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1、硕士研究生入学考试数学分析试题七西北师范大学硕士研究生2005年入学考试数学分析试题1. 设的反函数为,求极限.解:由于当时,因此在上严格增加且连续,所以在上严格增加且连续.其中.令,即,得.从而,.又因在处连续,故.2. 求.解: .3. 计算,其中是由曲线围成,且在轴上方.解:令,则,.4. 计算,其中是正方形的边界,取逆时针方向.解法一:设表示椭圆,表示由封闭曲线和所围成的区域.则的参数方程为.记,则,.且,都在上连续,因此根据Green公式得:,从而.解法二:,其中;.,.注:解法二实际计算较繁.5. 设,证明:.证明:令.则当时,因此在内严格增加.由于当时,有,从而有 ,即 ,故.6

2、. 证明函数在点连续且偏导数存在,但在此点不可微.证明:因为,使得当,时,有,所以,从而函数在原点连续;由于, ,即函数在原点的两个偏导数都存在;若函数在原点可微,则应是较高阶的无穷小量.为此考察极限,此极限不存在,事实上由于当时, .或当,时,与有关.因而函数在原点不可微.7. 设无穷积分收敛,证明函数在区间上一致连续.证明: 因为在上连续，且存在,所以在上一致连续.证明: 因为收敛,所以根据柯西准则知,使得当时,有.因为在区间上连续,从而在区间上一致连续,因此,使得,当时,有.取,则,当时,当时,因为,根据有.当时,即,根据有.当,时,因为,从而有,即，因此，根据有.综上讨论知: ,当时,有.因此在上一致连续.8. 设函数在区间上可微,且,有,证明:对任意的正整数,有.证明: 因为=,所以,其中.9. 设(有限),且,证明:对,级数在上一致收敛;级数在内非一致收敛;函数在内连续.证明: 因为,所以,使得.从而,又因,而级数收敛,根据-判别法知:级数在上一致收敛;由于,因此,使得当时,有.因为,使得.或.所以在内非一致收敛于0,故级数在内非一致收敛.注1: 在内非一致收敛于0的定义:,使得.注2: 在内非一致收敛于0.,取,则且.因为在上一致收敛,且每

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