相似形与相似三角形专题复习精编题目

1、 实用文档 第一节：相似形与相似三角形 1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。基本概念： 相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 2. 1几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理） （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. c, b 已知a A D a B E b C F c ABDEABDEBCEFBCEFABBC?或?或?或?或? BCEFACDFABDFACDFDEEF 可得等. 成比例. 两边的延长线)所得的对应线段两论（2）推:平行于三角形一边的直线截其它边(或 A D E B C AD

2、AEBDECADAE?或?或? DBECADEAABAC.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. 由DEBC可得：（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. （4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. （5）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ca，那么这四条c的比等于与d的比，即b，c，d中，如果a与b 比例线段：四条线段a， bd 叫做成比例线段，简称比例线

3、段。线段a，b，c，d 比例的有关性质2acac?。 ），那么c，d都不等于0。如果，那么ad=bcad=bc（a，比例的基本性质：如果b， bdbdcaa?bc?d?，那么。 合比性质：如果 dbbdmcaa?c?ma?+n等比性质：如果(b+d+ =0)，那么= nbdb?d?nb2ad. b的比例中项，则d、a是线段b 标准文案 实用文档 典例剖析_Km. ，则它的实际长度约为1：38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm1例： 在比例尺是ba?a2 = 则=_. 若 bb392b?ab=_. a： 若 = 则 5?b2a 3相似三角形的判定 （1）如果两个三角形的两角分别于另一

4、个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。 2）两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。（ 3）三边对应成比例的两个三角形相似。（ 补充：相似三角形的识别方法 (1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。所构成的三角形与原三角形相)相交，(2)平行线法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线 似。A) 型(简记为A型，X注意：适用此方法的基本图形，DEE (3)三边对应成比例的两个三角形相似。DA (4)两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。BCBC (5)两角对应相等的两个三角形相似。 (6)一条直角边和斜边长对应成比例的两个直角三角形

5、相似。 (7)被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。 【基础练习】ADE 时，ABC （1）如图1，当 时， ABC AED。 （2）如图2，当 ACD。 ABC 3，当 时，）如图（3 AAA DEDD E BBBC C1图2图C3图 小结：以上三类归为基本图形：母子型或A型 。 ED13（）如图4，如图，当AB时，则 。 时，则 ，当）如图（45 BAA B C C EEDD X小结：此类图开为基本图开：兄弟型或型 标准文案实用文档 典例剖析 例1：判断 所有的等腰三角形都相似 （ ） 所有的直角三角形都相似 （ ） 所有的等边三角形都相似 （ ） 所有的等腰直角三角形都相似

6、 （ ） 例2：如图，ABC中，AD是BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于E,交BC的延长线于F 求证： ABF CAF. A E BFDC A AC于D，若 ；AD=2AB=6 ，Rt 例3：如图：在 ABC中， ABC=90BD ； ；BD= BC= 则AC= D BC BAED的延长线交BC于D ，若E是中点，BD 3例：如图：在Rt ABC中，ABC=90，AC ，的延长线于FF AB : AC=DF : BF 求证：DA BCE 第二节：相似三角形的判定 相似三角形：定义一) ( 、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形1 温馨提示：且三条对应边的比相等三角形的三个

7、角对应相等，)当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个 三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；或几个)(时，这两个 相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； 对应中线之比、对应高之比、对应角平线之比等于相似比。 两个钝角三角形是否相似，首先要满足两个钝角相等的条件。 2、相似三角形对应边的比叫做相似比 温馨提示： 标准文案实用文档 全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1所以全等三角形是相似三角形的特例其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例 相似比具有顺序性例如ABCABC的对应边的比，即相似比为k，则ABCABC的 相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k

8、=1 相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形 4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线)分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似 温馨提示： 定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： DEBC，ABCADE； 这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； 有了预

9、备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似” (二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定： 判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似 判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似 温馨提示： 有平行线时，用上节学习的预备定理； 已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2； 已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等 例1.如图三角形ABC中，点E为BC的中点，过点E作一条直线

10、交AB于D 点，与AC的延长线将于F点，且FD=3ED，求证：AF=3CF 2、直角三角形相似的判定： 斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似 温馨提示： 由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似； 如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”，其应用 标准文案 实用文档 较为广泛 ACDAB，则ABCCBD 如图，可简单记为：在RtABC中，CD 222=BD*AB BC=AD*BD 直角三角形的身射影定理：AC

11、 =AD*AB CD 总结：寻找相似三角形对应元素的方法与技巧 正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功通常有以下几种方法： 或相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角( (1)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的)最小的角 夹边是对应边；对应边所夹对应边所对的角是对应角；(或最短的边)一定是对应边； (2)相似三角形中，一对最长的边 的角是对应角 、常见的相似三角形的基本图形：2学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似 三角形中来；对

12、一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结， 形成一整套完整的判定方法如： 见平行，想相似”是解这类题的基本思路； (1)“平行线型”相似三角形，基本图形见上节图“见一对等角，找另一对”相似三角形，如上图其中各图中都有一个公共角或对顶角“ (2)“相交线型 ”是解这类题的基本思路；等角或夹等角的两边成比例，该图ABCE)，则ADEB=2，D(或C=1=(3)“ 旋转型”相似三角形，如图若图中 旋转某一角度而形成的ADE绕点A可看成把第一个图中的 相似三角形中的辅助线 第三节 一、作平行线?BCA延长线相交BCDEAD，且使AE，延长线与EDACAB1. 例如图，

13、的边和边上各取一点和BFBD? 于F，求证：CECF 标准文案 实用文档 B D C A E F 例2. 如图，ABC中，ABAC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：ABDF=ACEF。 二、作垂线 例3. 如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证： 2AC?AD?AFAB?AE?。 FDCABE 三、作延长线例4. 如图，在梯形ABCD中，ADBC，若BCD的平分线CHAB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求HBC的面积。 标准文案实用文档 ?AB，FGBC于F为AB上的高，ECD的中点，AE例5

14、. 如图，Rt的延长线交ABC中，CD为斜边2?BF =CFG，求证：FG于 四、作中线 ?ABC中，ABAC，AEBC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求例6 如图，AC。 五、过渡法（或叫代换法） 有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明 1、 等量过渡法（等线段代换法） 遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加

15、简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。 2DEEBC的延长线于求证：FE，中，ABCAD平分BAC AD的垂直平分线交31例：如图BECE 2、 等比过渡法（等比代换法） 当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第 标准文案 实用文档找到与求证的结论中某个也就是通过对已知条件或图形的深入分析，三组线段的比为比例式搭桥， 比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。 AB交BC，E是AC的中点，ED例2：如图4，在ABC中，BAC=90，ADDFAB?

16、 的延长线于点F求证：ACAF 、等积过渡法（等积代换法）3思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定 形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。作DC延长线上一点，过B，在ABC中，ACB=90，CD是斜边AB上的高，G是：如图例35 FBEAG，垂足为E，交CD于点 2 求证：CDDFDG 六、证比例式和等积式的方法：、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等若比例式对线段比例式或等积式的证明：常用“”三点定形法，使其分别构成两个相似)”(必

17、要时需添辅助线或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移 三角形来证明 ，交AC的延长线于HABBE5在ABC中，AD、分别是BC、AC边上的高，DF于F如图例1 的比例中项 FB / FH (2)FD是FG与FHF，求证：交BE于G(1)FG / A A E F G ：于N求：ANCMMAD如图在例2 ABC中，是BC边上的中线，是AD的中点，的延长线交AB AB的值； C B D 5 图 H A E N M B C D 标准文案 实用文档FC过点D作DM任作一直线与边AB及中线AD分别交于点F和E例3 如图过ABC的顶点C AE：ED；：S2：3，求S若交AB于点M(1)MDEF

18、AEF四边形 ED 求证： (2)AEFB2AFC D E B A F M 图 相似三角形难题集 第四节 一、分类讨论：上，BCQ在线段CD的边长为1，P是边的中点，例1 如图在正方形ABCD 相似？与QCP当BQ为何值时，ADP A D 0BC2，7，AD90中，ADBC，A，ABABCD例2 如图在梯形为顶点的三角形相CB、D为顶点的三角形与以P、上确定点3试在边ABP的位置，使得以P、A、A D P 似 P1 C B Q P2 图 P3 C B 12 图 二：相似三角形中的动点问题： 出发沿AD从点动点B作射线BB1AC，如图，在1.RtABC中，ACB=90，AC=3BC=4，过点个单

19、位的速度运3AC方向以每秒E从点C沿射线5射线AC方向以每秒个单位的速度运动，同时动点运DDG设点中点，连接于F，G是EF交射线作于作动过点DDHABH，过点EEFACBB1 秒动的时间为t 的长度；DE为何值时，AD=AB，并求出此时t（1）当 的值t与DEGACB相似时，求2（）当 标准文案实用文档 中，ABC90，AB=6m，BC=8m，动点ABCP以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点2.如图，在C移动同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动当其中有一点到达终点时，它们都停止移动设移动的时间为t秒 （1）当t=2.5s时，求CPQ的面积； t（平方米）关于时间（秒）的函

20、数解析式；CPQ的面积S求 t的值移动的过程中，当CPQ为等腰三角形时，求出（2）在P，Q 交边平分上运动，DECDBBC8，点D在边AB1，在RtABC中，ACB90，AC6，3.如图 ，垂足为NENBD，垂足为M，CDBC于点E，EM AC；）当ADCD时，求证：DE（1 CNE相似？AD为何值时，BME与（2）探究： 的速以每秒4cm从A点出发，沿着AB，点BABC20cm，AC30cmP4.如图所示，在ABC中，Q点时，点运动，当P点到达BCAQ从C点出发，沿以每秒3cm的速度向A度向B点运动；同时点 点随之停止运动设运动的时间为x ？PQBC1（）当x为何值时， 能否相似？若能，求出

21、AP的长；若不能说明理由CQB2）APQ与（ B向点沿AB边从A开始AB=12cm5.如图，在矩形ABCD中，BC=6cm，点P移A以1cm/s的速度沿以2cm/s的速度移动；点QDA边从点D开始向点 。）表示移动的时间（0t6（、动如果PQ同时出发，用ts t为何值时，QAP为等腰直角三角形？1（）当 ABC、AP为顶点的三角形与相似？、为何值时，以点）当（2tQ 标准文案实用文档 三、构造相似辅助线双垂直模型 6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45，求这个正比例函数的表达式 为等腰直角三ABD，使为边在C点的异侧作ABD，以7.

22、在ABC中，AB=，AC=4，BC=2AB 的长角形，求线段CD BC是是MAC上的一点，点N8.在ABC中，AC=BC，ACB=90，点 ：求点证MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P上的一点，沿着直线 MC：NC=AP：PB B轴上，点在y轴上，边9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在xOC轴于交D点落在点的位置，y且ADAC3（的坐标为1，），将矩形沿对角线翻折B 那么点ED点的坐标为（） B. A. D.C. 10.已知，如图，直线y=2x2与坐标轴交于A、B两点以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为12。 求C、D两点的坐标。 标准文案 实用文档 四

23、、构造相似辅助线A、X字型 11.如图：ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。 求证： DAB。AD、的比例中项，且AC平分12.四边形ABCD中，AC为AB 求证： 边上的任意一点，E为ADab，CD，ABABCD13.在梯形中，ABCD， F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：于点AB，且EF交BCEF EF=；EF=；(2)当时，(1)当时， 、a当时，参照上述研究结论，请你猜想用当(3)时，EF= 表示EF的一般结论，并给出证明b和k F是BC上的两点，且BEACE的中点，EF、FC。 是中，14.已知：如图，在ABCM求BN：NQ：QM 标准文案 实

24、用文档 的1证明：（）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长15. 个角的）角平分线定理：三角形一（注：重心是三角形三条中线的交点）（2 平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例 五、相似类定值问题的延长、CD为的中点，DMN上任意一点，BD、 16.如图，在等边ABC中，MN分别是边AB，AC FAB于点E、AC线分别交、 求证： EF/AB分别交ADO，过、作BC于BDAB/DC17.已知：如图，梯形ABCD中，对角线AC、交于OE、F。 求证： 18.如图，在ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在ABC上。 标准文案 实用文档 求证： 求证：ABC中作内接菱形CDEF，设菱形的边长为a19.已知，在 六：相似之共线线段的比例问题 分别交P上，一直线过点在平行四边形20.（1）如图1，点ABCD的对角线BD 交S，求证：于点 BC的延长线于点Q，BA 上线长ABCD在平行四边形）如图（或的232，图，当点的对角线延 为例是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2时， 进行证明或说明）； 标准文案 实用文档 作ADABAC，是中线，P是AD上一点，过C已知：如图，21.ABC中，2 于F求证：BPPEPFECFAB，延长BP交AC于，交CF AB的垂线交AB于E，交分别为22.如图，已知&Del