4第四章 水文统计基础知识.ppt

1、保持幽默感,要能处乱不惊,第四章 水文统计基础知识,本章重点： 1、理解随机变量及概率分布的概念，掌握常用概率分布曲线； 2、理解总体、样本与抽样误差的概念及统计参数的估计； 3、掌握现行频率计算的方法适线法，理解频率计算中 几个特殊问题的处理； 4、掌握二元相关分析法。,本章学习思路：,工程设计标准,设计洪水频率（洪水重现期）,设计洪水水位 设计洪水流量,表5.15.3 工程设计标准,频率曲线（ P- 型曲线）,频率曲线,经验频率曲线,理论频率曲线,曲线选用（P- 曲线）,统计参数（x，Cv，Cs）（P3740）,适线方法,求矩适线法,三点适线法,公式4-18公式4-20,问题启发,1、如何

2、由工程设计标准（设计洪水频率或重现期）推求设计洪水流量（设计洪水水位）？ 2、设计洪水频率和重现期之间是什么关系？ 3、理论频率曲线的形式是什么样的？ 4、如何求理论频率曲线的三个参数？ 5、求矩适线法中，如何选取水文资料？,经验频率曲线,理论频率曲线,CS=2CV CS=2.5CV CS=3CV CS=3.5CV CS=4CV,水文特征值的选取：年最大值法,水文现象的特性 一、随机性 水文现象是自然现象的一种，在其发生和演变过程中，包含着必然性的一面，也包含着偶然性的一面。 必然现象是在一定条件下，必然出现或不出现的现象。偶然现象是在一定条件下，可能出现也可能不出现的现象，也称随机现象。,二

3、、确定性规律 1、周期性：年周期，多年周期。 2、地区性：气候及下垫面相似地区的水文现象规律相似。 3、相关性：水文现象之间存在一定的因果关系。,第一节 随机变量及其概率分布,一、随机变量 随机变量系列：x1, x2, xn,随机变量,离散随机变量,连续随机变量,水文统计法就是将流量、水位、降雨量等实测水文资料作为随机变量，通过统计分析和计算，推求水文现象（随机事件）客观规律性的方法。,1、随机变量：随机试验取值随机的变量，分为离散型、连续型随机变量。 2、概率P：随机变量出现某取值的可能性。 3、频率P：随机变量某取值在试验中出现的比率。,掷币试验出现正面的频率表,在试验次数足够大的情况下，

4、事件的频率和概率是十分接近的。,二、随机变量的概率分布,概率分布,例 4-1,例4-2,1）计算频率密度及累积频率,2）绘制频率直方图,3）绘制累积频率曲线,频率直方图,累积频率曲线,f(x),F(x),概率密度曲线,概率分布曲线,分布曲线与密度曲线的关系,三、随机变量的分布参数,水文计算中常用的统计参数有均值 、变差系数 和偏态系数 。,一个随机变量系列的频率密度曲线和频率分布曲线的形状和方程，都可以用几个数值特征值来反映，这些数值特征值称为统计参数（特征参数，分布参数） 。,1）.均值 均值反映了系列在数值上的大小（系列总体水平的高低），可以作为系列之间数值大小（水平高低）的比较标准。 系

5、列中各个变量与均值的比值，称为模比系数（或变率），以K 表示。对任一变量 x，则有： 2）.中值 中值的大小能反映系列中间项和密度曲线的位置。,1.位置特征参数,3）.众值 众值的大小能反映系列中最大几率项和密度曲线的位置。 4）.均值、中值、众值的位置关系,a）正偏态； b）正态； c）负偏态 密度曲线图,水文现象为不对称分布，年洪峰流量频率分布多为正偏。,2、均方差 和变差系数 均方差和变差系数都是反映随机变量系列对其均值离散程度的参数。 系列中各随机变量 对其均值 的差称为离差，用 表示， 。 方差是离差的平方和 ，可以用来表示系列总的离散程度。 均方差 表达各随机变量对其均值的平均离散

6、程度。 对于总体 对于样本,比值 表示相对离散程度，称为变差系数或离差系数，用 表示。 在水文计算中，利用样本资料推算总体的变差系数可采用下式： 或,较小时，表示系列的离散程度较小，即变量间的变化幅度较小，频率分布比较集中；反之， 较大时，系列的离散程度较大，频率分布比较分散。,3、偏态系数 偏态系数是反映随机变量系列中各随机变量对其均值对称性的参数。 对于总体 对于样本,频率曲线的三个参数，其中均值（ ）一般直接采用矩法计算值；变差系数（Cv）可先用矩法估算，并根据适线拟合最优的准则进行调整；偏态系数（Cs）一般不进行计算，而直接采用倍比，我国绝大多数河流可采用 Cs=(23)Cv。,，其频

7、率分布对称于均值，为正态分布； ，为正偏态，系列中大于均值的变量比小于均值的变量出现的机会少，其均值对应的频率小于50%； ，为负偏态，表明系列中大于均值的变量比小于均值的变量出现的机会多，其均值对应的频率大于50%。,值变化情况,统计参数与密度曲线及频率曲线的关系 1统计参数 、 、 与密度曲线形状的关系,1）均值 反映密度曲线的位置变化 2）变差系数 反映密度曲线的高矮情况 3）偏态系数 反映曲线的偏斜程度,对频率曲线的影响,2统计参数 、 、 与频率曲线形状的关系,对频率曲线的影响,对频率曲线的影响,、 、 与频率曲线的关系 1）均值 反映频率曲线的位置高度 2）变差系数 反映频率曲线的

8、陡坦程度 3）偏态系数 反映频率曲线的曲率大小,四、几种常用的概率分布曲线,2.皮尔逊 型曲线（K. Pearson，英国生物学家）,P- 型曲线的方程式的密度函数为：,为 函数,1.正态分布,曲线的三个参数 、 、 经过换算也可以用系列的三个统计参数 、 和 来表示，其关系式为,因此，若已知三个统计参数 、 和 ，则P-型曲线及其方程式就可以确定，也就是确定了密度曲线及密度函数。,P-型概率密度曲线的特点：（1）单峰型；（2）与x轴有一交点，对应水文变量的最小值；（3）后端与x轴不相交,P- 型曲线的应用 将P-型曲线的方程式进行一定的积分演算，就可以得到频率曲线纵坐标值 的计算公式，即频率

9、曲线的方程式（分布函数）为： 式中， 频率为 P 的随机变量； 离均系数， ，这是频率 P 和偏差系数 Cs 的函数，为了便于实际应用，制成离均系数 值表，可供查阅。 模比系数， ，可根据拟定的比值 制成模比系数 值表。,对于年最大流量系列，公式（4-18）可写成 式中， 频率为 P 的洪峰流量（m3/s）； 例1：已知 =1000 m3/s ，Cv=0.40，Cs=1.20，求x1%=？ 例2：已知 =1000 m3/s ，Cv=0.40，Cs=1.05，求x0.1%=？ 例4-3（P43）,解题思路,1、把历年的年最大流量资料按大小递减次序排列，然后进行计算；,2、计算 、 、 ；,3、计

10、算 。,Cs=n*Cv,五、重现期 在水文计算中，等于和大于某一数值的水文要素特征值（流量、水位等）出现的次数与总次数的比值，为该特征值的累积频率(P )。 重现期是指在很长时期内，平均若干年遇到一次大于或等于（或小于或等于）某值的洪水（或枯水），以年为单位。重现期 T 与累积频率 P 的关系为： 当 P50%时，对洪水而言 当 P50%时，对枯水而言,CS=2CV CS=2.5CV CS=3CV CS=3.5CV CS=4CV,宜昌水文站各种频率的设计洪水流量,第二节 统计参数的估计,一、总体与样本,总体，总体的容量 样本，样本容量,二、统计参数的估计,累积频率曲线的 三个统计参数：,均值

11、变差系数 偏态系数,1.矩法简介,1）原点矩（均值为一阶原点矩） 2）中心矩（方差为二阶中心矩）,2.矩法估计样本系列统计参数,1）样本的均值 估算,2）样本的变差系数 估算,3）样本的偏态系数 估算,3.样本参数的无偏估计值,三、抽样误差,统计参数的均方误公式：,尊重弱者,保持高度的自信心,第三节 水文频率计算求矩适线法,一、概述,累积频率曲线,累积频率曲线 的绘制方法：,求矩适线法 三点法 读点补矩法,1.求矩适线法绘制累积频率曲线的基本要点,2.经验累积频率计算公式威泊尔公式（均值公式、数学期望公式）,二、绘制累积频率曲线的求矩适线法,点绘点据计算统计参数选线绘制曲线,3.用适线法绘制累

12、积频率曲线的具体步骤,1）绘制经验累积频率曲线,2）矩法求样本统计参数,3）选定线型,4）适线,例4-4 某工程拟建断面水文站有35年实测流量资料，试求最大流量的 累积频率曲线及相应于设计标准P=1%和校核标准P=0.1%的最大流量值。,1）计算经验累积频率,最大流量的统计参数及经验累积频率计算表,2）矩法求样本统计参数,3）理论累积频率曲线计算与绘制,4）适线情况分析,适线要点：,1、均值一般不调整（n30时）； 2、Cv可加大10%左右， Cs 2 Cv ； 3、若适线时，只有一部分吻合较好，水文中关心中上部点据，即适线重点在曲线的中上部； 4、目估适线具有一定的任意性，如何克服？,习题

13、1、绘制经验频率曲线即可查得设计值，为什么一般还要求绘制理论频率曲线？ 2、某站年最大洪峰流量资料如下表，试求频率为1的设计洪峰流量。,三、频率计算中的几个特殊问题,1.基准面变化对参数的影响,实际工作中，常采用接近最低水位（或断流水位）作为基准面进行频率计算。,2.负偏态线型（Cs0）的频率计算,例如：求Cs=-0.3，P=1%的值。,3.特大值处理问题,设调查及实测(包括空位)的总年数为N年，连续实测期为n年，共有a次特大洪水，其中有l次发生在实测期，b次是历史特大洪水。 a=l+b,三种情况,水文资料的来源,主要有三个方面：,1、水文站观测资料,一定时期内连续实测的资料，能较为真实地反映

14、客观实际，是水文分析计算的主要依据.,对于缺乏水文站观测资料的河流，洪水调查是搜集水文资料的基本方法;对于有长期观测资料的河流，洪水调查资料也是重要的补充，可以提高水文分析和计算的精度。,2、洪水调查资料,3、文献考证资料,我国很多历史文献，比如地方志、县志等，都有洪水和干旱的灾情记载,为洪水调查提供线索 。,确定特大洪水重现期实例： 经长江重庆宜昌河段洪水调查，同治九(1870年)川江发生特大洪水,沿江调查到石刻91处（如图）,推算得宜昌洪峰流量Qm=110000 m3/s。,不连续系列 指资料系列中存在特大洪水，此时，样本系列为非简单随机样本，必须对特大洪水（xN）的进行处理。 （1）特大

15、洪水xN指比一般洪水大得多的洪水，即稀遇洪水，相应的流量QN ； （2）xN发生的三种情况： （3）处理的目的是：因其数值特别突出，与系列一般值严重脱节，而构成一个非连续系列。说明该突出点的重现期比系列项数大。处理之后，提高代表性，构成连续系列。 （4）处理内容：,特大洪水的处理不连序系列经验频率确定n实测期 N1、N2考证期1、2Q1954195092第一位，18791992第一位。Q187011531992第二位。Q132211531992第一位，流量无法考证。,n=43年,1992,1879,1954,N2114年,1950,1870,1322,？,1153,N1=840年,Q,t,19

16、75,经验频率的计算：,一般洪水频率：,分别排位法,特大洪水频率：,pm实测系列第m项的经验频率；,m 实测系列一般洪水由大到小排列的序号m=l+1,n；,pM特大洪水第M序号的经验频率，M=1,2, a；,N自最远的调查考证年份至今的年数。,1 各项分别在可确定其重现期的最长系列内按数学期望公式计算经验频率。 P18702 / 841=0.0024 ，P1954=1 / 115=0.0087 ， P1975=2 / 44=0.046 ， ,n=43年,1992,1879,1954,N2114年,1950,1870,1322,？,1153,N1=840年,Q,t,1975,频率曲线统计参数计算

17、： 采用矩法推算理论频率曲线的统计参数，其表达式如下。 1连续系列,2不连续系列 对于均值： 假定缺测年份一般洪水的均值 = 实测年份一般洪水的均值，即,偏差系数Cs值可通过适线法或参照地区经验选定Cs/Cv比值后求得。,对于均方差： 假定缺测年份一般洪水的均方差 = 实测年份一般洪水的均方差，即,）考证期的敏感性分析,当N100后，考证期对参数 和 影响很小，即 N 的 敏感性较差； 例4-5,结论：对于 N 值的考证，只要有一个比较可靠的范围即可，而不必拘泥于十分确切的数值。,例：某站有1970年2004年的实测年最大流量（表4-5），经洪水调查，1860年以来，共发生4次特大洪水，分别是

18、1860年Q1860=24000m3/s，1906年Q1906=20800m3/s，1977年Q1977=17700m3/s，1998年Q1998=18500m3/s。试进行特大值处理，并推求Q0.1%=？,解：已知 n=35，N=145，a=4，b=2，l=2,(1)特大洪水频率,(2)实测一般洪水频率,(3)点绘经验点据,P（%),Q,2000,3000,(4)计算初始参数 =8630 m3/s N=3590 m3/s CVN=0.42,(5)通过适线求得 =8630 m3/s CVN=0.45 CSN=4CVN=1.8,(6)计算或查图求得： Q0.1%=Kp =3.548630=306

19、00 m3/s,第四节 相关分析,相关现象,一、概述,在数理统计法中，把这种变量之间近似的或平均的关系就称为相关关系，把研究这种关系的方法称为相关分析。,完全相关,零相关,统计相关（相关关系）,变量之间的关系,变量的多少,简单相关,复相关,直线相关,曲线相关,水文分析计算中进行相关分析的目的？ 通过相关分析，把短系列资料延展为长期，提高系列的代表性，增加计算结果的可靠性。,水文现象中，变量之间的关系多属于统计相关。 水文统计法中，最常用的是简单相关中的直线相关。,a）直线相关； b）曲线相关 统计相关,问题：那么如何运用相关分析来延长水文资料呢？,二、相关分析法,1.图解法,2.回归分析法,设直线方程为：,称为 y 倚 x的回归方程。,若任一点坐标（xi，yi）与直线之间纵标离差为：,所有相关点纵坐标离差 的平方 之和为：,为什么用离差平方和表示？,则，使W取最