离心率在圆锥曲线中的应用

1、离心率在圆锥曲线解题中的应用裔媛媛 夏慧明(南京师范大学泰州学院数学科学与应用学院, 江苏泰州, )摘要：圆锥曲线的定义是凸显圆锥曲线几何性质的根源，是学习圆锥曲线的基础，在高考中占有举足轻重的地位。本文主要研究了离心率在椭圆、双曲线及抛物线中的应用，并结合具体的实例，进行了详尽的分析讲解。关键词：离心率；椭圆；双曲线抛物线1 引言 圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一定点与到一条定直线的距离之比为常数的点的轨迹。（点不在直线上）当时，轨迹是椭圆；当时，轨迹是双曲线；当时，轨迹是抛物线。从中可看出离心率是圆锥曲线统一定义中的三要素之一，揭示了圆锥曲线中最原始、最本质的数量关系，刻划了其形状特征，

2、反映了其本质属性。涉及到焦点半径、准线的问题，可考虑离心率在解题中的作用。本文主要对离心率在椭圆、双曲线、抛物线中的应用，结合具体例题进行了分析讲解。2 离心率在椭圆中的应用一般情况下，凡涉及到圆锥曲线上点的和两个焦点的问题，可考虑圆锥曲线的第一定义来解决。但也有例外，涉及焦半径、焦点弦的问题时，考虑圆锥曲线的第二定义，利用离心率的数量关系来解题。例1：已知，是椭圆上一点，分别是椭圆上的左右焦点，那么的最大值与最小值的差是多少？分析：因为椭圆方程已知，所以根据椭圆第一定义可设，则，因此 ，此为关于的一元二次方程，但细究会发现的取值范围就存在了问题，最小可以取到的不是无限的向零逼近，于是便无法精

3、确的确定，问题就无法解决。因此可以考虑将，的关系运用椭圆第二定义进行转化，用离心率解题。解：如图1，过P向两条准线做垂线，交两垂线于、两点，由椭圆第二定义可知：设，则，又，则，可知为关于的一元二次方程，且开口方向向下，对称轴为因此，当时，取到最大值；当时，取到最小值；即 的最大值与最小值的差是1。 图 1 图 2 图 3 3 离心率在双曲线中的应用高考填空题中设置有关圆锥曲线的题目时，小题大做的情形屡见不鲜，耗时耗力。更重要的是一旦深陷死胡同，影响心情，降低答题效率。解这类题型，需分析题设，选择简便方法，与椭圆双曲线上的点有关的问题，可考虑利用定义根据点到焦点与到准线的距离比为定值来转化。例2

4、：已知双曲线与点，为右焦点，若双曲线上有一点，使最小，则点的坐标？分析：作为填空题，为求快、简、准，需要推敲题中所给出的数量关系。使最小，那么为什么是？有何价值呢？由双曲线的方程可知是离心率的倒数。由此想到，用双曲线的第二定义求解。解：如图2，双曲线的右焦点，离心率右准线为.作于，交双曲线右支于，连结则有要使最小，由上可知为定值；此时为最小值；在中，令，得，即所求点的坐标为。4 离心率在抛物线中的应用与圆锥曲线上的点和焦点有关的最值问题，通常利用圆锥曲线的定义进行转化。通过数形结合避免繁琐的代数运算，常用方法是构造梯形或三角形，利用其性质求最值。例3：定长为的线段的端点、在抛物线上移动，求中点

5、到轴距离的最小值。 分析：由于抛物线的离心率，根据其定义，即点到焦点的距离与点到直线的距离相等来进行转化。构造梯形，利用腰上中点的连线等于两底和的一半取最值。解：如图3，分别过、向准线做垂线交于、，则有 根据抛物线的方程，得到，则准线：由于，则，设则从而，即因此，当、三点共线时，5 总结离心率是解析几何高考的核心，也是解题的重要手段。巧用圆锥曲线的第二定义（即离心率）解决问题往往更能明快、简捷。需注意的是利用圆锥曲线第二定义解题的关键是：题目中有动点到定点、定直线距离关系的条件或动点到两个定点距离间的关系的条件，联系实际问题，不能盲目使用。参考文献：1 赵建勋, 圆锥曲线第二定义解题例说, 中学生数理化高二版, 2006(11), 8-9.2 王剑红, 杨素芳, 巧用圆锥曲线定义解题, 吕梁高等专科学校学报, 2007(3), 54-57.基金项目：泰州市社会发展计划项目(); 贵州省教育厅科研项目(). 作者简介：裔媛媛(1990-