第14章网络函数

1、第第十十四四章章 网网络络函函数数 重点：重点： 1网络函数及其相关的基本概念。网络函数及其相关的基本概念。 2了解网络函数的零、极点分布对时域响应（冲激响应）的影响。了解网络函数的零、极点分布对时域响应（冲激响应）的影响。 难点：难点： 1.了解网络函数的零、极点分布对频域响应（频率特性）的影响。了解网络函数的零、极点分布对频域响应（频率特性）的影响。 2.从网络函数的角度重新理解滤波器。从网络函数的角度重新理解滤波器。 3.了解双二次函数对应的滤波特性了解双二次函数对应的滤波特性 相相关关知知识识的的复复习习 我们知道冲激响应即为电路的零输入响应，它与激励无关，体现电路本身的特性，而 且任

2、意电路的冲激响应容易通过实验得出。是否可以通过电路的冲激响应与输入信号本身 的某种简单的计算，直接得出电路的响应呢？设电路的冲激响应为 )(th 激励响应 激励为冲激函数 )(t 时： )()(tht 激励延时的冲激函数 )( t 时： )()(tht 冲激函数的强度为 )(e 时： )()()()(thete 两边同时积分： dthedte)()()()( 变化时，如果将对应于所有值的上述激励之和作为网络的输入，根据叠加定理， 输出即为上述响应之和 dthetrtedtte)()()()()()( 即： dthete)()()( 如果 )(te 对应的拉氏象函数为 )(sE ， )(th 对

3、应的拉氏象函数为 )(sH ， )(tr 对应的拉 氏象函数为 )(sR ，根据拉氏变换的性质： )()()(tytxtz ，则： )()()(sYsXsZ ，那么： )()()(sEsHsR 14.1 网网络络函函数数简简介介 一、网络函数一、网络函数 电路在单一激励作用下，其零状态响应 )(tr 的象函数 )(sR 与激励 )(te 的象函数 )(sE 之 比，定义为该电 路的网络函数 )(sH ，即： e(t) r(t) E(s) R(s) 网络 N H（s） )( )( )( sE sR sH 二、网络函数的性质二、网络函数的性质 根据定义，当 1)(sE 时， )()(sHsR ，也

4、就是说，当激励的象函数为 1 时，响应的 象函数就正好等于网络函数。而当 )()(tte 时， 1)(sE ，可见网络函数正好就是网络的 单位冲激响应的象函数。 对仅含 R、L（M） 、C 及受控源等元件的网络，网络函数为 s 的实系数有理函数，其 分子、分母的根可以为实数或者共轭复数。网络函数中不会出现激励的象函数。 三、种类三、种类 根据激励性质的不同电压源或者电流源，响应选取的不同任意两点的电压或 者电流，可以将网络函数分为 激励激励 响应响应 电压源电压源电流源电流源 同一支路电压同一支路电压-策动点阻抗 同一支路电流同一支路电流策动点导纳- 不同支路电压不同支路电压电压转移比转移阻抗

5、 不同支路电流不同支路电流转移导纳转移电流比 例题 1：已知低通滤波器如图（a） ，求其转移导纳 )( )( )( 2 1 sU sI sH i1(t) L1 L2 + i2(t) u(t) C R _ I1(s) sL1 1 sL2 + + I2(s) U(s) 1/sC R Uo(s) _ _ 首先根据时域电路绘出其运算电路（s 域模型）如图（b） 。 1）转移导纳。根据网孔法： 0)() 1 ()( 1 )()( 1 )() 1 ( 221 211 sI sC sLRsI sC sUsI sC sI sC sL 解出： RsLLsRLCsLL sU sI )( )( )( 21 2 1

6、3 21 2 因此，转移导纳为 RsLLsRLCsLLsU sI sH )( 1 )( )( )( 21 2 1 3 21 2 1 2）转移电压比。节点 1 的电位为： )( )/( 1 )/( 1 )( 12 2 1 sU sLRsL sC RsL sC sV ，而： )()( 1 2 sV RsL R sUo 所以，转移电压比 RsLLsRCLsLCL R RsL sC sL RsL sC RsL sC RsL R sL RsL sC RsL sC RsL sC RsL sC RsL R sLRsL sC RsL sC RsL R sU sU sH o )( )()( 1 )( 1 1 )

7、( 1 1 )( 1 )/( 1 )/( 1 )( )( )( 21 2 1 3 21 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 12 2 2 2 例题 2 在图所示的由独立电流源 i 驱动的RC并联电路中，设电容初始状态为零，试 求以电压 u 为响应的网络函数。 + C G u i _ 因为电压u是零状态响应，如果 )(sU 及 )(sI 分别为 )(tu 及 )(ti 的拉氏变换，则所求的 网络函数为驱动点阻抗。 因为RC并联电路的驱动点导纳是 sCG ，于是有 )( 1 )(sI sCG sU 因此 sCGsI sU sH 1 )( )( )( 例题 3 如图所示电路。求网络的转移阻抗

8、 )(/ )(sIsUo 。 1 1/2s I2(s) + 4 + U(s) I1(s) 2 U0(s) _ I(s) s _ 由分流关系可得： ss sIs sI 2/124 )()4( )( 2 而 ss sIs sIsUo 2/16 )()4(2 )(2)( 2 所以 1122 )4(4 )( )( )( 2 ss ss sI sU sH o 例题 4 如图所示的运放电路中，已知 21 RR， ， 21 CC ， 及 ba a RR R k 。求网络的电 压转移函数 )( )( sU sU i o 。 C1 R1 R2 + + ui C2 uo Rb _ Ra _ _ + + sC1 G

9、1 G2 sC2 R b R a _ + + Va(s) Vb(s) Ui (s) Uo(s) 题中所示电路的运算电路见图(b)。其节点电压方程是： 0 11 222 2211oi b a sUCUG V V GsCG GGGsC 由于题中的运放为理想运放，因此： oo ba a b kUU RR R V 将 ob kUV 代入节点方程，得到待求的网络函数为： 212121221 2 21 21 )()( )( )( GkGsGCGGkCGkCsCkC GG sU sU sH i o 代入给出的元件参数即可。 14.2 网网络络函函数数的的零零极极点点 14.2.1 零极点的定义零极点的定义

10、网络函数 )(sH 的分子分母均为关于 s 的多项式，将之改写为因子相乘的形式 n j j m i i nj mi n n n n m m m m ps zs H pspspsps zszszszs H asasasa bsbsbsb sD sN sH 1 1 0 21 21 0 01 1 1 01 1 1 )( )( )()()( )()()( )( )( )( 其中，H0为常数，1 z 、2 z 、m z 是 0)(sN 的根， 1 p 、 2 p 、 n p 是 0)(sD 的根。 当 i zs 时， 0)(sH ，故称1 z 、2 z 、m z 为网络函数的零点；当 j ps 时， 0

11、)(sD ， )(sH 将趋近于无限大，所以称 1 p 、 2 p 、 n p 为网络函数的极点。从前面所 学的知识可知， )(sH 的零极点为实数或共轭的复数。 14.2.2 零极图零极图 以 s 的实部为横轴，虚部为纵轴的坐标平面为复频率平面（复平面s 平面） ，在该 平面中分别用“O”和“”表示出零、极点的位置，这就是 )(sH 的零极图。 如： ) 2 3 2 3 () 2 3 2 3 ()1( )4)(2(2 ) 33)(1( )4)(2(2 364 16122 )( 223 2 jsjss ss sss ss sss ss sH 所以该网络函数对应两个零点： 2 1 z ， 3 2

12、 z ；三个极点： 1 1 p ， 2 3 2 3 2 jp ，2 3 2 3 2 jp 。 网络函数的零极图为： j 1 -4 -2 2 4 O -1 14.3 极极点点与与冲冲激激响响应应 14.3.1 极点极点 极点决定电路的冲激响应的变化规律。 一般情况下， )(th 的特性就是时域响应中自由分量的特性，而 )(th 又为网络函数所对 应的时间函数，所以网络冲激响应的性质就取决于网络函数的极点在复频率平面上的位置。 为了简化说明，我们假设网络函数为真分式，且仅含一阶极点。据此，我们来讨论极点在 复频率平面上的位置与冲激响应之间的关系。 (1) 极点位于原点，即 0 j p ，则冲激响应

13、对应的特性为阶跃函数。 (2) 极点位于左半实轴，即 0Re j p ， 0Im j p ，则冲激响应按指数规律衰减。极 点距原点越远，衰减越快。 (3) 极点位于右半实轴，即 0Re j p ， 0Im j p ，则冲激响应按指数规律增长。 极点距原点越远，增长越快。 (4) 极点位于虚轴上，即 0Re j p ，虚极点成对出现（共轭虚数） ，则冲激响应为不 衰减的自由振荡，即按照正弦规律变化。极点距原点越远，振荡频率越高。 (5) 极点位于左半平面但不包括实轴，即 0Re j p ， 0Im j p ，复数极点成对出现， 则冲激响应为振幅按指数规律衰减的自由振荡。极点距虚轴越远，衰减越快；

14、距实轴越远， 振荡频率越高。 (6) 极点位于右半平面但不包括实轴，即 0Re j p ， 0Im j p ，复数极点成对出现， 则冲激响应为振幅按指数增长的自由振荡。极点距虚轴越远增长越快；距实轴越远，振 荡频率越高。 对上述各种情况可做进一步概括。当极点位于复频率平面的左半平面时，对应特性随 时间的增加而减小，最后衰减为零，这样的暂态过程是稳定的；反之，当极点位于右半平 面时，对应特性随着时间增加而发散，这样的暂态过程是不稳定的，这样的网络受到一个 冲激作用后，响应会越来越大；当极点位于虚轴上时，属于临界稳定；另外，当极点位于 实轴上时，响应是非振荡的，否则均为振荡的暂态过程。 其情况如下

15、图 j Im s Re s 14.3.2 零点零点 以无重根为例，当 n j j j n j j m i i ss A ps zs HsH 1 1 1 0 )( )( )( ，与之对应的冲激响应为 n j ts j teAth j 1 )()( 而其中的系数 j A 则与零点有关。可见零点与极点一起共同决定冲激响 应中的每一项的量值。 例题：求图 13.8(a)所示电路的网络函数 )(/ )()(sUsIsH ，以及其零极点图，并根据 极点位置定性说明响应的特性。 1F 1H 1 1F 1H i U=1V K + - (a) 电电路 路 s 1/s 1/s s I(s) U(s)=s + -

16、(b) 运运算算电电路 路 j 1 -1 1 O -1 (c) 零零极极点点图 图 h(t) O t (d) 电电流流 i 的的冲冲激激响响应应定 定性性波波形形 由电路可见，该电路为一个平衡的交流电桥，因此，1 电阻两端电压为零，所以电路 对应的复频域模型如图 13.8(b)所示 s s s ssZ sI sU 2 1 ) 1 ( 2 1 )( )( )( 2 待求的网络函数为： 分别令 )(sH 的分子与分母多项式为零，可以得到网络函数的零极点分别为： 0z ； jp 1， jp 2。 网络函数的零极点图如图 13.8(c)所示，由此可定性地得到网络的冲激响应为正弦响应， 如图 13.8(

17、d)所示。 14.4 极极点点与与频频率率响响应应 14.4.1 频率响应频率响应 将网络函数 )(sH 中的s用 j 代替，即得 )( jH ，研究由 0 变化时，网络函 数的变化情况，可以得到相应电路变量的正弦稳态响应随着频率变化的特性。 | )(| )(|)(jHejHjH j 式中 | )(|jH 为网络函数的模值，而 )(argjH 为网络函数的相位。 1幅频特性幅频特性 通常把 | )(|jH 随着变化的关系称为幅值频率响应，简称幅频特性，在以频率为横 轴， | )(|jH 为纵轴的平面上所绘出的曲线称为相应响应的幅频特性曲线。 2相频特性相频特性 将随着变化的关系称为相位频率特性

18、，简称相频特性，在以频率为横轴， )( 为 纵轴的平面上所绘出的曲线称为相应响应的相频特性曲线。 14.4.2 极点与频率响应极点与频率响应 由于 )( jH 实际上是 )(sH 的一种特例，因此，可以推论 )(sH 的零极点与相应电路变 量的频率响应之间具有密切的关系。根据网络函数的表达式： )( 2 1 2 )( 1 )( )( )( 2 jsjs s s s sZsU sI sH n j j m i i pj zj KjH 1 1 )( )( )( （13-8） 有： n j j m i i n j j m i i pjzjjH pj zj KjH 11 1 1 )arg()arg()(

19、arg ( （13-9） 这样，我们就可以根据网络函数的零、极点，直接计算网络的频率响应，当然， 也可以根据零极点在复平面中的位置，直观地看出零极点对电路频率响应的影响。我 们用以下的例子加以说明。 例 13-7 如图 13.9(a)所示的 RC 并联电路，试定性地绘制出以电压为输出变量时，该 电路的频率响应。 i + C R u _ (a) 电电路 路 1 d1 d2 d3 | )(|jH 3 2 R j 0.707R j3 1/Cd1 1/Cd2 j2 1/Cd3 O 1=1/RC 2 3 j1 O 1 2 3 -45o -1/RC (a) (b) -90o (c) 零零极极点点与与频频率

20、率响响应应 (b) 幅幅频频特特性性曲曲线线与与相相频 频特特性性曲曲线线 的的关关系系示示意意图图 解：以输出电压u为电路变量的网络函数为 RCs C sCGsI sU sH /1 /11 )( )( )( 该网络函数 )(sH 极点为 RCs/1 。 令 js ，有： )/1( 11 )( RCjC jH 由此可得： )( )/1 ( 11 | )/(| 11 | )(| 22 RCarctg RC CRCjC jH （13-10） 由上式可见，随着的增加， | )(|jH 将单调地减少。在直流情况下， RH)0( ； 在高频情况下， )/(1| )(|CjH 。而随着的增加，将单调地减小

21、，当 时， 90。频率响应示于图 13.9(b)。 下面，让我们从零极点在复平面上的位置来研究如何得到上述结论。在图 13.9(c)中， 极点位于实轴上的 RC/1 处，复数 ) 1 ( RC j 代表一个向量，其顶点在 js 处，而其 起点则在极点处。因此 RC jd 1 代表这个向量的长度，而 RC jarctg 1 代 表向量和实轴正方向的交角。由式(13-11)，有 Cd jH 1 | )(| 显然，在 0 处， RH)0( ， 0 ；当 处， 0)(jH ， 90；在 RC 1 处，向量 )/1(RCj 与实轴的交角为 45。即：当 RCp/1| 10 时 RR j R RCRCj

22、C jH707 . 0 2 1 1 1 /1/ /1 )( 45 所以，当向量的顶点沿 j 移动时，向量长度d和向量交角就会随之改变（如图 13.9(c)所示 321 ， 321 ddd ， 321 ） ，从而可得到如图 13.9(b)所示 的 )( jH 的幅频特性曲线和相频特性曲线。 14.5 从从网网络络函函数数看看滤滤波波器器分分析析 14.5.1 滤波器简介滤波器简介 一、滤波器一、滤波器 我们已经研究了零极点跟频率响应的关系，由网络的幅频特性可见，对于由电阻、电 容、电感等组成的不同形式的网络，它们可以让某些频率信号顺利通过，而让另一些频率 的信号被抑制掉，这种网络我们称为滤波器。

23、 二、分类二、分类 滤波器按照其组成元件的性质可以分为有源滤波器和无源滤波器。如果滤波器由电阻、 电容、电感等无源元件构成，则称为无源滤波器；如果滤波器中含有晶体管、运算放大器 等有源元件时，称为有源滤波器。 滤波器按其功能可以分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器和全通 滤波器。它们的理想特性可分别如图中的(a)、(b)、(c)、(d)、(e)所示。这些理想特性在工 程中仅能近似实现，比如在上一节的例题 13-17 的 RC 并联电路，从得到的幅频特性可见 其具有低通特性，在工程中，我们称其中的 0 为低通滤波器的截止频率，而定义低通滤波 器从 0 到 0 的频率范围为其通频带。

24、 在滤波器理论中， 01 2 01 2 2 )( eses PsPsP sH 是一类特别重要的网络函数，称为双二次函 数，它可以作为多种滤波器的积木块，也就是说，可以用这些双二次函数对应的单元电路 进行链接，构成复杂的滤波电路。 本节将针对双二次函数几种典型的系数情况，主要对高通、低通及带通三种对应的滤 波情况进行分析。 |H(j)| |H(j)| |H(j)| O (a) (b) (c) |H(j)| |H(j)| O (d) (e) 14.5.2 低通滤波器低通滤波器 一、条件一、条件 当 0 12 PP ，即： 01 2 0 )( eses P sH ，且极点位于复平面的左半平面时，网络

25、为 二阶低通特性。 二、分析二、分析 令 2 00 e ， 2 0 1 Q e ，同时 KP 0，设0 ，则 )( )( 2 0 2 0 02 2 0 dd jsjs K s Q s K sH （13-11a） 其中 22 0 d （13-1 1b） 则其幅频特性 | )(|jH 及相频特性分别为： 22222 0 2 0 4)( | )(| KjH （13-11c） 22 0 2 )( arctg （13-11d） )(sH 的零极点图及幅频特性、相频特性曲线分别如图（a）、（b）、（c）所示。其 中 K 称为增益系数，Q 称为滤波电路的品质因数，其大小决定了在频率为 0 处幅频特性 曲线的

26、尖锐程度，Q 越大，曲线越尖锐。 j |H(j)| p1 jd K0/2 (b) - O p2 -jd () (a) -90o (c) -180o 二二阶阶低低通通滤滤波波器器的的零零极极点点图图、幅幅频频特特性性及及相相频频特特性性曲曲线线 K O 三、无源实现三、无源实现 电路如图所示。 + R sL + Ui (s) 1/sC Uo (s) _ _ 无无源源二二阶阶低低通通滤滤波波电电路路 其电压转移函数为： LC s L R s LC sC LsR sC sU sU sH i o 1 11 1 1 )( )( )( 2 （13-12a） 令：L R 2 ，LC 1 2 0 ，且 0 ，

27、即： C L R2 时 )(2 )( 2 0 2 0 2 2 0 dd jsjsss sH （13-12b） 可见，其网络函数形式（见式 13-12a）与式（13-11a）相同，而其幅频特性及相频特 性与前图基本相同，只是其幅频特性中的1K。 四、有源实现四、有源实现 看图示的有源网络，其中的运算放大器增益为 K，且运算放大器的输入电流为零。 对 a、b 两节点列写节点方程，有 0)( )2( 0 ba Iba VGCsGV CsVGVGVVGCs 解之，可得 13)()(2( )( 22 0 RCsRCs RCsVV GGCsGCs CsVGVG K V V bIbI b C vi R R

28、va vb vo C 二二阶阶有有源源低低通通滤滤波波电电路路 + K + _ a b 因此电压转移函数为： 22 2 0 ) 1 ( 3)( 1 )( RC s RC K s K RCV V sH i （13-13） 将式（13-13）与无源网络得到的电压转移函数式（13-12a）比较，如果选择 LCRC 2 )( ，L R RC K 3 ，则两式只相差一个常数因子 K，而式（13-13）的形式与式 （13-11a）完全相同，因此其零极点图、幅频特性及相频特性曲线即如图所示。 14.5.3 高通滤波器高通滤波器 一、条件一、条件 当 0 01 PP ，即 01 2 2 2 )( eses s

29、P sH ，且极点位于复平面的左半平面时，网络函数 对应二阶高通特性。 二、分析二、分析 与低通滤波特性的分析类似，令 2 00 e ， 2 0 1 Q e ，同时 KP 2，设0 ，则 )( )( 2 2 0 02 2 2 dd jsjs s K s Q s sP sH （13-14a） 其中 22 0 d （13-1 4b） 则其幅频特性 | )(|jH 及相频特性分别为： 22222 0 2 4)( | )(| KjH （13-14c） 22 0 2 )( arctg （13-14d） )(sH 的零极点图及幅频特性、相频特性曲线分别如（a）、（b）、（c）所示。 j |H(j) K0/

30、2 (b) p1 - O () p2 90o (c) (a) O -90o 二二阶阶高高通通滤滤波波器器的的零零极极点点图图、幅幅频频特特性性及及相相频频特特性性曲曲线线 z1=z2 K jd -jd O 三、无源实现三、无源实现 + R 1/sC + Ui (s) sL Uo (s) _ _ 无无源源二二阶阶高高通通滤滤波波电电路路 考察电路如图所示，令：L R 2 ，LC 1 2 0 ，且 0 ，即： C L R2 时，其电压 转移函数为： LC s L R s s sC LsR sL sU sU sH i o 11)( )( )( 2 2 （13-15） 可见，其网络函数形式与式（13-

31、14a）相同，而其幅频特性及相频特性如图 13.14 所示。 四、有源实现四、有源实现 下面我们再来看看图示的有源网络，其中的运算放大器增益为 K，且运算放大器的输 入电流为零。 R C C vi va vb vo R 二二阶阶有有源源高高通通滤 滤波波电电路路 + K + _ a b 其电压转移函数为： 22 2 0 ) 1 ( 3 )( RC s RC K s Ks V V sH i （13-16） 将式（13-16）与无源网络得到的电压转移函数式（13-15）比较，如果选择 LCRC 2 )( ，L R RC K 3 ，则两式只相差一个常数因子 K，而式（13-16）的形式与式 （13-14a）完全相同，因此其零极点图、幅频特性及相频特性曲线即如图所示。 14.5.4 带通滤波器带通滤波器 一、条件一、条件 当 0 02 PP ，即 01 2 1 )( eses sP sH ，极点位于复平面的左半平面时，网络函数对 应二阶带通特性。 二、分析二、分析 与前面分析类似，令 2 00 e ， 2 0 1 Q e ，同时 KP 1，设0 ，则 )( 2 )( 2 0 02 1 dd jsjs s K s Q s sP sH （13-17a） 其中 22 0 d （13-1 7b） 则其幅频特性 | )(|jH 及相