理论力学第三章题解

1、理论力学题解第三章 思考题3.1. 仅(4)式正确. 3.2. 甲正确. 乙错在角度不可以定义为从动线指向定线. 3.3. 乙的方程正确. 甲错在空气阻力亦应为，取负值，取正值. 3.4. 仅对固定方向才有动量守恒的分量形式. 径向和横向均不是空间固定方向. 3.5. (1)对；(2)错. 3.6. 一质点动量守恒，则对空间任一固定点角动量守恒. 质点对空间某一固定点角动量守恒，其动量不一定守恒. 3.7. 质点作匀速直线运动时，其动量和角动量均守恒. 3.8. 动能定理是标量方程，不可能投影而得出分量方程. 但是正确的. 仿照动能定理的导出，用乘牛顿第二定律的分量方程即可证明. 第三章 习题

2、3.1. 力为时间的函数，积分两次可得，其中，. 3.2. 以地心为原点，建立轴经抛出点竖直向上. 质点受万有引力沿轴负方向. 所以. 因为，故. 故有. 做变换，则. 积分并用时，定积分常数，得到. 质点达最大高度时，可求出. 三点讨论：(1)令，对应为第二宇宙速度. (2)若，则回到重力场模型所得结果. (3)题中不考虑地球自转及空气阻力，均不大合理，试进一步讨论之. 3.3. 质点运动微分方程为（轴竖直向上）；上升阶段，下降阶段. 3.4. 可参见例题3. 令，电子运动微分方程为， （1）， （2）. （3）对（2）式求导，利用（1）式得，解出. 时 故，由，且时，故，则. 积分得. 代

3、入（1）式积分可得. 3.5. (旋轮线是如图圆轮在直线上作无滑滚动时点的轨迹，曲线上点切线方向即为轮上点速度方向. 因无滑，为瞬心，故点切线与垂直，因此可知点切线与轴夹角为. )以曲线最低点()为自然坐标原点，弧长正方向与一致. 质点运动微分方程为. 对曲线参数方程求微分，得和，所以，积分并用时定积分常数，得. 代入质点运动微分方程消去，得到，作简谐振动而具有等时性. 其解为，与振幅无关. 3.6. 小球运动微分方程为， （1）， （2）. （3）由（3）式求出，代入（2）式求出，再由（1）式求出. 3.7. 珠子的运动微分方程为， （1）， （2）， （3）（约束方程）. （4）把（2）、

4、（3）、（4）式代入（1）式，作变换，可求出. 3.8. 以椭圆最低点为自然坐标原点，弧长正方向指向小球初始位置，为切向与水平方向的夹角，小球的运动微分方程为， （1）. （2）竖直向上，将代入（1）式得，积分可求出小球达最低点时. 由轨道方程求出当时，由公式可求出. 再由（2）式求出时. 3.9. ，. 3.10. 由运动学方程求出，根据定义即可求出，. 3.11. 由对轴的角动量定理，积分可得，求出. 将角动量定理化为，积分可以求得（圈）. 3.12. (1)由动能定理. (2)用曲线积分算，把轨道参数方程代入，则曲线积分化为对的积分，可得同样结果. 3.13. 珠子的动能定理为，参见3.7提示. 3.14. 因机械能守恒，小球动能不变，因此. 过点作轴竖直向上(垂直纸面向外)，质点对轴的角动量. 质点所受对轴力矩. 由对轴的角动量定理得. 由于，. 故. 将它代入角动量定理方程，得到. 而，所以. 3.15. 当时势能存在，要求. 以原点为势能零点，则. 3.16. ，故为有势场. 3.17. . 故