06第六章勒让德多项式.ppt

1、第六章 勒让德（Legendre）多项式,特殊函数之二,1 Legendre方程的导出,6.1 Legendre方程及其求解,引例：求解下列问题,用分离变量法求解。令,在球坐标下方程为,代入方程得,n为实数或复数,Euler方程,连带的勒让德方程,勒让德方程,2. Legendre方程的解,用幂级数法求解该方程。由常微分方程理论，设方程的解为,各阶导数为,代入方程，整理，得,注意,于是由幂级数展式的唯一性，有,于是,其中为任意常数，则方程的解为,由的任意性知，下列两个函数也是方程的解：,的性质：,（）线性无关，故得到了Legendre方程的通解,（）收敛区间均为（，），在端点发散，因而Lege

2、ndre方程在-1,1内没有有界解。,（3 ）当n是正整数时，一个解为多项式Pn(x)，在-1,1有界，另一个仍为无穷级数，记为Qn(x)，在-1,1内无界，通解为,Qn(x)称为第二类Legendre函数。,6.2 勒让德多项式,讨论勒让德方程中的参数n，考察系数递推关系式,情形（）当n不取整数时，若不为零，则不为零，这时均为无穷级数，且收敛域为（-1, 1）,情形（）当n取整数（包括零）时，中有一个是多项式，另一个是无穷级数。,举例分析,1. Legendre多项式,如n=4，这时,如n=-4，这时,如n=5，这时,不妨取n为非负整数，那么对应多项式结构如何？这时,取，代入上式，并化简得,

3、分析n的奇偶性：,当n为偶数时，有系数，对应多项式,为关于x的偶次方的多项式,当n为奇数时，有系数，对应多项式,为关于x的奇次方的多项式,n次Legendre多项式,统一写法，有,称为n次Legendre多项式或第一类Legendre多项式,Legendre多项式微分形式或称为罗德利克公式：,前几次Legendre多项式及其图形,注意其定义域,2. Legendre多项式的母函数,证明：,称为w(x, z) 为Pn(x)的母函数。,对函数w(x, z) ，当时，在单位圆 内是,解析函数，于是由复变函数理论，将w(x, z) 展成幂级数,其中,C是单位圆内包含原点z=0的任何封闭曲线。,做自变量

4、代换 ，即,则,显然，z平面上的点O对应于u平面上的点x，z沿C一周，相应的u绕点x也沿某闭曲线C一周，因此,又,于是,3. Legendre多项式的性质,x=1,x=-1,x=0,基本性质,以-x代 x,以-z代 z,奇偶性,递推公式,整理得,即,整理得,正交性,在-1,1上正交，即,先证明：,所以,证毕,例1计算,例2计算,解,故,4. Fourier-Legendre级数,结论：若在内分段光滑，且则在连续处有,其中,在不连续处有,解 ：设,例2：将 在-1,1内展成勒让德多项式的级数形式,则,故,例3：将 在-1,1内展成勒让德多项式的级数形式,解 ：设,则,由奇偶性知,故,4. Leg

5、endre多项式的应用,例1(球形域内的电位分布) 在半径为1的球内求调和函数u，使它在球面上满足 。,解：根据边界条件知所求函数与变量 无关，采用球坐标系，数学模型为：,用分离变量法。令 ，代入方程，得,当n不是整数时，方程没有有界解；当n为非负整数时方程通解为 ，要保证有界，必有B=0，于是,Legendre方程,求固有值问题,固有值为n=0，1，2，,固有函数为,要使Rn有界，必有Dn为零，所以,由叠加原理，方程得解为,即,由边界条件 得：,而,所以,故原问题的解为,Euler方程,Matlab中命令：,y=legendre(n,x),列向量，元素分别为m=0，1，2，n时的函数值。,自变量,连带Legendre多项式 ，其中 是 的m阶导数。,可见y(1)为我们这里介绍的Legendre多项式的值。,例如做前几阶Legendre多项式图形。,function zuotu x=-1:0.01:1; y1=legendre(1,x); y2=legendre(2