[考研数学]北京航天航空大学线性代数 1-2.ppt

1、2 n 阶行列式的定义与性质,一 n 阶行列式的定义,定义,它代表一个数值。此数值是取自上式中不同行不同列的 个元素乘积 的代数和，其中 是数字 的某一个排列，故共有 项。每项前的符号按下列规定：当 为偶排列时取正号，当 为奇排列时取负号，即有,简单记法：Dn=|aij|n.,例 1,计算 n 阶行列式,分析,这行列式除主对角线（即从左上角到右下角诸元素所构成的对角线）上的元素为 外，其余元素全为0。因而此行列式中有可能不为0的项仅有 ，且行序排列及列序排列都是标准排列。故,例 2 计算 n 阶行列式,分析,展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,解,此行列式称为上三角行列式.,例 3,计

2、算,例 4 计算,注意：（1）在行列式定义中规定n个元素相乘时，元素的行序数按标准排列，由列序排列的奇偶性决定各项的正负号，可改为将元素的列序按标准排列，由行序排列的奇偶性决定每项的正负号。即,（2）行列式中项,的符号为,例如a21a32a14a43,性质 1 行列式与它的转置行列式相等。,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,二 n 阶行列式的性质,证明,按定义,又因为行列式 D 可表示为,故,证毕,性质 2 如果用同一个数 k 乘行列式中一行（列）的各元素，等于用 k 乘这个行列式，即,说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立。,证明,根据行列式的

3、定义,左端,=右端,证毕,另一种理解：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号外.,性质 3,如果行列式中一行（列）的所有元素全为零，则行列式为零。,性质 4,如果行列式中两行（列）互换，那么行列式只改变一个符号,即,证明,根据行列式的定义及定理 1.1,左端,=右端,证毕,性质 5,行列式若有两行（两列）相同，行列式为 0 。,即,证明,设 n 阶行列式 D 的第 i 行与第 k 行相同，于是将第 i 行与第 k 行互换,行列式不变;但由性质 4个知，它们又应当反号即有 D=-D ，即 2个 D=0个，故 D=0.。,性质 6 如果行列式中两行（两列）的对应元素成比例，那么行

4、列式为 0 ,证明,性质 7,如果行列式中第 i 行的各元素都可以写成两项之和，即 aij=bij+ cij, j=1,2,n,证明,由行列式定义得出,左端,=右端,证毕,性质 8,如果把行列式中某行（列）的各元素同乘一数 k 后，加到另一行（列）的各对应元素上，那么这行列式的值不变，即当 i 不等于 j 时,有,证明,利用性质 7 ，可将左端拆成两个行列式的和，再利用性质 6 便可得到右端即。,左端,右端,说明,利用行列式的性质可简化行列式的计算，基本思路是根据性质把行列式化成为上三角形行列式，它等于变换后的行列式的主对角元素的乘积。,例 5,计算行列式,解, 2,（ 3 ）,（ 2), 2, 2,=,=,=,=,=, 312,例6 计算,特征：各行（列）4个元素之和为11.（若不考虑顺序，各行（列）元素相同）,例 7,试证,证明,在 D 中从第 4 行开始，后行减前行，即自下而上的依次从每一行中减去它上面的一行。,左端,（ 1),（ 1),（ 1),（ 1),（ 1),（ 1),右端,解,将第 都加到第一列得,练习：计算n阶行列式,定义：在行列式D=|aij|n中，若aij = aji (i, j=1,2,n), 称为对称行列式. 若aij = aji (i