矩阵论答案习题

1、 习 题 1.1 1. 解： 除了由一个零向量构成的集合可以构成线性空间外，没有两个和有限（m）个向量构成的线性空间，因为数乘不封闭（k有无限多个，kp数域）. 2. 解：是；不是，因为没有负向量；不是，因为存在两向量的和向量处在第二或第四象限，即加法不封闭；是；不是，因为存在二个不平行某向量的和却平行于某向量，即加法不封闭.3. 解： 不是，因为 当kQ或R时，数乘k不封闭； 有理域上是；实数域上不是，因为当kR时，数乘k不封闭. 是； 是； 是； 不是，因为加法与数乘均不封闭.封闭性：加法和数乘4. 解：是，因为全部解即为通解集合，它由基础解系列向量乘以相应常数组成，显然对解的加法与数乘运

2、算满足二个封闭性和八条公理.5. 解：（1）是线性空间；（2）不是线性空间（加法不封闭；或因无零向量）.6. 解：（1）设A的实系数多项式的全体为显然，它满足两个封闭性和八条公理，故是线性空间.（2）与（3）也都是线性空间.7. 解：是线性空间.不难验证，是线性无关的，且任一个形如题中的三角多项式都可由它们惟一地线性表示，所以它们是V中的一个组基.由高等数学中傅里叶（Fourier）系数知.8. 解： 不是，因为公理2不成立：设r=1, s=2, =(3, 4),则 (r+s)(3, 4)= (9, 4), 而 r(3, 4) s(3, 4)=(3,4) (6, 4)= (9, 8),所以 (

3、r+s)rs. 不是，因为公理1）不成立：设= (1,2) , = (3,4) ,则=(1,2) (3,4) = (1,2), = (3,4) (1,2) = (3,4) , 所以 . 不是，因为公理2不成立：设 r=1, s=2, =(3,4) ,则 (r+s) =3(3, 4)= (27, 36) 而rs=1(3,4)2(3,4)=(3, 4)(12, 16)= (15, 20), 于是 (r+s) rs. 是.9. 证 若，则另一方面， 因此 ， 从而有于是得 .10. 解：先求齐次方程组的基础解系 =(3,3,2,0) , =(-3,7,0,4),即为解空间V的一组基. 所以， dim

4、 V=2.11. 解：考察齐次式 即 , 得线性方程组 由于系数行列式不等于零，那么只有 时 , 上述齐次式才对 x 成立，所以 , , 线性无关，且任二次多项式都可惟一地用它们来表示(因为相应的非齐次方程组有惟一解)，故为基. 令 得 , 即坐标为 ( 3, -1, 3 ) .12. 解： 因为 ()=()C , 故 C =()() = = . 显然，向量在基下的坐标为 X =(,), 设在基下的坐标为 Y=(, 则 Y=C = = = B X 如果 X = Y , 则有 X= BX ,即得齐次方程组 ( I- B)X=0 , 求其非零解为 X = k (1, 1, 1, 1 ) , kR

5、, 即为所求 .13. 解： (1) 对；令，其中，其余的，则为上三角矩阵空间的一组基，维数为.（2）R+中任意非零元素都可作R+的基，dim R+=1.（3）I，A，A2为所述线性空间的一组基，其维数为3.14. 解： （1）由已知关系式求得 于是，由基（I）到基（II）的过渡矩阵为（2）在基（II）下的坐标为（2，-1，1，1）T，再由坐标变换公式计算在基（I）下的坐标为 C（2，-1，1，1）=（11，23，4，-5）.（3）不难计算得det（1IC）=0，所以1是C的特征值.不妨取过渡矩阵C的对应于特征值1的一个特征向量为，则有C=1，那么0，再由坐标变换公式知，在基（I）下的坐标为=

6、C=，即存在非零，使得在基（I）和基（II）下有相同的坐标.15. 解：不难看出，由简单基E11，E12，E21，E22改变为基（I）和基（II）的过渡矩阵分别为 ， 则有（B1，B 2，B 3，B 4）=（E11，E12，E21，E22）C2=（A1，A 2，A 3，A 4） C 2故由基（I）改变到基（II）的过渡矩阵为 .16. 解：（1）由简单基1，改变到基（I）和基（II）的过渡矩阵为 ， 故由基（I）改变为基（II）的过渡矩阵为 （2）设在基（I）和基（II）下的坐标分别为，则有且，即有，该齐次方程组的通解为,R.于是，在基（I）和基（II）下有相同坐标的全体多项式 为 .17.

7、解： 设R的子集合为L，对任意L，有, ，对任意， , 有 又 , 所以 L , L ,因此 L是V的子空间. 对任意 L，, , 有 , 故 于是可知 L，因此L不是V的子空间.18. 解： 的基为的一个最大无关组，在基下的坐标依次为 (1, -2, 3), (2 , 3 , 2) , (4, 13, 0 )该列向量组的一个最大无关组为 (1, -2, 3), (2 ,3 ,2).因此，的一个最大无关组为 ，即的一个基为. 19. 解：（1）因为，所以V1非空.设A，则有AP=PA，BP=PB.又因为（A+B）P=AP+BP=PA+PB=P（A+B），（kA）P=k（AP）=k（PA）=P（

8、kA） （R），所以，故V1是的子空间.（2）取， B，则det A=det B=0，从而，但，所以，故V1不是子空间.又，从而，所以，故V2也不是子空间.20. 证：因为（2，-1，3，3）=（-1）（1，1，0，0）+3（1，0，1，1），（0，1，-1，-1）=（1，1，0，0）+（-1）（1，0，0，1）即生成的子空间有相同的基，所以它们生成的子空间相同.21. 解： (1) 设，则由AP=PA可得齐次方程组 求得基础解系为（1，-3，0，0）T，（1，0，0，1）T，从而V1的基为，dimV1 =2 .(2) V1的矩阵一般形式.22. 证：若V1的维数为0，则V1与V2都是零空间，

9、当然相等；若V1的维数是，由于，故V1的任一组基都是V2的线性无关组.又因V2与V1的维数相同，故这个线性无关组也是V2的一组基，即V1与V2有相同的基，因此V1=V2.23. 解：设，则有 由此相加或相减可得，从而，故得 .但（1，0，-1，0），（0，1，0，-1）线性无关，即为所求的基.24. 解：（1）设，则，,因为，所以，又，所以V是R的子空间.（2）在V中取，它们线性无关.因为即，于是，因此，V的一组基为A1，A2，A3，从而dim V=3.25. 解：（1） , , 故交的维数为2+2-3=1，交的一组基为（-5，2，3，4）T，和的维数 为3，为一组基.（2） , 故交的维数为1，基为；和的维数为4，为一组基.26. 证：（1）设，且, 则 （k是数）即与在两组基下的坐标也是相同的，所以， ，故V1是子空间.（2）因V中每个向量在两组基下的坐标相同，所以基向量在下的坐标为（0，0，1，0，0）它也应为在下的坐标，于是有 .27. 证：设,容易验证V1与V2都是V的子空间.对任意有 且，所以.因为即，所以，则.28. 证：由齐次线性方程组的理论可推知V1是n-1维的，且有基（-1，1，0，0），（-1，0，1，0，0）