SL问题与分离变量法.ppt

1、一、本征值问题,本征值问题 本征值：使带边界条件的常微分方程有非零解的参数值 本征函数：相应的非零解 本征值问题：求本征值和本征函数的问题 斯特姆刘维尔本征值问题 斯特姆刘维尔型方程 斯特姆刘维尔型边界条件 斯特姆刘维尔本征值问题的性质 可数性：存在可数无限多个本征值； 非负性：所有本征值均为非负数； 正交性：对应不同本征值的本征函数带权正交； 完备性：满足边界条件的光滑函数可以按本征函数展开。,斯特姆刘维尔本征值问题,斯特姆刘维尔型方程,其中k(x)、q(x)和(x)都非负； k(x)、k(x)和q(x)连续或以端点为一阶极点。 斯特姆刘维尔型边界条件 周期性边界条件 三类齐次边界条件 有界

2、性边界条件,典型的斯特姆刘维尔本征值问题,本征函数系的正交性和完备性,正交性,完备性,展开系数,典型例题,例题1、特征值问题,特征函数,正交性,完备性,例题2、特征值问题,特征值和征函数,正交性,完备性,二、拉普拉斯算符的形式,极坐标下拉普拉斯算符形式的推导,极坐标下的形式,直角坐标下的形式,坐标变换关系,微分变换关系,三、二维区域上波动方程的分离变量法,例：设边界固定, 均匀且柔软的矩形膜, 其长为 , 宽为 ， 作微小横振动, 初始位移为 , 初始速度为 . 求此膜作自由振动的规律 。,设 为膜的位移, 则上述物理问题可归结为求解下列定解问题：,解：设,代入方程得：,其中 为分离常数, 记

3、 . 从而得到关于的常微分方程,由边界条件, 得,因此得特征值问题,求得特征值和对应的特征函数为,类似地, 我们得到,以及关于,的特征值问题,其特征值和对应的特征函数为,记,其通解为,于是得到,利用叠加原理, 得到原定解问题的形式解,，代入关于T的方程，得：,其中系数 下面, 我们利用初始条件确定系数,因为,由三角函数,在矩形区域,上的正交性, 得,其中,四、拉普拉斯方程定解问题分离变量法,例：设一半径为 的薄圆盘, 上下两面绝缘, 圆周温度分布已知. 求稳恒状态下圆盘内的温度分布. 解 ：求温度分布规律, 就是解下列边值问题,由于区域为圆域, 不能直接分离变量。,（*）,我们考虑作极坐标变换

4、, 则边值问题可化为,由于圆盘内温度不可能为无限, 特别圆盘中心 温度也一定有限, 所以有自然条件,又因为在极坐标中,与,表示同一点, 故,其中,有周期条件,设 代到定解问题的方程中，得,因此有,于是得到两个特征值问题,由自然条件和边界条件得,和,（1）,（2）,当 时 , 只有零解; 当 时, 有非零解 ，,先求解第一个特征值问题,当,时, 特征值问题(1)中方程的通解为,由周期性条件,得,故得特征值和对应的特征函数,下面求解第二个特征值问题,第二个特征值问题中的方程是欧拉方程,当,时, 其通解为,当,时, 其通解为,由,的有界性, 推得,所以,于是得到满足边值问题中方程与自然条件和周期 条件的一列非零解,其中,根据叠加原理, 可设满足定解问题(*)中方程的形式解为,代入(*)中的边界条件, 得,上式可以看作,在,上的傅里叶展开式, 所以,为了应用上的方便, 通常需要把解表示成积分形式,其中,上述公式称为圆域内的泊松公式.它的作用在于 将解表成了积分形式, 便于从理论