里有三点应特别注意。 （1）会表达 演绎推理的过程是指从已知事实出发进行分析、推理、论证的过程。其重点是三段论推理。虽然三段论不是教学的重点，但在解答题训练中，必须要求学生要有“步步有据”的意识，真正做到“想的清楚，说的明白，写的干净”。 （2）善举例 例1 若ab1，P=则正确的是_. RPQ PQR QPR PRb1的条件

10、。 此时,容易得到PQR. 于是便可以把、项排除而选择。 两种不同的思维和解决问题的方法从不同的角度考查了演绎推理。 （3）重设问 例2（I）已知数列cn，其中cn=2n+3n，且数列cn+1-pcn为等比数列，求常数p； （II）设an、bn是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn，证明数列cn不是等比数列。 第（II）问研究的是三个数列an，bn，cn之间的关系，设问的方式虽是证明，但证明的不是“是什么”，而是否定形式，证明的结论是“不是等比数列。”这一字之差在思维能力的要求上一下子就提高了一大步。首先要搞清楚四种命题及其关系，本题所要证明的是一个命题的否定形式，而不是否命题。在搞清了

11、这个问题之后，还需要进一步明确怎样证明一个命题的否定形式，也就是怎样否定一个命题。我们知道要证明一个命题在一般情况下不成立，则只需证明在某一种情况下不成立，即举出一个反例即可。在本例中证明数列cn不是等比数列，没有必要证明对任意自然数n，等式都不成立，而只需证明这个等式对某一个自然数n不成立即可。于是选n=1，证明即可得到cn不是等比数列的结论。 2、归纳推理 归纳推理和演绎推理是两种不同的思考和推理方法，归纳推理是一种由旧事物发现新事物的推理方法，是创造力的一种成分。虽然数学知识是一个演绎的体系，并且演绎推理是数学研究和学习的重要方法，但归纳的方法是获得数学结论的一条重要的途径。运用不完全归

12、纳法通过观察、实验，从特例中归纳出一般结论，形成猜想，然后加以证明，这是数学研究的基本方法之一，是学生应当学习、理解的。 归纳推理可以划分为完全归纳和不完全归纳两种。包括了所有可能情况的归纳称为完全归纳。数学归纳法就是一种完全归纳法。不能把归纳推理与数学归纳法等同起来。归纳推理是一种解决数学问题的方法，是由特殊到一般的思维飞跃，它的主要思维程序应该是“实验猜想”，其中实验是对个例的研究，而猜想是归纳总结，是一种发现，从思维的结果看，就是创造发明。因此我们把猜想这一步看得更重要，没有猜想出来的结论，就谈不上对这个结论的证明。为了强调归纳推理中的猜想发现，命题人在设计试题时，常采用填空题，以突出猜

13、想发现而淡化证明，这是考查归纳推理的一种重要方式。 3、直觉思维 数学思维主要是逻辑思维，逻辑思维操作的对象是概念，并严格遵循形式逻辑推理的规则。直觉思维区别于逻辑思维的重要特征就是在没有经过严格的逻辑推理之前，迅速对事物作出判断，得出结论。而这种结论还需要严格的逻辑证明。事实上，直觉思维得出的结论并不是主观臆断，而是以扎实的知识为基础，以对事物敏锐的观察、深刻的理解为前提的。 逻辑思维与直觉思维是两种基本的思维形式。逻辑思维在数学中始终占据着主导的地位，而直觉思维又是思维中最活跃、最积极、最具有创造性的成分。逻辑思维与直觉思维形成了辩证的互补关系，它们的辩证运动构成了完整的数学思维过程。直觉

14、思维为演绎思维提供了动力并指示着方向，逻辑思维则对直觉思维作出检验与反馈，是直觉思维的深入和精化。 4、数学语言 语言是思维的载体，思维需要用语言或文字来表达。数学语言是数学特有的形式化符号体系，依靠这种语言进行思维能够使思维在可见的形式下再现出来。数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言。在试题中主要是文字语言，辅之以图形语言。文字语言包括日常生活的语言，还有数学学科内的特殊语言。高考中考核的重点是文字语言，并要求考生能够根据实际情况进行各种语言间的转换。对语言的考查包括两方面的要求：一是要求考生有一定的语言表达能力，能清楚、准确、流畅地表达自己的解题过程，并要求表达合乎条理，层次清楚，合乎

15、逻辑，准确规范地使用名词、术语和数学符号，书写清楚；另一方面，要求考生读懂题目的叙述，把所给的文字和数学符号翻译成数学关系输入大脑，以便于大脑加工。三、运算训练重在“合理” 运算能力主要是数与式的组合与分解变形的能力，包括数字的计算、代数式和某些超越式的恒等变形、集合的运算、解方程与不等式、三角恒等变形、几何图形中的计算等。运算结果具有存在性、确定性和最简性。 高考对运算能力的考查提出了三个方面的要求：会根据法则、公式，进行数、式、方程的正确运算、变形和处理数据；能根据问题的条件，寻求设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算。 1、运算的准确 运算的准确是对运算能力的基本要

16、求。在填空题中，一步算错，整题失分；在解答题中，某步出错，后继部分随之有误，最多只能得一半的分数。 影响运算准确的因素是多方面的，只要在运算全过程的某一个环节出现问题，就会导致整个运算的错误。在高考中重点强调的是：在运算过程中使用的概念要准确无误，使用的公式要准确无误，使用的法则要准确无误，最终才能保证运算结果的准确无误。 2、运算的熟练 运算的熟练是对考生思维敏捷性的考查。在高考中考查运算能力，一般不是增大每题的运算量，而是通过控制每题的运算量，给考生以充裕的时间去想怎么算，而不是把时间花在冗长的计算过程和书写上，过难过繁的计算消耗考生的时间和精力，将会影响对基本概念、方法和其他实际能力的考

17、查。随着计算机技术的发展和普及，只要能设计出运算程序，计算机能够完成一切计算，而且高效、快捷、准确。因此，运算能力的考查重点是放在考查算理以及运算方向的判断、运算途径的选择上，还有相关的字母和代数式的运算，因为这些是要靠人的思维去解决。 3、运算的合理 运算的合理性是运算能力的核心。一般一个较复杂的运算，往往是由多个较简单的运算组合而成的。如何确定运算目标？怎样将各部分有机地联系在一起？这是运算合理性的主要标志，是运算能力的体现。 运算的合理性表现在运算要符合算理，运算过程中的每一步变形都要有依据，或依据概念，或依据公式，或依据法则，可以说运算的每一步变形都是演绎法的体现。 运算的合理性还表现

18、在运算途径的选择。合理选择运算途径不仅是运算迅速的需要，也是运算准确性的保证，运算的步骤越多，越烦琐，出错的可能性也会增大。因而，根据问题的不同条件和特点，合理选择运算途径是提高运算能力的关键。 例3 已知 求的值。 评述 三角计算求值的问题，试图通过三角恒等变换达到考查运算能力的目的。主要体现在如何选择公式，如何确定运算方向，怎样确定运算路径，从合理进行运算的角度来考查运算能力。 分析已知和所求，从两个角之间的关系入手确定运算路径。角与有如下关系： = = 关系简捷明朗，但在由已知求的过程中，需要先求出，和的值，关系比关系要复杂一些，但在求的过程中，只须求出和即和的值。再往下分析，由的值求、

19、容易还是求、容易？由于=，自然是求角的正余弦容易。到此运算的方向基本确定。 运算能力的主要标识不在运算的本身，而是运算方向和运算路径的确定。运算目标在运算过程中起到了十分重要的作用。没有运算目标的指引，合理的运算路径就很难形成。 4、运算的简捷 运算的简捷是指运算过程中所选择的运算路径短、运算步骤少、运算时间省，运算的简捷是运算合理性的标志，是运算速度的要求。 高考对运算简捷性的考查，主要体现在运算过程中概念的灵活应用，公式的恰当选择，数学思想方法的合理使用，尤其是数学思想方法，可以简化运算，提高速度。其中数形结合的思想，函数与方程的思想，等价转化的思想，换元法等数学思想方法在简化运算中都有重

20、要的作用。四、变式教学重在“理解” 变式教学是高三数学复习课经常采用的一种方法，其目的是对知识与方法达到深入的理解。在变式教学中，数学认知理解水平要经历三个层次：其一，操作性理解，即学生懂得了数学的基本概念、原理和方法，能够运用所学知识解决一些识记性与操作性步骤比较强的问题；其二，内联性理解，即学生对数学知识的本质有比较深刻的认识，能够把握数学知识之间的内在联系和规律，能够运用所学知识解决一些综合性问题；其三，应用性理解，即学生深刻理解数学知识，能够将数学思想方法以及所学数学知识迁移到别的情景，能够灵活运用数学知识解决问题。 例 求函数在区间上的最大值和最小值。 变式1： 问1：若函数在区间上

21、的最大值是2，求实数t的值。 问2：设函数在区间上的最小值是，求的解析式。 变式2： 问3：求函数（a为实常数），在区间（e为自然对数的底数）上的最小值及相应的x值。 问4：已知函数，当时，求函数的最大值的表达式。 只有这样的变式教学才是本质的变式教学。五、一题多解重在“通法” 一题多解是培养学生解题能力以及发散性思维的好方法，但应把握度。其前提是必须考虑到学生的可接受性，全体学生能在教学时间内能够掌握的通法必须讲，而且要讲清讲透。所谓通法，就是“一把钥匙打开千把锁”的方法。某些入口窄、思路独特的方法、特殊技巧方法只适合个别优生学懂的，可少讲或在课堂上不讲。教学力求体现层次性，要兼顾不同层次的学生，给学生构建一条“能走的走、能跑的跑、能飞的飞”的多维发展轨道。 例4 给定