概率统计 84-91

1、,参数估 计问题,假设检 验问题,点 估 计,区间估 计,1,设总体分布含有一未知参数，又x1,x2,xn为来自于总体的样本，若对于给定(01)，统计量1(x1,x2,xn)和2(x1,x2,xn)满足,则称区间1,2为相应于置信度是1-的置信区间，简称置信区间。,一、置信区间,第三节 置信区间,1,2分别称为置信下限和置信上限. (1-)称为置信度。,注意：区间1,2是随机区间。,二、单侧置信限,若对于给定的(01),统计量 1(x1,x2,xn)满足,3,则称区间1,+)为相应于置信度是1-的单侧置信区间，1称为置信度是1-的单侧置信下限。类似，满足下式,问题: 如何确定总体参数的区间估计

2、1,2呢？对于一般总体是难于确定的.现仅能确定正态总体N(,2)中参数,2的区间估计这对许多实际应用已经够了.,的2为单侧置信上限。,第四节 正态分布均值和方差 的区间估计,5,设总体XN(,2)，其中2已知，又X1,X2,Xn为来自于总体的样本。,一. 均值EX的区间估计 下面分两种情况进行讨论。 1.方差DX已知，对EX进行区间估计,由第七章第三节中的结论可知,于是,6,即,由标准正态分布可知，对于给定的，可以找到一个数z1-/2 ，使,7,当0.05时,查标准正态分布表得临界值,此时的置信区间是,即为的置信区间。称z1-/2为在置信度1-下的临界值，或称为标准正态分布的双侧分位点。,区间

3、,当0.01时,查标准正态分布表得临界值,此时的置信区间是,9,例1. 已知某种滚珠的直径服从正态分布，且方差为0.06，现从某日生产的一批滚珠中随机地抽取6只，测得直径的数据（单位mm）为 14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 试求该批滚珠平均直径的95置信区间。,解 当0.05时，1-=0.95,查表得,于是,故所求置信区间为,实际应用中往往是D(X)未知的情况。,设x1,x2,xn为正态总体N(,2)的一个样本，由于2未知，我们用样本方差S2来代替总体方差2，,2.方差D(X)未知，对EX进行区间估计,12,U与V独立,根据第七章定理四，统计量,请比较U与T,对给定

4、的，查t分布表可得临界值,使得,14,即,故得均值的置信区间为,当=0.05，n=9时，查t分布表得临界值,因此，在方差2未知的情况下，的 置信区间是,15,例2 : 设有某种产品,其长度服从正态分布，现从该种产品中随机抽取9件,得样本均值 9.28(cm),样本标准差 s0.36(cm),试求该产品平均长度的90置信区间.,解：当=0.1, n=9时, 查t分布表得,于是,故所求置信区间为9.06，9.50。,16,设总体 是来自于总体的样本。现利用样本给出2的置信区间。考虑统计量,二.方差DX的区间估计,由第七章定理三可知，统计量,17,于是，对给定的(01)，查2分布 表，可得临界值 使

5、得,18,因此，当总体N(,2)中的参数为未知的情况下，方差2的置信区间为,19,注意这里选取的临界值,不是唯一的。例如可以选取,顺便指出，的置信区间是,等等。,20,例3.某自动车床生产的零件,其长度X服从正态分布,现抽取16个零件，测得长度(单位：mm)如下： 12.15,12.12, 12.01 , 12.08, 12.09, 12.16,12.03,12.01,12.06 ,12.13 , 12.07 , 12.11,12.08, 12.01 ,12.03 , 12.06 试求DX的置信度为95%的置信区间。,解：经计算,查,分布表得,21,故DX的置信区间为,22,第九章 假设检验(

6、一),23,9.1 假设检验的基本概念,假设检验：对一个或多个总体的概率分布或参数的假设. 所作的假设可以是正确的, 也可以是错误的.,为判断所作的假设是否正确, 从总体中抽取样本, 根据样本的取值, 按一定的原则进行检验, 然后, 作出接受或拒绝所作假设的决定.,24,例1. 某厂有一批产品,按国家规定标准,次品率不得超过4才能出厂。现从中任取10件进行检验(每次取1件，取后放回)，发现有4件次品，问该批产品能否出厂？,1.问题的提出,假设该批产品的次品率为p， 问题：检验假设p4%是否成立？ 利用抽样的结果来判断这一假设是否成立。,25,若以X表示折断力，那么这个例子的问题就化为：如何根据

7、抽样的结果来判断等式：“EX570”是否成立。,例2.某车间生产的一种铜丝，其折断力服从N(570, 64)。现改变生产工艺，并从新产品中抽取10个样品进行测量，得 575.2(N), 问折断力大小与原来是否相同？(假定方差不会改变)。,上述例子的共同特点是：先对总体的参数或总体的分布函数的形式作某种假设H0，然后由抽样结果对假设H0是否成立进行推断。 在数理统计学中，称检验假设H0的方法为假设检验。,27,在假设检验中，通常把那个需要我们去检验是否为真的假设H0称为原假设或者零假设。,如例1中的假设H0：p4%，例2中的假设H0：EX570,等等。例1，例2是对总体参数的假设进行判断，这类问

8、题称为参数的假设检验。,28,检验假设的依据是“小概率事件在一次试验中实际上是不可能发生”原理(概率论中称它为实际推断原理). 它是指 这样一个信念：概率很小的事件在一次实际试验中是不可能发生的。如果发生了，人们宁愿认为该事件的前提条件起了变化。,2.假设检验的基本思想,29,小概率原理又称实际推断原理，它是概率论中一个基本而有实际价值的原理，在日常生活中也有广泛应用。人们出差，旅行可以放心大胆地乘坐火车，原因是火车出事故这事件的概率很小，在一次试验（乘坐一次火车）中，这个小概率事件实际上不会发生的。,30,假设检验的过程,31,假设检验的基本思想,. 因此我们拒绝假设 = 50,m,= 50

9、,抽样分布,H0,32,假设检验所以可行，其理论背景为实际推断原理，即“小概率原理”,33,某厂生产的螺钉,按标准强度为68克/mm2, 而实际生产的螺钉强度 X 服从 N ( ,3.6 2 ). 若 E ( X ) = = 68, 则认为这批螺钉符合要 求,否则认为不符合要求.为此提出如下假设:,现从该厂生产的螺钉中抽取容量为 36 的样本, 其样本均值为 ,问原假设是否正确?,引 例,34,若原假设正确, 则,35,规定 为小概率事件的概率大小,通常取 = 0.05, 0.01,例如, 取 = 0.05 , 则,因此, 可以确定一个常数 c , 使得,36,由,37,显著性水平和拒绝域(双

10、侧检验 ),38,显著性水平和拒绝域(双侧检验 ),39,显著性水平和拒绝域(双侧检验 ),40,由引例可见,在给定 的前提下,接受还是 拒绝原假设完全取决于样本值, 因此所作检验可能导致以下两类错误的产生：,41,H0 为真,H0 为假,正确,正确,第一类错误 (弃真),第二类错误 (取伪),假设检验的两类错误,犯第一类错误的概率通常记为 犯第二类错误的概率通常记为 ,42,H0: 无罪,假设检验中的两类错误 (决策结果),假设检验就好像 一场审判过程,统计检验过程, 错误和 错误的关系,你不能同时减少两类错误!,和的关系就像翘翘板，小就大，大就小,44,希望所用的检验方法尽量少犯错误,但不

11、能完全排除犯错误的可能性. 在样本的容量给定的情形下, 不可能使两者都很小,降低一个, 往往使另一个增大.,假设检验的指导思想是: 控制犯第一类错误的概率不超过 ,然后, 若有必要,通过增大样本容量的方法,减少 .,45,所以,拒绝 H0 的概率为 , 又称为显著性水平, 越大,犯第一类错误的概率越大, 即越显著.,本引例中,犯第一类错误的概率 =P(拒绝H0|H0为真),若H0为真, 则,46,H0 真,H0 不真,47,一般,作假设检验时,先控制犯第一类 错误的概率 , 在保证 的条件下使 尽量地小.要降低 一般要增大样本容量. 本课程仅考虑控制 .,备择假设可以是单侧的,也可以是双侧的.

12、引例中的备择假设是双侧的.如果根据以往的生产情况, 0 = 68.现采用了新工艺,关心的是新工艺能否提高螺钉强度, 越大越好.此时, 可作如下的假设检验:,注 1,注 2,48,右侧检验： 原假设 H0 : = 68；,备择假设 H1 : 68,给定显著性水平 , 根据,可确定拒绝域,49,因而, 接受域,称这种检验为右侧检验.,原假设 H0: = 0 = 68,备择假设 H1: 68,左侧检验,类似可确定拒绝域,因而, 接受域,50,显著性水平和拒绝域(左侧检验 ),51,显著性水平和拒绝域(左侧检验 ),52,显著性水平和拒绝域(右侧检验 ),置信水平,53,显著性水平和拒绝域(右侧检验 ),54,关于零假设与备择假设的选取,H0与H1地位应平等,但在控制犯第一类错误 的概率 的原则下,使得采取拒绝H0 的决 策变得较慎重,即H0 得到特别的保护.,因而,通常把有把握的、