特殊无穷维矩阵Hamilton算子的探讨

1、特殊无穷维矩阵Hamilton算子的探讨收稿日期：作者简介: 贾利东(1984-), 男, 计算数学专业, 研究方向：应用数学，2011级在读硕士研究生.通讯联系人: 任文秀副教授, 基金项目：内蒙古自然科学基金项目（No.2014MS0115）贾利东, 任文秀, 张育红(内蒙古工业大学理学院, 呼和浩特 )摘要: 本文在原有标量Hamilton算子的基础上, 构造且证明了三类不同阶数的矩阵Hamilton算子的形式, 并得到以上算子与已给定的Hamilton算子形成了三个特殊Hamilton算子对的结论, 同时总结了本文工作的不足与困难.关键词

2、：微分形式; 无穷维矩阵Hamilton算子; Hamilton算子对中图分类号:O175 文献标识码:A0 引言近年来, 对于发展方程而言, 专家们更热衷于它的另一种形式, 即其无穷维Hamilton体系, 且该系统往往对孤子系统, 超动力系统, 超守恒律, 孤波解等科研领域的分析与研究起着至关重要的作用. 因此, 将发展方程化为无穷维Hamilton形式成为首要问题. 而无穷维Hamilton系统主要由Hamilton算子决定, 于是我们描述Hamilton算子的形式显得尤为重要. 在国内外，关于无穷维Hamilton算子研究状况如下:第一, Weinstein给出了证明达布定理的想法，即

3、先将Hamilton算子转换成常系数的,再将其化为正则形式, 详见文献1; 第二, Olver P.J.和D.B.Cooke.研究了低阶标量Hamilton算子的形状,详见文献1,2; 第三, D.Talati ,R.Turhan等学者给出了某些方程拥有双Hamilton结构, 同时还讨论了算子对的相容性条件.详见文献3,4,5,6; 第四, 黄俊杰等人研究了Hamilton算子的谱. 详见文献7等.考虑无穷维Hamilton系统的问题，学术界常常类比有限维Hamilton系统的研究方法，用到的研究手段是: 泊松括号与微分形式. 其中判断无穷维Hamilton算子成立的难点就是需要验证其雅克比

4、恒等式这个条件的满足. 由于对于无穷维Hamilton算子开展工作，计算过程如果用到泊松括号，一般都很繁琐，故本文主要利用微分形式的语言来探讨. 于是我们第一步工作是对本文中用到的低阶标量微分算子做出讨论: 算子成为Hamilton算子的条件进行了探讨; 算子成为候选Hamilton算子的必要条件进行了分析; 第二步工作是在此基础上构造了二、三阶矩阵Hamilton算子,以及给其 Hamilton算子找到了相应的特殊算子进而形成Hamilton算子对.1 本文主要结果在对标量微分算子的已有结论进行总结和推广的基础上, 详见文献8. 本节主要构造出三个矩阵Hamilton算子的形状，进而研究了H

5、amilton算子对.1.1矩阵Hamilton算子的讨论本小节基于标量Hamilton算子,的启发, 主要阐述三类矩阵Hamilton算子的形状.具体结论如下:命题1若算子具有以下形式其中,则一定是Hamilton算子.证明：由于算子满足下式故算子为斜伴随算子. 下证算子满足下面的式子 对应的泛函双向量为其中, 和是分别对应于和的单位向量. 由于故得因为从而因此, 当,时, 为Hamilton算子 .命题2若算子具有以下形式 其中则一定是Hamilton算子.证明：首先证明为斜伴随算子其次,验证算子满足下面的式子该算子所决定的泛函双向量为其中,和是分别对应于和的单位向量.而故得由于所以因此,

6、 当时, 为Hamilton算子.命题3若算子具有以下形式其中，则一定是Hamilton算子.证明：因为算子满足:所以算子为斜伴随算子. 于是只需证明算子满足下式算子的泛函双向量为其中, ,是分别对应于,的单位向量. 由于故得又因为从而即, 当时, 为Hamilton算子.1.2矩阵Hamilton算子对的结论本小节在上一节的基础上, 描述了以下两个矩阵Hamilton算子和与已讨论的Hamilton算子,()形成Hamilton算子对. 具体结论如下:命题4矩阵Hamilton 算子和形成Hamilton 算子对.证明：由于和均为Hamilton算子, 于是只需证明下式成立算子所决定的泛函双

7、向量其中,和是分别对应于和的单位向量.于是 又由于矩阵算子是常系数的, 所以可得,综上可知, 命题成立.命题5矩阵Hamilton 算子和形成Hamilton 算子对.证明：由于和均为Hamilton 算子, 故只需验证下面的式子成立所对应的泛函双向量为其中, 和是分别对应于和的单位向量. 因为矩阵算子是常系数的, 所以故, 只需证下面的式子成立即可.而于是因此,得证.命题6矩阵Hamilton 算子和形成Hamilton 算子对.证明：因为算子和都是Hamilton算子, 算子的泛函双向量为其中, ,是分别对应于,的单位向量. 从而有,于是而矩阵算子是常系数的, 所以可得,因此, 有下面的式

8、子即命题成立.3结语本文主要利用微分形式描述了三类无穷维矩阵Hamilton算子及Hamilton算子对. 但本文只讨论了几类简单形式的Hamilton算子, 原因是: 微分形式的技巧比较灵活; 判断无穷维Hamilton算子的方法较少; 计算量太大, 计算手段薄弱; 判断Hamilton算子对的定理较少.今后我们可能值得讨论的问题有: (1)较复杂的候选矩阵Hamilton算子; (2)Hamilton算子对的配对问题; (3)研究已有Hamilton算子的谱; (4)寻找已有Hamilton算子所对应的方程.参考文献: 1 Olver P.J. Darboux theorem for Ha

9、miltonian differential operatorsJ. Differetial Equqtions 1988, 71(1):10-33.2 D.B.Cooke. Classification results and the darboux theorem for low-order Hamilton operatorsJ. Math.Phys, 1991, 32(1): 109-119.3 Olver P.J. Canonical forms and integrability of bi-Hamiltonian systemsJ.Physics Letters A. 1990,

10、 148(3,4):177-187.4 D.Cooke.Compatibility conditions for Hamiltonian pairsJ. Math.Phys. 1991, 32(11): 3071- 3076.5 R.Turhan. Infinite-Hamiltonian structures of the Riemann equationJ.Phys.2006,30:445-450.6 D.Talati,R.Turhan. On a recently introduced fifth-order bi-Hamiltonian equation and trivially r

11、elated Hamiltonian operatorsJ.SIGMA.2011.7 黄俊杰. 无穷维Hamilton 算子的谱与半群生成定理D. 呼和浩特:内蒙古大学.2005.8 贾利东. 无穷维Hamilton系统形式化及其算子的研究D. 呼和浩特:内蒙古工业大学.2014.Discussion onspecialinfinite dimensional matrixHamilton operatorsJiaLi-dong, Ren Wen-xiu, ZhangYu-hong(School of Sciences, Inner Mongolia University of Technology, Hohhot , China)Abstract: This paper gives the forms of three kinds of different order matrixHamilton operators on the basis of the originalscalar Hamilton operator. And getthree specialmatrixHamilton operators,form the Hamilton operator pairs wit