圆锥曲线上的最值问题

1、例说圆锥曲线有关最值问题浙江省镇海中学 周海军 中学数学最值问题遍及代数、三角，立体几何及解析几何各科之中，且与生产实际联系密切，同时它又是进一步学习高等数学中最值问题的基础。因此，最值问题历来是各类考试的热点。最值问题有两个特点应引起重视：一个最值问题常常覆盖多个知识点（如二次曲线标准方程，各元素间关系，对称性，四边形面积，解二元二次方程组，基本不等式等）求解过程牵涉到的数学思想方法也相当多（诸如配方法，判别式法，参数法，不等式，函数的性质等）计算量大，能力要求高。因此本文拟提供如下常见求法：1、回到定义 例1、已知椭圆，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）

2、求的最小值；（2）求|PA|+|PB|的最小值和最大值。略解：（1）A为椭圆的右焦点。作PQ右准线于点Q，则由椭圆的第二定义，.问题转化为在椭圆上找一点P，使其到点B和右准线的距离之和最小，很明显，点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为。（2）由椭圆的第一定义，设C为椭圆的左焦点，则|PA|=2a-|PC|PA|+|PB|=2a-|PC|+|PB|=10+(|PB| -|PC|)根据三角形中，两边之差小于第三边，当P运动到与B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值。即-|BC|PB| -|PC|BC|.当P到P位置时，|PB| -|PC|=|BC|，|PA|+|PB|有最大值，最大值

3、为10+|BC|=；当P到P位置时，|PB| -|PC|=-|BC|，|PA|+|PB|有最小值，最小值为10-|BC|=。 回到定义的最值解法同样在双曲线、抛物线中有类似应用。另外，（2）中的最小值还可以利用椭圆的光学性质来解释：从一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后经过另一焦点，而光线所经过的路程总是最短的。2、利用闭区间上二次函数最值的求法例2、在抛物线上求一点，使它到直线y=4x-5的距离最短。解：设抛物线上的点，点到直线4x-y-5=0的距离当时，故所求点为。例3、已知一曲线，（）设点A的坐标为，求曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离 |PA|；（）设点A的坐标为（a,0）aR，求

4、曲线上点到点A距离最小值d，并写出d=f（a）的函数表达式。解：（1）设M（x,y）是曲线上任意一点，则 x0 所求P点的坐标是（0，0），相应的距离是（2）设M（x,y）是曲线上任意一点，同理有 综上所述，有3、运用函数的性质例4、在ABC中，的对边分别为a,b,c，且c=10, ，P为ABC内切圆上动点，求点P到顶点A，B，C的距离的平方和最大值与最小值。解：由ABC为Rt由C=10，且知a=6 b=8设ABC内切圆半径为r，如图建立直角坐标系，则RtABC的内切圆M的方程为：设圆M上动点P（x,y）()，则P点到顶点A，B，C的距离的平方和为88-4x点P在内切圆M上，于是例5、直线m：

5、y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支交于A，B两点，直线L过点P（-2，0）和线段AB的中点M，求L在y轴上的截距b的取值范围。略解：设A（x1,y1），B（x2,y2），M（x0,y0），将y=kx+1代入x2-y2=1得（1-k2)x2-2kx-2=0,由题意，0且x1+x20,解之得,且M,又由P（-2，0），M，Q（0，b）共线，得，即下面可利用函数f(k)=-2k2+k+2在上是减函数，可得。例6、已知P是椭圆在第一象限内的点，A（2，0），B（0，1），O为原点，求四边形OAPB的面积的最大值。略解：设P（2cos,sin），(00得，当时，由解得，可得，由 ，可得，由即得相应

6、的，。故AB的中点M距y轴最短距离为，且相应的中点坐标为或。法二： 由得 得代入得当且仅当时等式成立。说明：此法即为下面的基本不等式法。5、利用基本不等式例8、已知椭圆，F1，F2为其两焦点，P为椭圆上任一点。求：（1）|PF1|PF2|的最大值；（2）|PF1|2+|PF2|2的最小值。略解：设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a=4，|PF1|PF2|=mn=4.|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|42-24=8 总之，最值问题是平面解析几何中的一个既典型又较综合的问题，圆锥曲线又是解析几何中的重要内容，它的最值问题求法比较多，具体问题应

7、具体加以分析。参考练习：1、过椭圆E：（ab0）上的动点P向圆O：x2+y2=b2引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，直线AB与x轴、y轴分别交于M，N两点。求MON的面积的最小值。（）2、设椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，离心率为，已知点P（0，3/2）到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标。（，所求点为）3、P为椭圆上的一个动点，它与长轴端点不重合，点F1和F2分别是双曲线的左右焦点，=F1PF2,（1）求tg 的表达式；（用a及描述P位置的一个变量来表示）（2）当a固定时求的最小值0；（3）当a在区间上变化时，求0的取值范围。（，）4、已知抛物线的方