2- 时间序列分析专题

1、第二讲 线性时间序列分析及其应用1 引 言一、 基本知识1资产收益率多数金融研究是针对资产收益率而不是资产价格.Campbell, Lo, MacKinlay(1997)给出了两个使用收益率的主要理由:第一,对普通的投资者来说,资产收益率是投资机会的完全的,尺度自由的概括;第二,收益率序列比价格序列更容易处理,因为前者有更好的统计性质.单周期简单收益率:若从第 t-1天到第t天持有某种资产,则简单收益率为:多周期简单收益率: 若从第 t-k天到第t天这k个周期内持有某种资产,则k周期简单收益率为:连续复合收益率:资产的简单毛收益率的自然对数称为复合收益率或对数收益率(log-return):对

2、数收益率比简单收益率有更容易处理的统计性质.二、 时间序列分析方法1 确定型时间序列分析发展水平分析（水平分析、速度分析）；趋势变动分析（直线趋势分析、曲线趋势分析）；周期波动分析（周期点平均法、三角函数模型法、帕森斯季节性分析）；长期趋势加周期波动分析（温特斯线性与季节性指数平滑法、自适应过滤法、分解法）2 随机型时间序列分析一元时序分析、多元时序分析、可控时序分析、不可控时序分析、马尔可夫分析、贝叶斯分析三、 时间序列分析与回归分析的关系不少统计文献是分别论述时间序列分析和回归分析这两个问题的。时间序列分析在于测定时间序列中存在的长期趋势、季节性变动、循环波动及不规则变动，并进行统计预测；

3、回归分析则侧重于测定解释变量对被解释变量的影响，侧重于因果关系的分析。这似乎给人一种印象：即时间序列分析与回归分析二者之间互不相干。这里通过一个模型的构造说明时间序列分析与回归分析的差别性与内在统一性。为了测定一个时间序列中存在的长期趋势、季节变动、循环波动及不规则变动，主要构造两种模型 除此之外，还有一些其它的混合模型。：一种是加法模型，即假设各构成部分对时间序列的影响是相互独立的。这样就可将时间序列Y表示为：（1.1）另外一种是乘法模型，即假设各构成部分对时间序列的影响均按比例而变化，从而可以把时间序列Y表示为： （1.2）进行时间序列分析，如果要测定长期趋势（直线或非直线），可以通过移动

4、平动法、时距扩大法 只适合于时期序列，因为时点序列不具有可加性。或数学模型法，剔除时间序列中的循环波动C、季节变动S及不规则变动I，使时间序列中的长期趋势呈现出来。例如假设一个时间序列中存在直线趋势，模型（1）和（2）可变化为：（1.3）或 （1.4）通过参数的OLS估计可得到的估计值，并可得出长期趋势方程为：（1.5）点评：我们无法从模型（3）、（4）或（5）看出导致长期增长的趋势，即自变量t本身不能告诉我们事物为什么会随着时间推移呈现出某种趋势性的变化，这是时间序列分析的不足之处。事实上，由于事物内部蕴含着促成事物表现为长期趋势的一些基本因素，如农产量随时间的推移不断提高原因在于：优良品种

5、的选用、高效化肥的刺激、耕作方式的改变等。真正能够起到对增长解释作用的是上述诸因素，时间变量t在此仅起到桥梁作用。不妨用分别表示这些影响时间序列的基本因素，则模型（3）或（4）可以改写为： （1.6）或 （1.7）从模型（6）或（7）中可以看出：事实上已把时间序列模型转化为回归模型。不妨再假设（6）、（7）中均含有季节性变动的成份，我们可以引入虚拟变量（dummy variable），设在其中引入季节性虚拟变量，则模型（6）和（7）可进一步地改写为：或 如果令或，则上面两式可写为：（1.8）或 （1.9）点评：通过模型（8）和（9）可以看出时间序列分析和回归分析二者存在着内在的统一性。事实上，

6、我们正是用时间变量t代替了许许多多影响事物长期趋势的基本因素；用含有截距项及设置的虚拟变量反映了一个时间序列中存在的季节性变动；通过干扰因素项U反映了除基本因素和季节性变动影响因素以外的其它因素对时间序列的影响，并且把上述各种影响因素统一在一个回归模型中。时间序列分析和回归分析二者之间的差异也是明显的，这主要表现在：其一，回归分忻中的资料来源既可以是时间序列资料，也可以来自横截面资料；而时间序列分忻中的资料则只能来自时间序列，显然回归分析具有较大的包容性。其二，回归分析需要一组确定性变量和相应的观测值；而一元时间序列分析只需要一组随机变量的观测值。其三，即便回归分析的资料来自时间序列，我们仍然

7、可以就影响时间序列的诸多因素中，选择其中相关程度高、具有因果关系的影响因素进行分析。以测定解释变量对被解释变量的影响，这也是时间序列分析所不能比拟的。其四，利用时间序列资料可直接进行统计预测；而进行回归预测必须先预测解释变量的变化，然后间接地预测被解释变量的变化，当然自回归预测例外。即一个是在动态条件下进行研究的，一个是在表态条件下进行研究的。其五，模型的一些基本假定也不相同。2 确定型时间序列分析这里简单的介绍一下趋势模型1 常用的趋势模型直线模型，指数曲线，幂函数曲线，对数曲线，多项式曲线，修正指数曲线，双曲线，龚伯兹（Compertz）曲线，逻辑（Logistic）曲线，以及各种曲线的复

8、合形式等。2 产品的生命周期分析趋势模型可以与产品市场生命周期相结合，对产品的未来市场发展前景做出相应的预测。产品市场生命周期的不同阶段具有不同的特点，可概括如下：（1） 进入期：产品刚进入市场，消费者对其不熟悉，消费需求增长缓慢且不稳定，产品的普及率不超过5%。（2） 成长期：产品已为人们所接受，成长前期，生产者迅速增加，产品的普及率在5%-50%左右；成长后期销量仍迅速增长，不过增长速度趋缓，普及率在50%-80%。（3） 成熟期：这一时期产销量依然增长，但增长速度逐渐放慢，需求量逐步接近饱和点，普及率在80%-90%左右。成熟期后期产品开始显露衰退征兆，产销量出现负增长。（4） 衰退期：

9、前期产销量迅速下降，市场上新产品已出现，老产品逐步被淘汰；后期老产品基本退出市场，只是由于保守用户的需求、保障老的设备需要等原因，产销量维持在某一极低的水平。饱和点进入期成长期后期成熟期前期衰退期tf(t)我们可以选择Compertz曲线来描述产品的生命周期，对Compertz曲线：两边同时取对数得：。这里，L为增长上限，当其固定时，模型参数的选取与产品市场生命周期的各个阶段存在着对应关系：参数取值与周期阶段对应关系表参数的取值范围所处的周期阶段进入期成长前期成长后期成熟前期衰退前期成熟后期衰退后期【实例1】我国搪瓷面盆市场需求量预测1961年至1981年我国搪瓷面盆销售量数据见表。试用一模型

10、来描述期生命周期变化。搪瓷面盆历年销量单位:万只年份销量年份销量年份销量196119031968480919756137196225201969520519766522196326881970429019777364196419751971393319787319196519571972457619797485196624981973542919807986196730201974542619817470解：法一（三和法）模型取对数转换成修正指数曲线：根据修正指数曲线的三和值参数计算公式，可知 （2.1） （2.2） （2.3）式中，为第一段（1961-1967）时期内的和，=54.2835；

11、为第二段（1968-1974）时期内的和，=59.30387；为第三段（1975-1981）时期内的和，=62.13237。依据（2.1）、（2.2）和（2.3）式可以计算出参数的值为：=0.125849；=0.921304；=12058.05。法二（NLLS）工程方法所得到的估计结果比较粗糙，但可以将结果作为NLLS估计的初始值，再进行比较精确的估计。详见软件操作。结论：由于，产品处于成长后期即成熟前期。可以进行市场潜力的计算和挖掘。反推衰退的时间。3 随机型时间序列分析 这里所介绍只是线性时间序列分析模型。时间序列分析的最大特点是不以经济理论为依据，而是依据变量自身统计变化规律，利用外推机

12、制描述时间序列的变化，认为历史可以重演。一、 基本概念和术语1 随机过程(stochastic process)要把时间序列的研究提高到理论高度来认识，必须介绍随机过程。时间序列不是无源之水。它是由相应随机过程产生的。只有从随机过程的高度认识了它的一般规律。对时间序列的研究才会有指导意义。对时间序列的认识才会更深刻。自然界中事物变化的过程可以分成两类。一类是确定型过程，一类是非确定型过程。确定型过程即可以用关于时间t的函数描述的过程。例如，真空中的自由落体运动过程，电容器通过电阻的放电过程，行星的运动过程等。非确定型过程即不能用一个（或几个）关于时间t的确定性函数描述的过程。换句话说，对同一事

13、物变化过程独立、重复地进行多次观测而得到的结果是不相同的。例如，对河流水位的测量。其中每一时刻的水位值都是一个随机变量。如果以一年的水位纪录作为实验结果，便得到一个水位关于时间的函数xt。这个水位函数是预先不可确知的。只有通过测量才能得到。而在每年中同一时刻的水位纪录是不相同的。定义1（随机过程）：由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程，记为(3.1)其中S表示样本空间比如：金融时间序列，各股票从上市开始到最终的所有数据所组成的序列。，代表试验场合；T表示序数集，代表时间变化。对于每一个t，是样本空间S中的一个随机变量。对于每一个s，是随机过程在序数集T中的一次实现。可以借助图1清晰地表达出

14、它们之间的关系：当和都变动时，得到所有的曲线，这就构成一个随机过程；当固定，而变动时，则得到一条曲线，它就是一个时间序列；当固定，而变动时，所有曲线与直线的交点则构成随机变量的取值。 x11, x21, , xT-11, xT1x12, x22, , xT-12, xT2: : : : : 样本空间x1s, x2s, , xT-1s, xTs 随机过程简记为 xt 或 xt。随机过程也常简称为过程。TXtX(1,)X(2,)X(n,)tX(1,t)X(2,t)X(n,t)图1 随机过程、时间序列与随机变量关系图随机过程一般分为两类：一类是离散型的，一类是连续型的。如果一个随机过程xt对任意的t

15、T 都是一个连续型随机变量，则称此随机过程为连续型随机过程。如果一个随机过程xt对任意的tT 都是一个离散型随机变量，则称此随机过程为离散型随机过程。我们只考虑离散型随机过程。 连续型 严（强）平稳过程 随机过程 平稳的 离散型 宽平稳过程 非平稳的一阶矩：期望值，即均值，二阶矩：方差(Variance)用于描述随机变量相对于其期望（均值）的偏差程度，这种偏差越大，表明随机变量的取值在其均值周围的分布越分散。公式：三阶矩：偏度（skewness）用于衡量随机变量的概率分布是否围绕其均值对称。当概率分布围绕均值对称时，对于其概密度有对称性。偏度系数在偏度基础上标准化：四阶矩：峰度（ Kurtos

16、is）反映随机变量概率密度函数尾巴的厚度。通常用于判断某个随机变量的概率分布是否呈正态分布。峰度系数在峰度基础上标准化：严（强）平稳过程：一个随机过程中若随机变量的任意子集的联合分布函数与时间无关，即无论对T的任何时间子集（t1, t 2, , tn）以及任何实数k, (ti + k) T, i = 1, 2, , n 都有 F( x(t1) , x(t2), , x(tn) ) = F(x(t1 + k), x(t2 + k), , x(tn + k) )成立，其中F() 表示n个随机变量的联合分布函数，则称其为严平稳过程如果随机变量的联合分布函数是不随着时间的变化而变化，意味着值落入一个在

17、过去、现在和将来都是一样的特定概率区间内，就说它是严格平稳的。或强平稳过程。严平稳意味着随机过程所有存在的矩均值、方差、偏度、峰度都不随时间的变化而变化。严平稳的条件是非常严格的，而且对于一个随机过程，上述联合分布函数不便于分析和使用。因此希望给出不象强平稳那样严格的条件。若放松条件，则可以只要求分布的主要参数相同。如只要求从一阶到某阶的矩函数相同。这就引出了宽平稳概念。如果一个随机过程m阶矩以下的矩的取值全部与时间无关，则称该过程为m阶平稳过程。比如 E x(ti) = E x(ti + k) = m , Varx(ti) = Varx(ti + k) = s 2 , Covx(ti), x

18、(tj) = Covx (ti + k), x (tj + k) = s i j2 1也就是| f1| 1，注：滑冰、象钟摆一样，如果阻力小或没有阻力，那么就在一定范围内一直下去，若有外力就会十分剧烈。解释如下：一阶自回归过程（3.6）可写为(1- f1L) xt = utxt = (1- f1 L)-1 ut 在 | f1| 1条件下，有xt = (1+ f1L + (f1 L) 2 + (f1 L) 3 +) ut 若保证AR(1)具有平稳性，必须收敛，即 f1必须满足|f1| 1。这是容易理解的，如果|f1| 1，发散，于是xt 变成一个非平稳随机过程。由（3.6）式有xt = ut +

19、 f1 ut-1 + f12 xt-2 = ut + f1 ut-1 + f12 ut-2 + （短记忆过程）因为ut 是一个白噪声过程，所以对于平稳的AR(1)过程 E(xt) = 0Var (xt) = su2 + f12 su2 + f14su2 + = 上式也说明若保证xt平稳，必须保证 | f1| 1, | L2| 1（在单位圆外）或| l1| 1, | l2| 1 (3.10)下面利用上述平稳性条件分析AR(2) 过程中参数f 2，f 1的值域。由 (19) 式得l1 + l2 = += f 1 (3.11)l1 l2 = - = - f 2 (3.12)利用 (3.11)，(3.

20、12) 式得f 2 + f 1 = - l1 l2 + (l1 +l2) = 1 (1- l1) (1- l2 )f 2 - f 1 = - l1 l2 - (l1 +l2) = 1 (1+ l1) (1+ l2 )无论 l1, l2为实数或共轭复数，由 |l1| 1, |l2| 0，从而得f 2 + f 1 1 (3.13)f 2 - f 1 1 (3.14)由 (3.10) 和 (3.12) 式得-1 f 2 0 时，L1, L2 为不等实数根。f2, f1的值位于过阻尼区（自相关函数呈指数衰减）。(3)当 f 12 + 4 f 2 0 时，z1, z2 为共轭复根。f 2, f 1的值位

21、于欠阻尼区（自相关函数呈正弦震荡衰减）。图 平稳AR(2) 过程f1, f2取值域（阴影部分）例3 有AR(2) 模型xt = 0.7 xt -1 - 0.1 xt -2 + ut，试判别xt的平稳性。解：由原式得 (1 - 0.7 L + 0.1 L2 ) xt = ut 。 特征方程为， (1 - 0.7 L + 0.1 L 2 ) = 0 (1 - 0.2 L) (1- 0.5 L) = 0特征方程的两个根是，L1 = 5，L2 = 2。因为两个根都在单位圆之外，所以xt是平稳的随机过程。从图1看，因为（f1, f2）= (0.7, -0.1)，落在了AR(2) 过程的平稳域，落在了过阻

22、尼区，所以xt为平稳过程。例4：有AR(2) 模型x t = 0.6 x t-1 - 0.1 x t-2 + ut ，试判别xt的平稳性。解：由原式得，(1 - 0.6 L + 0.1 L2 ) x t = ut ，特征方程为， (1 - 0.6 L + 0.1 L2 ) = 0因为特征方程中各项都是实数，所以其虚根必然是共轭的。 1- (0.3 - 0.1i ) L 1- (0.3 + 0.1i ) L = 0特征方程的两个根是， 3 + i L1 = = = 3 + i， 1 3 L2 = = 3 - i， 3 - i因为两个根都在单位圆之外，所以xt是平稳的随机过程。从图1看，因为（f1

23、, f2）= (0.6, -0.1)，落在了AR(2) 过程的平稳域，落在了欠阻尼区，所以xt为平稳过程。例5：有AR(2) 模型x t = 0.7 x t-1 + 0.6 x t-2 + ut ，试判别xt的平稳性。解：由原式得，(1 - 0.7 L - 0.6 L2 ) xt = ut ，特征方程为， (1 - 0.7 z - 0.6 z 2 ) = 0(1 + 0.5 z ) (1- 1.2 z ) = 0特征方程的两个根是，z1 = -2，z2 = 0.83。因为一个根0.83在单位圆内，所以xt是一个非平稳的随机过程。从图1看，因为（f1, f2）= (0.7, 0.6)，落在了AR

24、(2) 过程的非平稳域，所以xt为非平稳过程。对于一般的自回归过程AR (p)，特征多项式则xt 可表达为（3.16）其中是待定系数。具有平稳性的条件是必须收敛，即应有。而是特征方程 （见(3.5)式）的根，所以保证AR(p)具有平稳性的条件是特征方程的全部根必须在单位圆（半径为）之外，即。由上式可看出一个平稳的AR(p)过程可以转换成一个无限阶的移动平均过程（p个无穷级数之和）。保证AR(p) 过程平稳的一个必要但不充分的条件是p个自回归系数之和要小于，即。2 移动平均过程（MA）如果一个线性随机过程可用下式表达 （3.17）其中是回归参数，为白噪声过程，则上式称为q阶移动平均过程，记为MA

25、(q) 。之所以称“移动平均”，是因为是由q +1个ut和ut滞后项的加权和构造而成。“移动”指t的变化，“平均”指加权和。由定义知任何一个q 阶移动平均过程都是由q + 1个白噪声变量的加权和组成，所以任何一个移动平均过程都是平稳的。与移动平均过程相联系的一个重要概念是可逆性因为x t =Q (L) ut是平稳的，如果变换成Q (L)-1 xt = ut 后，变得不平稳，显然失去可逆性。 因为x t =Q (L) ut是平稳的，如果变换成Q (L)-1 xt = ut 后，变得不平稳，显然失去可逆性。移动平均过程具有可逆性的条件是特征方程。Q(z) = (1 + q 1 z + q 2 z2

26、 + + q q zq)= 0 (3.18)的全部根的绝对值必须大于1。 由于Q (L) 可表示为 Q (L) = (1 H1 L) ( 1 H2 L) (1 Hq L)所以有Q (L)-1 =（+）, (3.19)mi为待定参数。可见保证MA(q)过程可以转换成一个无限阶自回归过程，即MA(q)具有可逆性的条件Q(L)-1收敛。对于 | L | 1，必须有|Hj| 1，j = 1，2，q成立。而Hj -1是特征方程Q (L) = (1 H1 L) ( 1 H2 L) (1 Hq L) = 0的根，所以MA(q)过程具有可逆性的条件是特征方程Q (L) = 0的根必须在单位圆之外。注意，对于无

27、限阶的移动平均过程 xt = q i u t -i) = ut (1+q1 L + q2 L 2 + )(3.20)其方差为Var(xt) = q i2 Var (ut i) = su2 q i2 (3.21)很明显虽然有限阶移动平均过程都是平稳的，但对于无限阶移动平均过程还须另加约束条件才能保证其平稳性。这条件就是x t的方差必须为有限值，即 1, 或|q 1| 1。当|q1| 1时，MA(1)过程（3.22）应变换为（推导） ut = (1+ q 1L) 1 xt = (1 - q 1L + q 12L2 - q 13L3 + ) xt (3.23)这是一个无限阶的以几何衰减为权数的自回归

28、过程。 对于MA(1)过程有 E(x t) = E(ut) + E(q 1 ut - 1) = 0 Var(xt) = Var(ut) + Var(q 1 ut 1) = (1+q 12 ) su2 NOTE：自回归与移动平均过程的关系 在满足可逆性的条件下，移动平均模型可以转换为无限阶自回归模型。类似的，在满足平稳性条件下，自回归模型也可转换为无限阶移动平均模型。即移动平均模型与自回归模型在一定的条件下，可以互相转换，这一性质称为自回归模型与移动平均模型的等效性。 一个平稳的AR(p)过程(1 - f1L - f2L2 - - fpLp ) xt = ut可以转换为一个无限阶的移动平均过程，

29、 xt = (1 - f1L - f2L2 - - fpLp )-1 u t = F (L)-1 ut 一个可逆的MA(p)过程 xt = (1 + q 1L + q 2 L2 + +q q Lq ) ut = Q (L) ut可转换成一个无限阶的自回归过程， (1 + q 1L + q 2 L2 + +q q Lq)-1 xt = Q (L) -1 xt = ut 对于AR(p)过程只需考虑平稳性问题，条件是F (L) = 0的根（绝对值）必须大于1。不必考虑可逆性问题。对于MA(q)过程，只需考虑可逆性问题，条件是Q (L) = 0的根（绝对值）必须大于1，不必考虑平稳性问题。3 自回归移

30、动平均过程（ARMA）由自回归和移动平均两部分共同构成的随机过程称为自回归移动平均过程，记为ARMA(p, q), 其中p, q分别表示自回归和移动平均部分的最大阶数。ARMA(p, q) 的一般表达式是xt =f1xt-1+f 2xt-2+fp xt-p+ ut+q1ut-1+q2ut-2+.+qq ut-q 在有的文献中，这里移动平均项前面的参数显示为负，不影响我们的讨论。(3.24)即(1 - f 1L - f 2 L2 - - f p Lp ) xt = (1 + q 1 L + q 2 L2+ +q q Lq ) ut或F (L) xt = Q (L) ut (3.25)其中 F (

31、L) 和 Q (L) 分别表示L的p, q阶特征多项式。ARMA(p, q) 过程的平稳性只依赖于其自回归部分，即F (L) = 0的全部根取值在单位圆之外（绝对值大于1）。其可逆性则只依赖于移动平均部分，即Q (L) = 0的根取值应在单位圆之外。 图 ARMA(1,1) 过程 图 ARIMA(1,1,1) 过程实际中最常用的是ARMA(1, 1)过程。xt - f 1xt-1 = ut +q 1 ut - 1 (3.26)或（1 - f 1 L）xt =（1 + q 1 L）ut很明显只有当 1 f1 1和 1 q 1 1 时，上述模型才是平稳的，可逆的。三、 自相关函数与偏自相关函数1

32、自相关函数（ACF）以上介绍了随机过程的几种模型。实际中单凭对时间序列的观察很难确定其属于哪一种模型，而自相关函数和偏自相关函数是分析随机过程和识别模型的有力工具。（1） 自相关函数定义 这里所探讨的是理论自相关函数，样本自相关函数（SACF）的计算详见后文。在给出自相关函数定义之前先介绍自协方差函数概念。随机过程xt中的每一个元素xt，t = 1, 2, 都是随机变量。对于平稳的随机过程，其期望为常数，用m 表示，即E(x t) = m, t = 1, 2, (3.33)随机过程的取值将以 m 为中心上下变动。平稳随机过程的方差也是一个常量Var(x t) = E (xt - E(xt)2

33、= E (xt - m)2 = sx2 , t = 1, 2, (3.34)sx2用来度量随机过程取值对其均值 m 的离散程度。相隔k期的两个随机变量xt 与xt - k 的协方差即滞后k期的自协方差，定义为gk = Cov (xt, x t - k ) = E(xt - m ) (xt - k - m ) (3.35)自协方差序列gk , k = 0, 1, , K,称为随机过程 xt 的自协方差函数。当k = 0 时g0 = Var (xt) = sx2 退化成为方差。自相关系数定义rk = (3.36) 因为对于一个平稳过程有Var (xt) = Var (xt - k) = sx2 (

34、3.37)所以（46）可以改写为rk = = (3.38)当 k = 0 时，有 r 0 = 1。 以滞后期k为变量的自相关系数列rk, k = 0, 1, , K (3.39)称为自相关函数。因为rk = r- k 即Cov (xt - k , xt ) = Cov (xt , x t + k )，自相关函数是零对称的，所以实际研究中只给出自相关函数的正半部分即可。（2） 自回归过程的自相关函数 平稳AR(1)过程的自相关函数AR(1) 过程如下xt = f1 xt-1 + ut , |f1| 1用xt- k 同乘上式两侧xt xt- k = f1 xt-1 xt- k + ut xt- k

35、两侧同取期望，gk = f1 gk -1其中E(ut xt- k) = 0（ut与其t - k期及以前各项都不相关）。两侧同除 g0，并进行迭代计算得rk = f1 rk -1 = f1 f1 rk -2 = = f1k r0因为 r0 = 1。所以有rk = f1k , （k 0）对于平稳序列有 | f1| 0 （经济序列自相关函数常见形式） f1 0) 同乘平稳的 p阶自回归过程xt = f 1 xt -1 + f 2 xt -2 + f p xt - p + ut (3.40)的两侧，得xt - k xt = f1 xt - k xt -1 + f2 xt - k xt -2 + + f

36、p xt - k xt - p + xt - k ut (3.41)对上式两侧分别求期望得gk = f1 gk -1 + f2 gk -2 + + fp gk - p ， k 0 (3.42)上式中对于 k 0，有E(xt - k ut ) = 0。因为当 k 0时，xt - k 发生在ut 之前，所以 xt - k 与 ut不相关。用 g0分别除（3.42）式的两侧得rk = f1 rk -1 + f2 rk -2 + + fp rk -p ， k 0 (3.43)令 F(L) = (1 - f1 L - f2 L2 - - fp Lp）其中L为k的滞后算子，则上式可表达为F(L) rk = 0因 F(L) 可因式分解为，F(L) =,则（3.43）式的通解是rk = A1 G1k + A2 G2k + + Ap Gp