《函数的奇偶性》PPT课件.ppt

1、函数的奇偶性,书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟,少 壮 不 努 力 ，老 大 徒 伤 悲,成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话,天才就是百分之一的灵感加上百分之九十九的汗水！,教学目标,奇函数的概念；,偶函数的概念；,函数奇偶性的判断；,【重点】函数奇偶性的概念,【难点】函数奇偶性的判断,【教法】自学辅导法、讨论法、讲授法,【学法】归纳讨论练习,【教学手段】多媒体电脑与投影仪,引 例,1.已知函数f(x)=x2,求f(-2),f(2), f(-1),f(1),及f(-x) ,并画出它的图象,解:,f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4 f(-2)=f(2),f(-1)

2、=(-1)2=1 f(1)=1 f(-1)=f(1),f(-x)=(-x)2=x2 f(-x)=f(x),思考 :(1)这两个函数图象有什么共同特征吗？ (2)从解析式上如何体现上述特征？,偶函数的特征:,解析式的基本特征：,f (-x)=f (x),图像特征:关于y轴对称.,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数(even function).,1. 偶函数的概念,2.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2),f(2), f(-1),f(1)及f(-x),解:,f(-2)=(-2)3=-8, f (2)=8 f(-2)= -

3、 f(2),f(-1)=(-1)3=-1, f(1)=1 f(-1)= - f(1),f(-x)=(-x)3=-x3 f(-x)=- f(x),思考 : 通过练习,你发现了什么规律?,(-x,-y),(x,y),奇函数的特征:,解析式的基本特征：,f (-x)=-f (x),图像特征:关于原点对称.,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function).,2.奇函数的概念,如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.,(1)奇、偶函数定义的逆命题也成立,即若f(x)为奇函数, 则f(-x)=

4、f(x)成立.若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立.,(2)判断函数是否具有奇偶性.首先要看函数的定义域是否关于原点对称,即函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提,注意事项,注意：,(1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;而函数的单调性是函数的局部性质.,(2)由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称),(3)奇、偶函数定义的逆命题也成立，即 若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立. 若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有

5、成立.,(4)如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.,注：1.奇、偶函数的定义域一定关于原点对称.,例1.判断下列函数的奇偶性,定义域不对称的函数无奇偶性，既不是奇函数也不是偶函数。,例2. 函数 是定义在 上的偶函数,则该函数的值域是_.,例3.判断下列函数的奇偶性,定义域对称的非零常数函数仅是偶函数,而零函数既是奇函数又是偶函数.,2.奇偶函数图象的性质:,(2)偶函数的图象关于y轴对称.反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数为偶函数,.,奇偶函数图象的性质可用于： 判断函数的奇偶性. 简化函数图象的画法,(1)奇函数的图象关于原点对称.反

6、过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数.,如:f(x)为偶函数,且其图象与x轴有四个交点,求方程f(x)=0的所有实根之和,例1. 判断下列函数的奇偶性,(1) f(x)=x3+2x； (2) f(x)=2x4+3x2；,解:,f(-x)=(-x)3+2(-x),= -x3-2x,= -(x3+2x),= - f(x)，,f(x)为奇函数,f(-x)=2(-x)4+3(-x)2,=2x4+3x2,f(x)为偶函数,函数定义域为R,解:,函数定义域为R,= f(x)，,巩固双基,解:函数定义域为R,f(x)为奇函数,有既奇又偶的函数来吗？,解:函数定义域为 0 ,+) 定义域

7、不关于原点对称， f(x)为非奇非偶函数,(6) f(x)=x+1,解:函数f(x)的定义域为R f(-x)=f(x)=0， 又 f(-x)=-f(x)=0， f(x)为既奇又偶函数,(5)f(x)=0 (xR),根据奇偶性, 函数可划分为四类:,奇函数;偶函数; 既奇又偶函数; 非奇非偶函数.,解:函数定义域为R f(-x)= -x+1， - f(x)= -x-1, f(-x)f(x),且f(-x) f(x). f(x)为非奇非偶函数.,判定函数的奇偶性的步骤： (1)先求函数的定义域； 若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为非奇非偶函数. 若定义域是关于原点对称的区间,进入第二步; (2

8、)计算f(x)化向 f ( x ) 的解析式； 若等于 f ( x ),则函数是偶函数, 若等于f ( x ),则函数是奇函数, 若不等于 ,则函数是非奇非偶函数 (3)结论.,有时判定f(-x)=f(x)比较困难,可考虑判定f(-x)f(x)=0或判定f(x)/f(-x)=1.,练习2.判断下列函数的奇偶性,f(x)为奇函数.,解:定义域为x|x0,即 f(-x)= - f(x),(3)f(x)=5,解:f(x)的定义域为R. f(-x)=f(x)=5,f(x)为偶函数.,(4)f(x)=|x+1|-|x-1|,f(x)既是偶函数, 又是奇函数.,解:函数的定义域为-1,1,例4.若函数 是

9、偶函数,求m的值.,复习回顾,1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x , 如果都有f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数. 如果都有f(-x)=f(x) f(x)为偶函数.,一个函数为奇函数它的图象关于原点对称.,一个函数为偶函数它的图象关于y 轴对称.,2.两个性质:,3.判断函数奇偶性的步骤 考查函数定义域是否关于原点对称； 判断f(-x)f(x)之一是否成立； 作出结论.,作业:课本P42 练习2， P4610,2.设y=f(x)为R上的任一函数,判断下列函数的奇偶性: (1). F(x)=f(x)+f(- x) (2)F(x)=f(x)-f(-x),课堂作业,课外作业,学案P.22-23,例3.已知f(x)是奇函数,当x0时,f(x)